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第6章 导数和微分

1.设f(x)在[-1,1]上有二阶连续偏导数,f(0)=0,令

证明:

(1)g(x)在x=0处连续且可导,并计算g'(0);

(2)g'(0)在x=0处也连续。[南京大学、复旦大学、南京理工大学、中北大学研、上海理工大学、华东师范大学2006研]

证明:(1)由于

并由L’Hospital法则知

所以,g(x)在x=0处连续且可导,

(2)由于

所以由L’Hospital法则知

故g'(x)在x=0处也连续。

2.问函数,在x=0处最高能有多少阶导数?这个导数值是多少,并给出证明。[中北大学研]

解:当x≠0时,有

所以

不存在,故在x=0处,最高能有二阶导数,且

3.设f(x)是定义在R上的函数,且对任意的,都有。若f'(0)=1,证明:对任意的x∈R,都有。[江苏大学2006研]

证明:在中令,有。又由知,f(x)不恒为零,故有f(0)=1。由导数的定义和可得

4.设,求.[华南理工大学、南京师范大学研]

解:对方程两边关于x求导可得,所以对上述的一阶导数表达式

两边再关于x求导得,代入的表达式,得

5.设y=y(x)由等式确定,求.[中国地质大学2006研]

解:,因为方程组中第二个方程是y关于t的一个隐函数,则对第二个方程关于t求导可得,所以

下求

当t=0时,易知y(0)=-1,,于是

故有

6.设[华东师范大学研]

解:

k为奇数时,k为偶数时,

7.求出函数的导函数f'(x),讨论f'(x)的连续性(若有间断点,须指出其类别).[内蒙古大学研]

解:当x≠0时

不存在.

不存在,因此x=0是f'(x)的惟一间断点,它是第二类间断点.

8.椭圆上任意两点联结成的线段,称为此椭圆的弦.证明:椭图的任意两条平行弦之中点联线必经过原点(即椭圆中心).[上海化工学院研]

证明:设两条平行弦分别为AB与CD,这4点的坐标分别为

(1)若AB与CD都平行于x轴(或y轴),则结论显然成立.

(2)若AB、CD的斜率都是k∈(0,+∞),则

两弦AB与CD两弦中点分别为.再设EO和FO的斜率分别为,则

由于在椭圆上,所以

 

代入

  

类似可得

 

,从而E、O、F在一条直线上,即两弦中点联线过原点.