2014年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1．设函数
可导，且
，
.当
时，
（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
……
依次进行下去有
把x＝0代入，有
＝
＝．
2．设函数满足
且
则在
处（）．
A．取得极大值
B．取得极小值
C．没有极值
D．是否取得极值与
有关
【答案】B
【解析】令，则
所以在处取得极小值．
3．函数
在点
处的全微分为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设条件可得：
，代入（π，2）可得：
，故在（π，2）处的全微分为．
4．设
则（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】记
则当
时
由中值定理得：存在
使得
所以
．
5．设向量组
,
,
线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）．
A．
，
，
B．，
，
C．
，，
D．，，
【答案】D
【解析】因为
又由于
，矩阵
可逆，所以
6．设
为2阶可逆矩阵，
为的伴随矩阵，将的第一行乘以
得到矩阵
，则（）．
A．
的第一行乘以得到矩阵
B．的第一列乘以得到矩阵
C．的第一行乘以得到矩阵
D．的第一列乘以得到矩阵
【答案】B
【解析】由题设条件可知：
，两边同时求逆，有
7．设随机变量X的概率分布为
则
（）．
A．0
B．0.7
C．1.4
D．2.1
【答案】C
【解析】由已知得
0，
＝0.4＋0.3＋0.3＋0.4＝1.4．
8．设总体
服从参数为
的泊松分布，
为来自总体的简单随机样本．记
，
，其中
为常数，若
，则
（）．
A．
B．
C．－1
D．1
【答案】A
【解析】
所以
解得
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
9．当
，
与
是等价无穷小，则常数
______．
【答案】2
【解析】由泰勒展开式知，当时，
，
，因为两者等价无穷小，则
，即k＝2．
10．函数
的可去间断点为
______．
【答案】0
【解析】间断点为
，
，
．
因
，
，故为可去间断点．
因
，
，故是
的跳跃间断点．
同理可得也是的跳跃间断点．
11．已知函数
由方程
确定，则
______．
【答案】
【解析】方程两边同时对
求导，得
，将
代入，知
，将点（0，e）代入，得
．
12．反常积分
_____．
【答案】
【解析】
，令
，则原式＝
．
13．设2阶矩阵的特征值为
则行列式
______．
【答案】
【解析】由
，知
因矩阵A的特征值为1，2，知
的特征值为1，4，故
的特征值为－２，１；
所以
．
14．设随机变量的概率密度为
，
表示对的3次独立重复观测中事件
发生的次数，则
______．
【答案】
【解析】
．
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分10分）
设曲线
在其拐点处的切线通过坐标原点，求常数
．
解：
令
解得
当
时
；当
时
，所以
是曲线的拐点．
，曲线在其拐点处的切线通过原点，得
16．（本题满分10分）
求极限
．
解：连续使用洛必达法则有
＝2
17．（本题满分10分）
设函数
，
具有2阶连续偏导数，求
．
解：具有2阶连续偏导数，得
，且复合函数
关于自变量
具有2阶连续偏导数，
故
18．（本题满分10分）
求不定积分
．
解：令
，
，则
．
原式＝
＝
＝
将代入上式，得原式＝
．
19．（本题满分10分）
设函数是微分方程
满足条件
的解．
（I）求
；
（II）曲线是否存在水平渐近线和铅直渐近线？若存在，写出其方程．
解：（I）由
得
对该式两边同时积分，有
即
又，故
所以
，解得
．
（II）由于
时，
，故
是的铅直渐近线．
由于是单调递增的函数，故不存在水平渐近线．
20．（本题满分11分）
设矩阵
，
，当
取何值时，存在矩阵使得
，并求出矩阵．
解：由题意可知矩阵X为3×2矩阵，故可设
，则依题意有
即
， 
解得：
得
．
21．（本题满分11分）
已知矩阵
相似于对角矩阵．
（I）求的值；
（II）求可逆矩阵
和对角矩阵
，使得
．
解：矩阵A的特征多项式为
＝
因此矩阵A特征值为
＝1，1，
．
当
时，对应的特征向量为
，又矩阵相似于对角矩阵，则必有3个线性无关的特征向量，当＝1时，有
，此时若要使此方程组有2个线性无关的解向量，必有
，特征向量为
．
（II）当时，由
得基础解系
由
得基础解系
那么令
得
22．（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为
．令随机变量
．
（I）求
的概率分布；
（II）求
．
解：（I）由题意知
所以的概率分布为：
（II）由题意可知
则
．
23．（本题满分11分）
设二维随机变量
服从
上的均匀分布，其中是由直线
和曲线
围成的平面区域．
（I）求和的边缘概率密度
和
；
（II）求
．
解：（I）由题意得，
则和的联合分布为
则当
时，
则当
时，
所以
，
．
（II）依题意可得
