
第19章 隐函数存在定理和隐函数求导法
1.设f为可微函数,和方程
(①)试对以下两种情况,分别求
在点
处的值.
(1)由方程①确定了隐函数z=z(x,y);
(2)由方程①确定了隐函数y=y(x,z).[华中师范大学研]
解:(1)由题知,记

在方程两端对x求导有

解得
于是,故
(2)对方程①两端对x求导有:

解得

则
2.设方程求隐函数的偏导数
[北京科技大学研]
解:由于两边对x求导得
②
解得
③
类似,等式两边对y求导可解得
④

3.依据隐函数存在定理,给出y=f(x)反函数存在定理的表达.[西安交通大学研]
解:令F(x,y)=y-f(x),若y=f(x)的反函数g(y)存在,则有
(1)对,有F(x,y)连续;
(2)、
存在;
(3);
(4)F(x,y)=0.
故F(x,y)=0惟一确定了一个定义在R上的隐函数x=g(y),即y=f(x)的反函数.
4.设z=z(x,y)由方程所确定,证明:
.[华南理工大学研、清华大学2006研]
证明:对题目中的方程关于x求偏导可得,解得

两边关于y求导可得,解得

代入,可得
.
5.设z=f(u),方程定义了隐函数u=u(x,y),其中f(u)、φ(u)可微,P(t)、
连续,且
,求
.[华东师范大学2006研]
解:对求偏导数有

所以,从而根据链式求导法则知

故
6.求由方程

所确定的隐函数z=z(x,y)的极值.[青岛科技大学2006研]
解:求一阶偏导数有

令解得稳定点为x=0、y=1,从而有z=1或z=3.再求二阶偏导数有

在x=0、y=1、z=1处,,解得
,
,
,
此时,
,所以z=z(x,y)在x=0、y=1、z=1处取极小值1;
在x=0、y=1、z=3处,,解得
,
,
,
此时,
.所以z=z(x,y)在x=0、y=1、z=3处取极大值3.
7.设u=u(x,y)、v=v(x,y)满足方程求
.[大连理工大学2006研]
解:对方程组分别关于x、y求导得

解得 .
8.y=y(x)由方程确定,求y=y(x)的图形在点(0,1)处的切线方程.[上海大学2006研]
解:将对x求导有

从而,所以
.故y=y(x)的图形在点(0,1)处的切线方程为
.
9.求两柱面的交线在点
处的切线方程.[天津大学研]
解:令,则由公式可得

所以切线方程为.
10.请利用Lagrange乘数法求目标函数在约束条件为x+y+z=1限制下的最大值(其中,x、y、z、m、n、p均是大于零的实数).[复旦大学研]
解:应用Lagrange乘数法,令
,
对L求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有

当x、y、z都不为0时,求得该方程组的解为

所以最大值为.
11.求,(n为正整数)在条件x≥0、y≥0,常数a>0下的极值.[重庆大学研]
解:令,则

解得,所以f(x,y)的极值为
.