第3章　自动控制系统的时域分析

一、选择题

1．系统的特征方程的根在[s]平面上的位置与系统瞬态响应的对应关系为（　　）。[清华大学研]

A．只要有一个根在[s]平面的左边，系统的瞬态响应就收敛

B．只要有一个根在[s]平面的右边，系统的瞬态响应就收敛

C．只要有一个根在[s]平面的右边，系统的瞬态响应就发散

D．只要有一个根在[s]平面的左边，系统的瞬态响应就发散

E．所有根在[s]平面的右边，系统的瞬态响应就收敛

F．所有根在[s]平面的右边，系统的瞬态响应就发散

G．所有根在[s]平面的左边，系统的瞬态响应就收敛

H．所有根在[s]平面的左边，系统的瞬态响应就发散

1．特征方程的所有根在[s]平面的虚轴上，系统的瞬态响应就发散

J．特征方程的所有根在[s]平面的虚轴上，系统的瞬态响应就收敛

【答案】C

2．系统开环传递函数为则系统在输入信号作用下的稳态误差为（　  ）。[东南大学研]

A．0.1 

B．10　

C．0.05　 

D．0

【答案】D

【解析】由题意

3．闭环控制系统能有效地控制（　　）中的扰动的影响。[北京理工大学研]

A．给定通道　 

B．前向通道　 

C．反馈通道　 

D．测量通道

【答案】B

【解析】通过前馈补偿，闭环控制系统能够有效消除前向通道中的扰动，故选B。

4．单位反馈系统的开环传递函数为则闭环系统是（　　）。[重庆大学研]

A．稳定系统　 

B．临界稳定系统　 

C．不稳定系统　 

D．稳定性难以确定

【答案】C

【解析】特征方程为

列写劳斯表如表3-1所示：

表3-1

第一列不全为正，由劳斯判据易得系统不稳定。

5．高阶系统的时域指标随频域指标的增加（　　）。[华中科技大学2009年研]

A．保持不变　 

B．缓慢变化　 

C．增大　 

D．减小

【答案】C

【解析】对于同一个系统，若在时域内的其中K为增益，对比可以得到，得到自然频率阻尼比

2．对于高阶系统，如果能找到一对（或一个）______，则高阶系统可近似用二阶（或一阶）系统进行分析。[重庆大学研]

【答案】闭环主导极点。

3．试述线性系统稳定的充分与必要条件______。[东北大学研]

【答案】所有特征根均位于左半平面。

4．线性系统的单位斜坡响应为" />，则该系统的单位阶跃响应为______，该系统的传递函数为______。[北京理工大学2007年研]

【答案】；

【解析】单位阶跃输入r(t)=1是单位斜坡输入r(t)=t的导数，则单位阶跃响应是单位斜坡响应的导数，即单位阶跃响应为：　 ，系统的误差系数有3种，即阶跃（位置）误差系数H（s），速度误差系数，加速度误差系数

四、计算题

1．已知某系统结构如图3-1所示。

图3-4

（1）当反馈通道传递函数时，其开环系统单位阶跃响应曲线如图（b）所示，试确定系统的增益阻尼比和自然频率

（2）若要求系统阻尼比提高到而保持系统增益和自然频率不变，试设计反馈通道的传递函数

解：（1）由图可以看出：

解得则

（2）可是通过微分反馈来实现，设代入得此时的闭环传递函数为

此系统的自然频率和增益与原系统相同，阻尼比则为

2．已知系统的结构图如图3-2所示。若时，试求

（1）当时，求系统的响应，超调量及调节时间

（2）当时，若要使超调量，试求应为多大？并求出此时的调节时问

的值。

（3）比较上述两种情况，说明内反馈的作用是什么？[华南理工大学研]

图3-2

解．为欠阻尼系统。故

（2）当时：同（1），令，代入可求出。进而代入可求出

（3）引入速度负反馈可以使系统的阻尼比增加，使系统的超调量变小，调节时间变小，但同时也使系统的稳态误差增加。

3．某一具有单位负反馈的二阶系统，实验测得该系统在单位阶越信号作用下的响应曲线如图3-3所示。试确定出该系统的开环传递函数。[北京交通大学研]

