第6章 导数和微分
1.设f(x)在[-1,1]上有二阶连续偏导数,f(0)=0,令
,
证明:
(1)g(x)在x=0处连续且可导,并计算g'(0);
(2)g'(0)在x=0处也连续。[南京大学、复旦大学、南京理工大学、中北大学研、上海理工大学、华东师范大学2006研]
证明:(1)由于
并由L’Hospital法则知
所以,g(x)在x=0处连续且可导,
(2)由于
所以由L’Hospital法则知
故g'(x)在x=0处也连续。
2.问函数,在x=0处最高能有多少阶导数?这个导数值是多少,并给出证明。[中北大学研]
解:当x≠0时,有
所以
但不存在,故在x=0处,最高能有二阶导数,且
3.设f(x)是定义在R上的函数,且对任意的,都有。若f'(0)=1,证明:对任意的x∈R,都有。[江苏大学2006研]
证明:在中令,有。又由知,f(x)不恒为零,故有f(0)=1。由导数的定义和可得
4.设,求.[华南理工大学、南京师范大学研]
解:对方程两边关于x求导可得,所以对上述的一阶导数表达式
两边再关于x求导得,代入的表达式,得。
5.设y=y(x)由等式确定,求.[中国地质大学2006研]
解:,因为方程组中第二个方程是y关于t的一个隐函数,则对第二个方程关于t求导可得,所以
下求.
当t=0时,易知y(0)=-1,,于是
故有.
6.设求[华东师范大学研]
解:
k为奇数时,k为偶数时,.
7.求出函数的导函数f'(x),讨论f'(x)的连续性(若有间断点,须指出其类别).[内蒙古大学研]
解:当x≠0时
不存在.
不存在,因此x=0是f'(x)的惟一间断点,它是第二类间断点.
8.椭圆上任意两点联结成的线段,称为此椭圆的弦.证明:椭图的任意两条平行弦之中点联线必经过原点(即椭圆中心).[上海化工学院研]
证明:设两条平行弦分别为AB与CD,这4点的坐标分别为
(1)若AB与CD都平行于x轴(或y轴),则结论显然成立.
(2)若AB、CD的斜率都是k∈(0,+∞),则
两弦AB与CD两弦中点分别为.再设EO和FO的斜率分别为,则
①
由于在椭圆上,所以
②
③
将②,③代入①得
④
类似可得
⑤
由④,⑤得,从而E、O、F在一条直线上,即两弦中点联线过原点.