第18章　偏导数

一、判断题

1．若f（x，y）在D内关于x、y的偏导数均存在，则f（x，y）在D内连续．（　　）[上海交通大学、重庆大学、北京大学研]

【答案】错

【解析】举反例：

根据偏导数的定义有

但如果取y＝kx这条特殊路径趋于0，有

所以，f（x，y）虽然在（0，0）点偏导数存在，但是在（0，0）点不连续．

二、解答题

1．已知

试求

（1）偏导数，；

（2），．[中科院武汉物理与数学研究所研]

解：（1）当时，有

当x＝y＝0时，有

（2）

2．设

证明：（1）和在点（0，0）的邻域中存在但不连续；（2）f（x，y）在点（0，0）处可微．[东南大学研、河北大学研、中国地质大学2006研]

证明：（1）当时，有

当时，有

和在点（0，0）的邻域中存在，但

所以和在点（0，0）处不连续．

（2）由于

故f（x，y）在点（0，0）处可微．

3．设，证明：．[深圳大学2006研]

证明：由求导法则知

于是

4．证明是xoy平面内某函数u＝（x，y）的全微分．并求一个这样的u（x，y）．[汕头大学研]

证明：由于

所以是xoy平面内某函数u＝u（x，y）的全微分．

由于

以（0,0）→（0，y）→（x,y）为积分路径，则

5．设f（1，1）＝1，，，；求g＇（1）．[华东师范大学研]

解：由链式求导法则知

故

6．设W＝W（u，v），，v＝2xy，求．[北京师范大学研]

解：根据链式求导法则有

从而再由链式求导法则有

7．设φ（x）和φ（x）是任意的二阶连续可导函数，证明：满足

  [天津工业大学研]

证明：由链式求导法则知

再由链式求导法则知

将上述公式代入即可得

8．设函数

其中P为正整数．

问：（1）对于P的哪些值，f（x，y）在原点连续．

（2）对于P的哪些值，都存在．

（3）对于P的哪些值，f（x，y）在原点有一阶连续偏导数，试证明．[中山大学研]

解：（1）由于　

故对任何正整数P，f（x，y）在原点连续．

故当P

同理当P故对于P≥2的一切值，均存在．

当P1时，

当P＝2时，

不存在．而当P≥3时，

而  　 

故存在也为零.所以当P≥3时，在原点有一阶连续导数，同理P≥3时，在原点有一阶连续导数．综上，对于P≥3的一切正整数P，f（x，y）在原点有一阶连续偏导数．

9．设f（x，y）存在二阶连续导数，且

证明：交换存在惟一的逆交换

  [华中师范大学研]

证明：考虑从而存在惟一的逆变换

考虑

另一方面（一阶微分形式不变性）

从而知

而故正毕．