第17章　Euclid空间上映射的极限和连续

1．设f（x，y）为连续函数，且当(x,y)≠（0，0）时，f(x,y)＞0，及满足f（cx，cy）＝cf（x，y），

，使得

[武汉大学研]

证明：若（x，y）＝（0，0），由f（x，y）连续及题中条件易知f（0，0）＝0．则任取0＜α＜β即可，若（x，y）≠（0，0），取

即

又　

由于连续知在[0，1]×[0，1]上必取到最大值β和最小值α；从而

2．设M＝f（x，y，z）在闭立方体a≤x≤b，a≤y≤b，a≤z≤b上连续．令

试证：（x）在[a，b]上连续．[辽宁师范大学研]

证明：令，根据题设可得g（x，y）在D＝[a，b]×[a，b]上连续．

令F（x，y，z）＝g（x，y）且a≤z≤b．则可得在[a，b]×[a，b]上连续．

关于x在[a，b]上连续．

在[a，b]上连续．

3．设f（x，y）在上有定义，若f（x，0）在点x＝0处连续，且在G上有界，则f（x，y）在（0，0）处连续．[北京大学研]

证明：由中值定理，得

由在G上有界，知使

当时有

　 　　  ①

由f（x，0）在点x＝0处连续，知，当时，有

　 ②

取时，由①、②，得

在（0，0）处连续．

4．设f（x，y）为二元函数，在附近有定义．试讨论二重极限与累次极限

之间的关系．[浙江大学研]

解：（1）二重极限与累次极限之间没有必然的关系．因为

①两个累次极限都存在，且相等时，二重极限还可能不存在．比如：

则　  ，

但

这个极限与k有关．

二重极限不存在．

②二重极限存在，可能累次极限不存在．比如：

则 

从而可证但都不存在．

（2）若都存在，则它们一定相等．

（3）若三者都存在，则三者必然相等．

5．f（x，y）在点集E上有定义，为E的一个聚点，试给出不存在的Cauchy收敛准则表达式．[西安交通大学研]

解：不存在的Cauchy收敛准则是，存在，对任意的δ，有，尽管，但是．

6．求．[华南师范大学研]

解：方法一：

令，则

．

方法二：

对任意的ε，存在，当时，有

．

7．求．[北京化工大学研]

解：由于，又因为

所以．

8．求．[南京师范大学2006研]

解：令，所以

9．设f（x，y）在上有定义，，且存在p＞0，使得当时，，证明：．[清华大学研]

证明：因为，所以对任意的ε＞0，存在0＜δ＜ρ，使得

因为当时，，所以在上述不等式中令可得

故．

10．设二元函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且有，试问（0，0）是否为f（x，y）的极值点？请说明理由．[西安电子科技大学研]

解：是极小值点．由于f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，所以

因为，由连续函数的局部保号性知存在δ＞0，使得当时有

所以，故（0，0）是f（x，y）的极小值点．