图3-3  阶跃响应

解：由题意，设系统的开环传递函数为

系统的闭环传递函数为

由系统的单位阶跃响应曲线可以看到，系统的超调量可以得到，系统的阻尼比。由图示可以得到可以得到，可以得到ω_n＝37.4rad／s，代入可以得到系统的开环传递函数为

4．二阶单位负反馈系统的开环传递函数是求闭环系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率，阶跃响应超调量和调整时间。[清华大学研]

解：由题意，该系统的闭环传递函数为

超调量 

调整时间 （5％误差带）。

5．3个典型二阶系统的闭环传递函数均有这样的形式：它们的单位阶跃响应分别如图中3-4①②③所示，其中t_s1，t_s2分别是系统（1）和（2）的调节时间，t_p1，t_p2，t_p3。分别是系统的峰值时间，在同一s平面中画出3个系统闭环极点的相对位置，并说明理由。[南京理工大学研]

图3-4

解：由题意，系统的闭环极点为，由图3-10可以看出

，又因为超调量，可以得到。

于是三者的闭环极点的相对关系大概如图3-5所示。

图3-5

6．若希望控制系统的特征方程的所有特征根都位于s平面s＝－1的左侧区域，而且，在s平面上画出特征根的分布范围。[华中科技大学研]

解：由可以得到其闭环特征根在s平面的分别如图3-6所示。

图3-6

7．控制系统如图3-7所示，其中K₁，K₂为正的常数，β为非负常数

图3-7

试分析：

（1）β值对系统稳定性的影响；

（2）β值对系统阶跃响应动态性能的影响；

（3）β值对系统斜坡响应稳态性能的影响。[东南大学、湖南大学研]

解：（1）系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

特征方程为

当β＝0时，系统临界稳定，p＞0时，系统稳定。

（2）于是得到，令得到

当时，得到欠阻尼，系统衰减振荡；

当时，得到临界阻尼，系统等幅振荡；

当时，得到，过阻尼，系统无振荡衰减；

（3）由系统的开环传递函数为可以得到

，即与β成线性关系。

8．对于图3-8所示反馈系统，已知其阶跃响应者欠阻尼情况下的拉普拉斯变换为

其中试求其峰值时间和最大超调量。[厦门大学研]

图3-8

解：峰值时间，最大超调量

9．试说明极点为的二阶振荡环节的单位阶跃输入作用下的输出波形的参数：稳态输出＝？调整时间＝？（95％计算），最大调整量M_p＝？峰值时间t_p＝？[ 清华大学研]

解：特征方程为

将代入得到

于是

10．某随动系统框图如图3-9（a），减速器的减速比i＝50，试求

（1）闭环系统的阻尼比自然频率阶跃响应之超调量及调节时间

（2）采用图3-9（b）的校正方式，其中附加放大器放大系数为速度反馈系统为为使校正后系统有图3-9（c）之阶跃响应，试确定之值。[重庆大学研]

图3-9

解：（1）由题意，系统闭环传递函数为

（2）加入速度反馈和增益后系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

由校正后系统的动态响应曲线，得到

得到，于是

11．设单位负反馈控制系统的开环传递函数为

（2）动态性能指标

（3）若要，当T不变时，K应取何值。[电子科技大学研]

解：（1）闭环传递函数为

（2）（5％误差带）

（3）

12．设复合控制系统如图3-10所示。试确定及，使系统输出量完全不受扰动信号N（s）的影响，并且单位阶跃响应的超调量，峰值时间t_p＝2s。[武汉大学研]

图3-10

解：由题意

代入得到

对于，将图中从左至右的第三个比较点后移，可以得到：

要使系统输出完全不受扰动影响，可以取此时。

由得到，由可以得到，

13．对一单位负反馈系统，施加输入测试信号

其输出的零状态响应为

（1）试确定系统的传递函数

（2）概略绘制系统的单位阶跃响应曲线；

（3）指出该单位阶跃响应的主要特点。[中科软院自动化所研]

