第2章　自动控制系统的数学模型

一、选择题

1．设系统的开环传递函数G（s）分母的阶次为n，分子的阶次为m，而且n≥m，则的（　  ）。[南京理工大学研]

A．零点数等于极点数　

B．零点数小于极点数

C．零点数大于极点数　

D．零点数等于、或小于、或大于极点数

【答案】A

【解析】D（s）＝1＋G（s）的次数由极点决定，所以选A。

2．系统的结构确定之后，描述系统的方框图是（　　）。[华中科技大学2008年研]

A．唯一的　 

B．不唯一的　 

C．不确定的　 

D．不可变的

【答案】B

3．以下关于传递函数的叙述，错误的是（　　）。[杭州电子科技大学2007年研]

A．传递函数能描述任意的线性系统

B．求取系统的传递函数时，要求系统处于零初始条件

C．传递函数给出了输出量拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯变换比

D．通常，单输入、单输出线性定常系统的传递函数和微分方程是一一对应的

【答案】A

4．传递函数，极点的留数随零点靠近原点（　　）。[重庆大学2006年研]

A．其绝对值随着增大 

B．其绝对值随着减小

C．不发生改变  　

D．变化只取决K的大小

【答案】A

5．分析线性控制系统动态性能时，最常用的典型输入信号是（　　）。[杭州电子科技大学2007年研]

A．单位脉冲函数　

B．单位阶跃函数　

C．单位斜坡函数　

D．单位加速度函数

【答案】B

6．系统的单位阶跃响应为 

B．

C．　

D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，由线性系统的性质得到系统的单位脉冲响应为：

二、填空题

1．传递函数的定义为______。[武汉大学、浙江工业大学、北京航空航天大学研]

【答案】在零初始条件下系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比

2．系统的单位脉冲响应

图2-1

解：

对B点：

　  　①

对C点：

　 ②

式①取拉式：

　  ③

式②取拉式：

　  ④

式④代入式③：

两相似系统变量间对应关系：电压U——位移X。

电阻R——粘滞阻尼系数f。

电容C——弹性系数的倒数1/K。

2．某单位反馈系统的脉冲响应为，求系统的开环传递函数。[华中科技大学研]

解：由题意，系统的闭环传递函数为，由于，代入可以得到，于是系统的开环传递函数为

3．试确定当负反馈环节，前向通道传递函数分别为惯性环节、微分环节

积分环节、二阶振荡环节时，系统的闭环传递函数。[大连理工大学研]

解：  ，

惯性环节时　 ，

微分环节时　  ，

积分环节时 ，

二阶振荡环节时 

4．已知机械系统如图2-2所示，其中质量为M₁和M₂，弹簧的刚度为k₁和k₂，a＝b＝c，不考虑摩擦力，试求力，到位移x的传递函数。[清华大学研]

图2-2

解：M₁的转动惯量为，设杆的转角为θ，对M₂有

对M₁有

在零初始条件下进行拉普拉斯变换并整理可得

5．如图2-3车头拉一拖车，车头与拖车之间的连接可抽象为图2-3所示弹簧——阻尼器并联的力学模型，k为拖挂连接装置的弹性系数，为拖挂连接装置的黏性摩擦因数，为车头质量，为拖车质量，为拖车的黏性摩擦因数，为车头动力。[清华大学研]

图2-3

（1）试写出车头动力作为输入，车头位移作为输出的传递函数；

（2）试写出车头动力作为输入，拖车位移作为输出的传递函数。

解：（1）由题意，对有

①

对有

②

对①，②两式在零初始条件下拉普拉斯变换可以得到

③

　  ④

由③，④两式消去y₂（s）可以得到

（2）由③，④两式消去y₁（s）得到

6．R－L－C电路如图2-4所示。设输入电压为，试写出该电路以为输入，以为输出的传递函数，并计算通过电阻的稳态电流[哈尔滨工业大学大学研]

图2-4

解：由题意，电阻的阻抗为，电容的阻抗为，电感的阻抗为，则电容和电阻并联的等效阻抗为

再由串联电路的分压原理有

由已知，，则再由，可以得到

再由终值定理有

7．试求图2-5所示运算放大器电路的传递函数[上海交通大学研]

图2-5

解：设，设通过的电流分别为，由题意可以得到以下各式：

整理消去中间变量U（s）可以得到

8．写出图2-6所示网络的传递函数。[东南大学研]

图2-6

解：设之间的电压为U，通过的电路分别为，可以得到

由以上各式消去中间变量U（s）可以得到

9．写出下图2-7所示电路输出电压与输入电压之间的微分方程。[东北大学、湖北工业大学研]

图2-7

解：设通过电容的电流为，通过电感的电流为，可以得到微分方程为

传递函数为

两者之间满足的微分方程为

10．计算传递函数[西安电子科技大学研]

图2-8

解：对图2-8（a）所示系统，

对图2-8（b）所示系统，

11．系统如图2-9所示，试写出微分方程，并求出传递函数[电子科技大学研]

图2-9

解：

12．某电路可用下列动态方程描述：

式中，是系统输入量，是系统输出量，为中间变量，为电路参数（常数）。试画出系统的动态结构图，并求传递函数。[武汉大学研]

