2013年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：l～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．曲线
在x＝0对应处的切线方程为（ ）．
A．y＝（3e－1）x－lB．y＝（3e－1）x＋1
C．y＝（3e＋1）x－1 D．y＝（3e＋1）x＋1
【答案】D
【解析】由隐函数求导公式得
，将x＝0代入得
，又y（0）＝1,故x＝0处的切线方程为y＝（3e＋1）x＋1．
2．设函数
可导，且
，则
（ ）．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】A
【解析】由洛必达法则可得
3．曲线
如图所示，函数具有连续的2阶导数，且
，则积分
（）．
A．a－b B．b－a C．a＋b D．ab
【答案】C
【解析】由上图可知
，则
.
4．函数
在点
处的全微分为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由全微分公式可得
，将
代入上式得
．
5．设向量组I：
，其秩为r；向量组II：
，其秩为s，则r＝s是向量组I与向量组II等价的（）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．及非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩．
6．行列式
（）．
A．48 B．24 C．12 D．0
【答案】D
【解析】
7．设A，B为随机事件，已知
，则
（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
而
，则
所以
．
8．设总体X服从参数为
的泊松分布，
为来自总体X的简单随机样本．记
，则ET＝（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因来自总体X的简单随机样本，因此相互独立，且
．
又
，故
．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
9．设函数
在x＝0处连续，则常数k＝．
【答案】6
【解析】由题意可知
，因
在x＝0处连续，故
，即k＝6．
10．设
，且
，则
．
【答案】
【解析】令
，则
，两边同时积分得
，又
，故C＝0，即
.
11．由曲线
与直线
所围成的平面图形的面积为．
【答案】
【解析】由题意知，平面图形的面积
12．设函数
,则
．
【答案】
【解析】由题意知，
，将（1,1）代入得
．
13．若矩阵
与
等价，则a＝．
【答案】1
【解析】由于两矩阵等价，因此这两个矩阵的秩相等．
因
，故当a＝1时两矩阵等价．
14．连续掷1枚均匀骰子，在前4次没有出现偶数点的条件下，前l0次均未出现偶数点的概率为______．
【答案】
【解析】由题意知偶数点不出现的概率为
，记前十次中均未出现偶数点的事件为A，前4次没有出现偶数点的事件为B,而
，则
三、解答题：l5～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分l0分）
求极限
．
解：由洛必达法则及等价无穷小，有
16．（本题满分l0分）
设函数
．求曲线的凹凸区间，拐点和渐近线．
解：依题意可得
令
，得
因为当x＜－1或x＞1时，
；当－1＜x＜1时，
故
和
为
的凹区间；
为的凸区间．
则点
和点
为曲线的拐点．
又
，所以y＝1为曲线的水平渐近线．
17．（本题满分l0分）
计算定积分
．
解：利用分部积分法，有
18．（本题满分l0分）
计算二重积分
，其中区域D由曲线
和直线y＝1－x及y＝1围成．
解：计算得
19．（本题满分l0分）
设函数对任意的x，y恒有
，且
，求．
解：由
得，则
于是
即 
则
因为f（0）＝0,所以C＝0
故
．
20．（本题满分11分）
设线性方程组
（I）求方程组的通解；
（II）求方程组满足条件
的全部解．
解：（I）对方程组的增广矩阵施以初等行变换
原方程组同解于
故方程组的通解为
其中
为任意常数．
（II）当
时，
，即
．
此时方程组的全部解为
其中k为任意常数．
21．（本题满分11分）
设矩阵
（I）求可逆矩阵P和对角矩阵
,使得
；
（Ⅱ）求A101．
解：（I）由题设
得A的特征值为
当
时，解方程组
，得对应的一个特征向量
.
当
时，解方程组
，得对应的两个线性无关的特征向量
．
令
则．
（Ⅱ）由（I）得
，所以
22．（本题满分11分）
设箱中有5件产品，其中3件是优质品．从该箱中任取2件，以X表示所取的2件产品中的优质品件数，Y表示箱中3件剩余产品中的优质品件数．
（I）求（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Cov（X，Y）．
解：（I）因为X的所有可能取值为0,1,2；Y的所有可能取值为3,2,1，且X＋Y＝3，所以
由此得（X,Y）的概率分布为
（Ⅱ）因为
，所以
易知X的概率分布为
故
所以
23．（本题满分11分）
设随机变量X的分布函数为
（I）求X的概率密度；
（II）求
；
（III）求
解：（I）由分布函数与概率密度的关系得
（Ⅱ）由随机变量X的分布函数知
（Ⅲ）计算得
