2012年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8小题．每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在括号内.
1．设曲线
水平渐近线的条数为a，铅直渐近线的条数为b，则（）.
A．a＝0，b＝1
B．a＝1，b＝0
C．a＝1，b＝1
D．a＝2，b＝1
【答案】D
【解析】，由于
，得
为铅直渐近线；由
，得
，
为水平渐近线，故
，
.
2．设连续函数
满足
，则的一个原函数
＝（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，得
，即
，利用分步积分法得
.
3．设数列
单调增加，
，
，则数列有界是数列
收敛的（）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】若
有界，则
存在，则
，即数列有界是数列收敛的充分条件．反之，若收敛，则不一定有界．例如，取
，则
收敛，且
无上界.
4．设函数
连续，交换二次积分次序
（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】交换积分顺序得
5．设
，其中
为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，故必定线性相关.
6．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易得B项的特征值为1和2；
C项的特征方程为
，因此C也有两个不同的特征值；
同理易得，D项也有两个不同的特征值；所以只有A项不能相似于对角矩阵.
7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则
（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于是均匀分布，所以面积比例（如图所示）就是所求概率，即得
8．设
为来自总体
的简单随机样本，则统计量
的分布为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知,
，从而
；又
，得
从而
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上.
9．
____.
【答案】
【解析】
10．函数
的极值点x＝____.
【答案】1
【解析】由已知得
，令
得
，此时
，所以为极值点且为极小值点.
11．曲线
与
及围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积V＝____.
【答案】
【解析】图形如图所示，曲线写为
旋转体体积
12．设函数
，则
＝____.
【答案】
【解析】由于
，故
13．设
是
的伴随矩阵．将的第2列加到第1列得到矩阵
，则
____.
【答案】
【解析】
，即
.
14．设A，B是两个互不相容的随机事件，
，则
＝____.
【答案】
【解析】由于A，B是两个互不相容的事件，所以
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分10分）
求曲线
在点（0，1）处的切线方程.
解：方程两边关于x同时求导，得
将
代入上式得
，所以切线方程为
，即
16．（本题满分10分）
设函数
，求不定积分
．
解：因为，所以
所以，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
由原函数的连续性可知
，即
①
，即
②
由①②得
所以
则
.
17．（本题满分10分）
求函数
的极值.
解：令
得
或
又
所以
又A＜0，所以（1，0）为极大值点，
为极大值.
因为
所以（－1，0）为极小值点，
为极小值.
18．（本题满分11分）
求微分方程
满足条件
的解.
解：因为，由通解公式可得
又因为
时，
，所以代入可得
，因此解为
.
19．（本题满分11分）
计算二重积分
，其中D由直线x＝－
，x＝，y＝2及曲线
围成.
解：
20．（本题满分11分）
设
（Ⅰ）计算行列式
；
（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组
有无穷多解，并求其通解.
解：（Ⅰ）按第一列展开易得
.
（Ⅱ）令
，则
当
时，方程组
有无穷多解，易得
.
将代入，得
，所以对应的齐次线性方程
的基础解系含一个解向量，即
的一个特解为
，所以的通解为
（k为任意常数）.
21．（本题满分10分）
设
为A的属于特征值－2的特征向量.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求可逆矩阵P和对角矩阵Q，使得
．
解：（I）由题意可知
，即
整理得
，解得
，.
（II）由（I）可得
得A的特征值为
的基础解系为
的基础解系为
.
取可逆矩阵
，对角矩阵
，可使
22．（本题满分10分）
设随机变量X服从参数为
的指数分布，且
.
（Ⅰ）求参数
；
（Ⅱ）求
解：（I）因为
，所以
得
（Ⅱ）由（I）知
即
23．（本题满分11分）
设二维离散型随机变量
的概率分布为
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
.
解：（I）
（Ⅱ）X的概率分布为
故
．
的概率分布为
故Y的概率分布为
故
从而,
．
故