解：（1）由题意

（2）由令可以得到，当时

,当

  时,故先增后减，将代入可以得到系统输出的稳态值为

得系统的单位阶跃响应曲线如图3-11所示。

图3-11

（3）将传递函数进行分解

其中为过阻尼二阶系统的阶跃响应，无超调，从图3-25可以看出叠加后两者有超调而不振荡。

14．已知二阶系统的结构如图3-12（a）所示。

图3-12

试：（1）确定系统的阻尼比时的开环增益K值；

（2）当K＝40时，要求系统仍具有的阻尼比时，试确定图3-12（b）所示的速度反馈的时间常数T。[国防科技大学研]

解：（1）时，K＝4；

（2）

15．已知系统如图3-13所示，

试求：（1）系统闭环主导极点；

（2）由此闭环主导极点所决定的系统超调量及调节时间

（3）系统的误差系数、和[西安交通大学研]

图3-13

解：（1）由题意，系统的闭环传递函数为

得到系统的闭环极点为

（2）由上面得出的闭环传递函数可以得到

于是。调节时间为

（3）系统的开环传递函数为

16．控制系统的闭环传递函数为，计算系统的超调量[华中科技大学研]

解：由题意，系统的闭环极点显然离虚轴距离比其他两个极点大好多，原系统可以近似为

系统的超调量为

17．已知系统的开环传递函数为希望系统的动态性能指标

，试通过输出反馈使系统的闭环极点位于希望的闭环主导极点位置上，求反馈参数。[国防科技大学研]

解：由系统的动态性能指标，设其一对闭环主导极点为，令一极点为，其闭环主导极点满足方程

于是系统的特征方程为：

对照可以得到：

因为s＝－d为非闭环主导极点，取d＝6得到

于是。

18．何谓“稳态误差”？系统类型与稳态误差有何关系？写出0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统对阶跃、斜坡、加速度输入作用下的静态误差系数。[中科院长春光机所研]

答：稳态误差指的是系统跟踪已知输入信号稳态输出与输入之间的偏差，系统类型越高，对典型信号的跟踪能力越强，0型、1型、Ⅱ型系统对阶跃、斜坡、加速度输入作用下的静态误差系数如下表3-2所示。

表3-2

19．系统如图3-14所示，误差为试选择的值，使稳态误差。[浙江大学研]

图3-14

解：　

由终值定理：

因为，所以

20．系统如图3-15所示，误差．试选择的值，使稳态误差

[浙江大学研]

图3-15

解：

21．设单位负反馈控制系统的开环传递函数为试确定位置误差系数速度误差系数及加速度误差系数并求当输入信号分别为和时系统的稳定误差[电子科技大学研]

解输入信号为时

22．设控制系统如图3-16所示，其中前向通道中的G（s）的单位阶跃响应为求

时系统的稳态误差。[哈尔滨工业大学研]

图3-16

解：由题意，

则系统的开环传递函数为

当输入时系统的稳态误差

23．设复合控制系统如图3-17所示，求：

（1）当时，系统的稳态误差；

（2）系统的单位阶跃响应表达式。[大连理工大学研]

图3-17

解：稳态误差

（2）单位阶跃响应为

24．单位反馈系统闭环传递函数为求单位阶跃输入下的稳态误差和单位斜坡输入下的稳态误差。[清华大学研]

解：

当输入为单位阶跃，即

当输入为单位斜坡，即

当；当

25．已知单位负反馈系统的闭环传递函数为其中均为不为零的系数。试求：

（1）证明此系统对阶跃输入和斜坡输入时系统的稳态误差为零；

（2）求此系统在输入作用下，系统的稳态误差。[国防科技大学研]

解：（1）由题意，系统的误差传递函数为：

即此系统对阶跃输入和斜坡输入时系统的稳态误差为零。

26．已知图3-18所示的控制系统由下述微分方程描述：

式中若要求在作用下，系统的稳态误差不大于0.1，试求应满足的条件。[西北工业大学、北京航空航天大学研]

