2015年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：l～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1．曲线
在点
处的法线方程为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故法线的斜率为
，法线方程为
2．曲线
（）．
A．有水平渐近线
和铅直渐近线
及
B．有平渐近线及
和铅直渐近线
C．仅有水平渐近线及，无铅直渐近线
D．无水平渐近线，仅有铅直渐近线
【答案】B
【解析】
，所以
不是铅直渐近线.
，所以
是铅直渐近线.
，所以
是水平渐近线.
，所以
是水平渐近线.
3．函数
在闭区间
上的最小值和最大值依次为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，所以在区间
内，
的驻点为
.连续函数
在有界闭区间上一定存在的最大值、最小值只能在
三点取到，而
所以
为最小值，
为最大值.
4．设设函数
连续，记
，则
（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
令
，则
；
令
，则
，所以
5．设矩阵
．若线性方程组
无解，则（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】无解的必要条件为
，现在
故
.当时
所以
时，方程组
无解.
6．设A、B为5阶非零矩阵，且
（）．
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】由知
当
时，
有可能为：1,2,3,4，故A项不正确，同理，BC两项都不正确.唯
时，只能为1.
7．设A，B为两个随机事件，且
，则（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方法一：
，因为
，所以
方法二：，所以
，
8．设
表示自由度为n的t分布的
分位数，则（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设T为自由度为n的t分布，其概率密度为偶函数，则分位数有
对
有
所以
比较（1）式和（2）式，
，即
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
9．
【答案】
【解析】
，而由洛必达法则及等价无穷小，有
所以
10．函数
的第二类间断点为
【答案】
【解析】使得
的点是的间断点，即
所以
是第一类间断点，其余的都是第二类间断点.
11．若连续函数
满足
，则
【答案】
【解析】因为为连续函数，变上限积分
可导，等式
两边对
求导，
12．设
为连续函数，交换积分次序：
【答案】
【解析】记
，则
13．设3阶矩阵
，
．若
，则
【答案】3
【解析】
故
14．某运动员每次投篮投中的概率为
．他连续投篮，直到投中2次为止，若各次投篮的结果相互独立，则他投篮总次数为4的概率为
【答案】
【解析】如图所示，第4投恰好是第2次投中可以理解成：前三次投有一次中二次不中，投篮可看成独立重复试验服从
，前3次试验一次成功，2次失败，其概率为
，再加上第4次投中概率为
.根据独立性，投篮总次数为4的概率
三、解答题：l5～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分10分）
设函数
，求
．
解：当
时，
；
当
时，
；
当时，
；
，所以在点不可导.
16．（本题满分10分）
设函数
由方程
确定，求
．
解：方法一：
，两边对
求偏导
当
时
.
式两边再对求偏导
所以
方法二：
所以
17．（本题满分10分）
设D是由曲线
和直线
所围成的平面图形，求D的面积S及D绕x轴旋转所得旋转体的体积V．
解：D的面积
D绕x轴旋转所得旋转体体积
18．（本题满分10分）
计算二重积分
，其中区域D由直线
及x轴围成．
解：积分区域如图阴影部分所示，则
19．（本题满分10分）
设函数
是微分方程
满足条件
的解，求的极值．
解：
满足微分方程
，所以
其中
，所以
由定解条件可得
，所以
所以函数的驻点为
，故
为极小值.
20．（本题满分11分）
已知向量组
其中
是参数．求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并求其余向量用该极大线性无关组线性表示．
解：对
作初等行变换，有
如
，则秩
，极大线性无关组为
；
如
，则秩
，极大线性无关组为
.
21．（本题满分11分）
已知矩阵
相似于矩阵
．
（I）求
的值；
（II）求可逆矩阵P，使
．
解：（I）由
知
与
有相同的迹和行列式，即
所以
（II）由对角矩阵知矩阵的特征值为：1,1,6.
当
时，由
得基础解系：
当
时，由
得基础解系：
令
有
22．（本题满分11分）
设二维离散型随机变量（X,Y）的概率分布为
且
．
（I）求常数；
（II）求X与Y的相关系数．
解：（I）
，故
注意到
是
分布，
，即
，得
（II）
取值0,1,2
故
总之
23．（本题满分11分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
（I）求
；
（II）求
的概率密度．
解：（I）
（II）
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
所以
即
