第7章　微分学基本定理及应用

1．函数f（t），g（t）在[a，b]上可微，且g'（t）≠0，，证明：必存在c∈[a，b]，使得成立．[中国科技大学研]

证明：由g'（x）≠0知g（b）≠g（a）．

F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．由lagrange中值定理，使

g'（c）≠0即有

2．设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证：存在c∈（a，b），使

[南开大学研]

证明：令  ①

由拉格朗日中值定理有

 

　 ②

其中

另一方面，由①式

　  　　　　　　　　  ③

将③式代入②，即得证．

3．（1）设f（x）在（0，＋∞）内二次可微，分别为内的上确界，证明：

（2）设f"（x）在（0，＋∞）上有界，且证明：[北京大学，哈尔滨电工学院研]

证明：（1）由泰勒公式有

解得 

若取则

再由x的任意性，有

　 ①

（2）设因故对当时，

  ②

由上面（1）知，在上由①，②有

类似可证在上有，

4．用微分中值定理证明：

当s＞0时，[武汉理工大学研]

证明：令则

分别在上对f（x）应用拉格朗日中值定理，有

所以即是严格单调递增函数．

代入上面n＋1个式子得

将上面前n＋1个式子的左边相加得

  ①

再将上面前n个式子右边相加得

　  ②

由①，②即证．

5．设f（x）在（－∞，＋∞）上具有二阶导数，且又存在一点使试证明：方程在上有且只有两个实根．[上海交通大学、浙江大学研]

证明：由于f（x）在（－∞，∞）上有二阶导数，所以在（－∞，＋∞）上连续．

由于，因此由保号性必存在c＞0，使当x＞c时，

  ①

再在[c，x]上运用拉格朗日中值定理，可得

由①式，

当x→＋∞，上式右端趋于＋∞，因为f（＋∞）＞0．又因此方程在内至少有一个实根．

同理由类似可证方程f（x）＝0在内至少有一个实根，从而方程f（x）＝0在（－∞，＋∞）内至少有两个实根．

再证方程f（x）＝0在（－∞，＋∞）内实根个数不可能超过两个，用反证法．

若方程f（x）＝0有三个（或以上）实根设为.在上应用罗尔定理有

在上再用罗尔定理有，这与的假设矛盾，故得证．

6．证明：当x≥0时，存在θ（x）∈（0，1），使得

并求和[中山大学2006研]

解：由于，则由Lagrange中值定理知当x≥0时，存在θ（x）∈（0，1），使得

由这个等式可得。故有

7．设函数f在[a，b]上是可微函数，且值域仍在[a，b]内。若，设为[a，b]内任意一点，定义数列为，证明数列收敛于[a，b]内某一点d，且

．[南京理工大学2006研]

证明：由中值定理知，从而由Cauchy收敛定理易知收敛于[a，b]内某一点d。于是

又由三角不等式知，所以，从而可

．

8．设函数f在（0，1]上连续，在（0，1]上可导且存在正常数α∈（0，1），使得存在。证明：f在（0，1]上一致连续。[北京师范大学研]

证明：因为存在，所以，故对任意的ε>0，存在δ>0，当0＜x＜δ时，有。从而当时，由Cauchy中值定理知

故由Cauchy收敛准则知存在，并定义，则f在[0，1]上连续，所以f在[0，1]上一致连续，故f在（0，1]上一致连续。

9．求．[华东师范大学研]

解：由等价无穷小量和L’Hospital法则知

故有

10．设函数f（x）在区问（0，＋∞）内有二阶导函数，，并且当x∈（0，＋∞）时，有。证明：．[北京交通大学研]

证明：要证明，即要证明对任意的ε>0，存在A>0，当x>A时有。利用Taylor公式，对任意的h>0，有

即，从而

对任意的ε>0，首先可取h>0充分小，使得h＜ε，然后将h固定。因为，所以存在A>0，当x>A时，有

从而

11．将在x＝0展开成Taylor级数。[大连理工大学2006研]

证明：因为

所以，n＝1，2，…，根据Taylor展开式可得