2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.
1．当x
O时，下列函数为无穷大量的是（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A项，
；
D项，
；
C项，
.
2．设函数
可导，
，
，则（）.
A．k＝2，
B．k＝3，
C．k＝3，
D．k＝4，
【答案】C
【解析】因为
所以
，k＝3.
3．设
，则（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，故
，所以有
即.
4．设函数
，则
＝（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
.
5．将二阶矩阵A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第1行与第2行得单位矩阵，则A＝（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
，所以
.
6．设A为4×3矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意常数，则的通解为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是
的线性无关解，所以
是
的两个线性无关解，而
是的解，故
是的通解.
7．设随机事件A，B满足
且
，则必有（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，
，故
，又
，
，所以
.
8．设总体X服从参数为
的泊松分布，
为来自总体的简单随机样本，则对于统计量
和
，有（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是来自参数为
的泊松分布的简单随机样本，则有
那么
所以
所以
.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在题目中的横线上.
9．设函数
，则
____.
【答案】
【解析】由于
所以
.
10．曲线
在其拐点处的切线方程是____.
【答案】y＝2
【解析】由于
，所以点（1，2）为曲线的拐点，又
，所以y＝2为拐点处的切线方程.
11．反常积分
＝________.
【答案】
【解析】
12．设函数
，则
＝____.
【答案】
【解析】
所以
.
13．设矩阵
且3阶矩阵B满足ABC＝D，则
＝_____.
【答案】
【解析】因为
，故
，所以
.
14．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布
，则
＝____.
【答案】
【解析】因为
，故X与Y相互独立，即有
，而
，所以
，即
，故
.
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分10分）
设函数
在x＝0处连续，求
（I）
的值；
（Ⅱ）
.
解：（
）因为
，
而
，故
时，
在x＝0处连续.
（Ⅱ）当x≠0时，
所以
16．（本题满分10分）
求不定积分
.
解：
对
，则
所以原式＝
17．（本题满分11分）
设函数
是微分方程
满足条件
的解，求曲线与x轴所围图形的面积S.
解：已知
，即
，故
代入初始条件
，得
，故
．
曲线与x轴交点为（－1，0），（0，0），所以
18．（本题满分10分）
证明：当
时，
解：令
,则
即
在
内单调递减，
又
在x＝0处连续，故
，
所以
在内单调递减，
又因为在x＝0及
处连续
故
，即
.
19．（本题满分11分）
计算二重积分
，其中
.
解：利用极坐标变换，令
，
，则
20．（本题满分10分）
已知
，问为何值时，
（）
不能由
线性表示；
（Ⅱ）可由线性表示，并写出一般表达式.
解：能否由
线性表示，也就是
是否有解，而
（I）当a≠3时，
，方程组无解，故此时不能由线性表示.
（Ⅱ）当a＝3时，
，线性方程组有解，可由线性表示，且因
，则
于是
21．（本题满分11分）
已知1是矩阵
的二重特征值
（I）求的值；
（11）求可逆矩阵P和对角矩阵Q，使
．
解：（I）1是矩阵A的二重特征值，设
是A的另一个特征值，则
所以
，即
.
即
，所以a＝0.
（Ⅱ）由（I）知：
，对于特征值
，有
故对应于的两个线性无关的特征向量
对于，有
故对应于的特征向量
取
，则有
22．（本题满分10分）
设随机变量X与Y的概率分布分别为
且
.
（）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（）求EX，EY及X与Y的相关系数
.
解：（）因为
，所以
，则
又
，则
而
故
的概率分布为
（Ⅱ）计算得
而
，而
，
故
．
23．（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由
与
所围成的三角形区域.
（I）求X的边缘密度
；
（1I）求
.
解：积分区域G如图所示.
可知
，故
（I）由积分区域可得
（Ⅱ）如下图所示，计算得
