第二节　统计量

一、统计量的概念

设是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数

不依赖于任何未知参数，则称函数

是一个统计量。

二、常用统计量

1．样本均值

2．样本方差

3．样本变异系数，其中总体变异系数定义为

4．样本k阶矩

5．样本k阶中心矩

6．样本偏度

偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数（密度函数在这一点达到最大值）两边的对称偏斜性。如果，则。

7．样本峰度

峰度反映密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度。对于，。

例2：设是总体的样本，未知，则统计量是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

三、次序统计量及其分布

1．次序统计量的概念

设X₁，X₂，…，是从总体X中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本（X₁，X₂，…，）满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值x₁，x₂，…，时，其由小到大的排序

中，第个值就作为次序统计量的观测值，而X_（1），X_（2） ，…，X_（n）称为次序统计量，其中X_（1）和X_（n）分别为最小和最大次序统计量。

中位数、分位数、四分位数和样本极差

等都是次序统计量。

2．次序统计量的分布

（1）单个次序统计量的分布

设总体的密度函数为，分布函数为，为样本，则第个次序统计量的密度函数为：

其中最大次序统计量的概率密度函数为：

最小次序统计量的概率密度函数为：

（2）多个次序统计量的联合分布

设总体有密度函数，，（同样可设，）。并且是取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量的联合分布密度函数为：

，

例3：设总体X的服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为：

其中，参数λ>0未知，X₁，X₂，…，为来自X的样本。

试证明：和都是的无偏估计量。

证明：指数分布的均值为：

X₁，X₂，…，独立同分布于参数为λ的指数分布，则根据指数分布的性质，有

则

所以是的无偏估计量。

由于

得

最小次序统计量的密度函数为

即

所以也是的无偏估计量。

综上可得，和都是的无偏估计量。

四、充分统计量

统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。

在产品检验中，二项分布有着重要的应用，统计量是不合格品率p的充分统计量。

当是来自正态分布的一个样本时，若已知，则是的充分统计量；若已知，则是的充分统计量。