2016年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：l～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1．设函数
，则
为
的（）．
A．可去间断点
B．跳跃间断点
C．振荡间断点
D．无穷间断点
【答案】D
【解析】
，而
所以x＝0为
的无穷间断点．
2．设函数在处可导，且
，则
（）．
A．－2 B．2 C．－6 D．6
【答案】C
【解析】
由于函数在
处可导，则
所以
3．设
，则（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
所以
4．设函数
，则
的值依次为（）．
A．2，－4 B．2，4 C．－2，－4 D．－2，4
【答案】A
【解析】由已知条件，计算得
5．多项式
中
与
的系数依次为（）．
A．－1，－1 B．1，－1 C．－1，1 D．1， 1
【答案】B
【解析】根据行列式定义，行列式是不同行不同列元素乘积的代数和其一般项是
本题的项出现意味着每行元素中都有
项出现，因此只能是
，又
，则项系数为1；对于项，一定不含
，也一定没有
，那只有是
；又
，则系数为－1．
6．设A为4×5阶矩阵，若
为线性方程组
的基础解析，则
（）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】 A是4×5矩阵，则
是5×4矩阵，是5个方程4个未知数的齐次方程组，其基础解系为3个解向量，故
，所以
，即
．
7．设二维随机变量
的概率分布为
则
（）．
A．0.1 B．0.18 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【解析】根据题意可得
8．设
为来自总体
的简单随机样本．如果
服从t分布，则C＝（）．
A．
B．1 C．
D．
【答案】A
【解析】t分布的典型模式为
，其中
，且X和Ｙ相互独立，则，
．而
，所以
．
根据
的典型模式
，其中
均服从标准正态分布且相互独立，所以
．
总之
，即
，因此，
.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．
9．
【答案】
【解析】由于
，由洛必达法则得
所以
．
10．曲线
的凹区间是
【答案】
【解析】函数的定义域为
，而
解不等式
，得
，所以曲线
的凹区间是．
11．设函数
，则
【答案】
【解析】
，所以
12．反常积分
【答案】
【解析】
，记
，则
13．设矩阵
，则
【答案】
【解析】由行列式的初等变换可得
14．设随机变量
，且X与Y相互独立，则
【答案】17
【解析】计算得
三、解答题：l5～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分10分）
设
，求
．
解：因为
，故有
又因为
，
，所以，
.
16．（本题满分10分）
过点（0,0）作曲线
的切线l，求该曲线与切线l及y轴所围有界图形的面积．
解：设切点坐标（x0,y0）,则切线l的方程为
而点（0,0）点在直线上，故
，解得x0 ＝－1,因此切点为
，所以切线方程l为
．所以围成的平面图形的面积为
17．（本题满分10分）
求微分方程
满足条件
的解．
解：原微分方程可分离变量为
所以
；
通解为
；
将x＝１，ｙ＝0代入上式可得C＝1．
故通解为
18．（本题满分10分）
求函数
的极值．
解：由已知条件计算得
，令
解得驻点为（1,1）．
令
，点（1,1）代入计算得
所以f（1,1）＝2是f（x,y）的极小值.
19．（本题满分10分）
计算二重积分
，其中有界区域D由直线x＝0，y＝1及曲线
围成．
解：计算如下
20．（本题满分11分）
设向量组
当
为何值时，向量
能由向量组
线性表示；当表示式不唯一时，求其一般表示式．
解：设
，得
对该方程组的增广矩阵进行初等行变换，得
当a≠－2, b为任意值时，
，方程组有唯一解，即
能由
线性表示且表示方法唯一.
当a＝－2,b＝－3时，
，该方程组有无穷多解，即向量能由线性表示且表示方法不唯一.
则
，故方程组的通解为
，k为任意常数．
即
，为k为任意常数.
21．（本题满分11分）
设向量
是矩阵
的特征向量．
（I）求常数及向量
所对应的特征值
；
（II）求矩阵A的全部特征值和特征向量．
解：（I）设
，则根据题意可知
即
，解得
（II）将a＝3，b＝1代入矩阵A中，即
解得矩阵A的特征值为2，１，１．
当
时，解方程组
得
解得基础解系为
．
则的所有特征向量为
．
当
时，解方程组
得
解得基础解系为
．
则的所有特征向量为
．
22．（本题满分11分）
甲袋中有1个红球2个白球，乙袋中有2个红球2个白球，先从甲袋中任取2球放入乙袋中，再从乙袋中任取2球，X表示从甲袋中取出的红球数，Y表示从乙袋中取出的红球数．
（I）求（X,Y）的概率分布；
（II）求Cov（X,Y）．
解：（I）依题意分析知，X可能取值为0,1；Y可能取值为0,1,2,故
因此，（X,Y）的概率分布为
（II）
随机变量X,Y以及XY期望分别为
所以，
23．（本题满分11分）
盒子中有A和B两类电子产品各10个，A类产品的寿命服从参数为1的指数分布，B类产品的寿命服从参数为2的指数分布．随机地从盒子中取一个电子产品，以X表示所取产品的寿命．
（I）求X的概率密度；
（II）求方差DX．
解：（I）设A＝{取出的是A类产品},则
＝{取出的是B类产品}
则
易知，
，计算得
所以
得
（II）计算得
