第8章　导数的应用

一、判断题

1．f（x）、g（x）在[a，b]上可导，对任意的x∈[a，b]，有，则对任意的x∈[a，b]，．[重庆大学研]

【答案】错

【解析】举反例：，，但是

二、解答题

1．对任意的，求在（0，1）中的最大值，并证明该最大值对任意的，均小于。[南京大学研]

解：由于，令可求得稳定点为，所以最大值为。因为

故该最大值对任意的，均小于。

2．求中最大的数。[北京化工大学研]

解：令，由于，所以当l≤x≤e时，f（x）单调递增；当x>e时，f（x）单调递减。所以。f（n）（n＝1，2，…）中的最大值只能在f（2）和f（3）取到。又因为，所以中最大的数为．

3．求．[北京工业大学研]

解：令．由于，所以当0＜x＜e时，，f（x）单调递增；当x>e时，，f（x）单调递减。于是在x＝e处取到最大值，故

4．求平面曲线上对应于点的法线方程，并讨论曲线在t∈（0，π）段的凹凸性。[中山大学2007研]

解：由于，所以对应于点的法线方程为

由于，，所以该曲线在上是凸的，在上是凸的。

5．设处处有，证明：曲线y＝f（x）位于其任一切线之上，且与切线有唯一公共点．[华中科技大学研]

证明：取曲线上任意一点，则经过该点的切线方程为。现比较曲线与该切线的位置关糸，令，因为，所以。当时，因为，所以单调递增，故，即当时，F（x）单调递增。同理，当时，故F（x）单调递减。总的来说

即对任意的x都有，且只有时，两者相交。结论得证。

6．证明下列不等式：

（1），（0＜x＜1，n为正整数）：

（2）（y>0）。[中国科学院2007研]

证明：（1）令

因为

所以为极值点。

（2）只需讨论0＜x、y＜1时的情形。令y＝tx，讨论0＜t≤1时的情形。因为

在处达到最小值（记为a），则有

。因为只有一个极值点，所以g（t）在（0，1）上递增，g（0）＝1，则．

x、y>1同样可证明。

7．求的极值、拐点与渐近线。[武汉大学2006研]

解：因为，

当x＝±1时，；当x>1、x＜－1时，；当－1＜x＜1时，。所以x＝－1为的极大值点，极大值为；x＝1为y＝x－2arctanx的极小值点，极小值为。

又因为，所以（0，0）为的拐点。设渐近线为，则，，所以。