解：系统的动态结构图如图2-10所示。

图2-10

13．在图2-11所示的机电系统中，为输入电压；y（t）为输出位置，和分别为电磁线圈的电阻与电感；M为衔铁的质量；K为弹簧的弹性系数；b为阻尼器的摩擦因数；放大器的增益为假设电磁线圈对衔铁M产生的作用力为；电磁线圈的反电动势为[西安交通大学研]

（1）画出系统原理框图，简要说明其工作原理；

（2）建立系统的传递函数。

图2-11

解：（1）系统框图如图2-12所示。

图2-12

其基本工作原理为：输入电压与电磁线圈的反电动势进行比较，得到偏差电压，经放大器放大后，通过电磁线圈的回路，产生电流i（t），由于存在电流i（t），线圈产生对衔铁的吸引力，使衔铁产生运动，衔铁位置的变化将使电磁线圈产生的感应电动势，反馈到放大器的输入端，从而实现反馈控制。

（2）由题意，对衔铁根据牛顿第二定律有

①

对线圈回路有

　 ②

由已知：

③

  ④

对以上式①，式②，式③，式④在零初始条件下进行拉普拉斯变换有

由以上各式整理可以得到

14．系统结构如图2-13所示，试用框图等效变换法求传递函数[浙江大学研]

图2-13

解：该框图等效后

15．用框图化简法，求图2-14所示系统的闭环传递函数。[浙江大学研]

图2-14

解：变换过程如图2-15所示。

图2-15

于是系统的闭环传递函数为

16．利用框图简化方法，求出图示2-16系统的传统函数[北京交通大学研]

图2-16

解：框图的化简过程如图2-17所示。

可以得到系统的前向通道传递函数为

反馈通道传递函数为

于是可以得到：

图2-17

17．试用框图化简法求图2-18所示系统的传递嫡数[北京交通大学研]

图2-18

解：

18．化简图2-19所示框图，并求传递函数[武汉大学研]

图2-19

解：

19．已知某系统结构如图2-20所示，试用结构变换法求和[北京航空航天大学研]

图2-20

解：

20．试分别用简化结构图、信号流图方法求图2-21所示系统的传递函数[华南理工大学研]

图2-21

解：用Mason公式求解：

有两条前向通道：

有三条回路：

系统特征式：

从而：

将以上结果代入Mason公式：

21．已知系统的信号流图如图2-22所示，求传递函数[上海交通大学、西安交通大学研]

图2-22

解：由题意

对于

代入可以得到

对于

对于

22．已知系统的信号流图如图2-23所示，由Mason增益公式求得传递函数为

，若结果正确，请写出求解过程，若不正确，请指出错误，并写出正确的传递函数[华中科技大学研]

图2-23

解：由图可以看出，对于结果正确。

23．控制系统如图2-24所示，求[哈尔滨工业大学研]

图2-24

解：由框图可以得到系统的信号流如图2-25所示

图2-25

代入可以得到

24．控制系统如图2-26所示。求：图2-26的传递函数；图2-27的脉冲传递函数[厦门大学研]

图2-26

图2-27

解：对于图示的连续系统，其信号流图如图2-28所示。

图2-28

对于

对于图2-28所示的离散系统，，离散化可以得到

25．求图2-29所示结构图的传递函数[大连理工大学研]

图2-29

解：系统的信号流图如图2-30所示。

图2-30

26．控制系统的动态结构如图2-31所示，试求系统输出y（s）对输入信号R（s）的传递函数Y（s）／R（s）。[东北大学研]

图2-31

解：本题可用结构图化简或Mason公式求解，这里选Mason公式进行求解。

于是

27．计算闭环传递函数[西安电子科技大学研]

解：对于图2-32所示系统，

图2-32

对图2-33所示系统

图2-33

28．试用框图或信号流图方法，求系统的传递函数c（s）／R（s）。[燕山大学研]

图2-34

解：直接运用Mason公式

29．控制系统的结构如图2-35所示，画出信号流图，求出该系统的传递函数Y（s）／R（s）和误差传递函数E（s）／R（s）。[河北大学研]

图2-35

解：由Mason公式可得系统传递函数及误差传递函数如下：

30．（1）系统结构如图2-36所示，试求出：

图2-36

（2）系统的信号流如图2-37所示，试求出C（s）／R（s）。[天津工业大学研]

图2-37

解：（1）直接运用Mason公式

（2）由Mason公式可知

31．控制系统的信号流如图2-38所示。

图2-38

（1）求传递函数C（s）／R（s）；

（2）若K＝0，为使C（s）／R（s）保持不变，应如何修改G（s）？[北京邮电大学研]

解：（1）对于

代入整理得到

当时，代入可以得到

（2）当K＝0时，求解得到：

32．已知某控制系统结构图如图2-39所示，试求：

图2-39

（1）用等效变换的方法化简结构图，求出系统的传递函数

（2）用Mason公式确定系统的传递函数[中科院研]

解：（1）系统等效变换的过程如图2-40所示。

于是前向通道的传递函数为

图2-40

可以得到

（2）系统的信号流图如图2-41所示。

图2-41

整理可以得到

与用框图化简法得到的结果一致。

33．试求系统的单位脉冲响应。[大连理工大学研]

解：