解：将已知的微分方程在零初始条件下进行拉普拉斯变换有

图3-18

画出系统的结构图如图3-19所示。

图3-19

，得到误差传递函数为

代入可以得到

代入数值可以得到系统的特征方程为首先应保证系统闭环稳定，列写劳斯表如下表3-3所示。

表3-3

系统闭环稳定时，可以得到

由得到

27．某系统结构如图3-20所示，其中

试设计校正环节．使该系统在输入作用下的稳态误差为零。[南京航空航天大学研]

图3-20

解：为了使系统在作用下的稳态误差为零，系统至少为Ⅱ型系统，又由于单纯的积分环节对系统的稳定性有一定影响，在此，不妨假设此时系统的开环传递函数为

此时还必须保证系统闭环稳定，此时系统的特征方程为

整理可以得到，列写劳斯表如下表所示。

系统稳定时，得到

28．已知系统框图如图3-21所示。

求：（1）当时，系统对的型别如何？它对单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入的稳态误差影响如何？

（2）为使系统对为Ⅲ型系统，设试确定参数的值？（提示[电子科技大学研]

图3-21

解：（1）Ⅰ型系统，单位阶跃输入时稳态误差为0；单位速度输入时稳态误差为单位加速度输入时的稳态误差为无穷大；

（2）

29．某复合控制系统如图3-22所示，前馈环节为其中

图3-22

（1）试确定a和b的值，使系统对单位抛物线输入的稳态误差为零；

（2）当无前馈环节时，计算系统时域性能指标并求单位斜坡输入下的稳态误差；

（3）分析在（2）情况下，当增大时对系统性能的影响。[南开大学研]

解：（1）

（2）系统为过阻尼二阶系统由经验公式

单位斜坡输入下的稳态误差

（3）增大斜坡输入时系统的稳态误差减小，系统的阻尼比减小，系统动态性能变快。

30．系统结构如图3-23所示，试判断系统稳定性，并确定系统在单位斜坡信号输入下的稳态误差。[西安交通大学研]

图3-23

解：由劳斯判据知该系统稳定。由于开环传递函数为Ⅱ型系统，所以斜坡输入下系统的稳态误差为0。

31．控制系统如图3-24所示。

图3-24

（1）若要减少扰动引起的稳态误差，应提高哪个放大倍数？为什么？

（2）当，而且无前馈（顺馈）控制器（如图中虚线所示）时，求稳态误差的表达式；

（3）试设计前馈（顺馈）控制器（如图中虚线所示），使引起的稳态误差为零。[哈尔滨工业大学研]

解：（1）由题意，扰动到输出的传递函数为

当输入为，因此要想降低扰动引起的误差，必须增大在扰动前的增益，即增大的值可以减小扰动引起的误差。

（2）由题意．当输入为当

（3）加入前馈控制控制器后

当时

取由系统的特征方程可以知道此时系统闭环稳定。

33．图3-25所示为一线性控制系统的结构图．为对象传递函数为控制器。

图3-25

（1）试推导出传递函数

（2）假设，试求当时的输出响应

（3）若如（2）所给之式子，试选择使得当n（t）是单位阶跃函数[西安交通大学研]

解：（1）由题意，系统的信号流图如下所示：

运用Mason公式，对于

所以

对于

（2）将代入可以得到

当

（3）当时，由代入可以得到

当代入可以得到

要使即在此处可选择，此时（注：选择不唯一）

此时还需验证系统闭环稳定，此时系统的特征方程为，列写劳斯判据如下表3-4所示。

表3-4

可见系统闭环稳定，所设计的满足要求。

34．控制系统的结构如图3-26所示。

（1）设求系统输出

（2）若，求稳态误差

（3）试分析减少或消除的措施。[湖南大学研]

图3-26

解：（1）

（2）

（3）今

35．如图3-27所示系统。

图3-27

（1）设外扰动已知系统的单位阶跃响应为求参数K和a，求阻尼系数和自然谐振频率并确定阻尼振荡频率和相角；

（2）设参考输入为单位阶跃，外扰动为单位斜坡函数：

求稳态误差[北京理工大学研]

解：（1）由题意由系统的单位阶跃响应为

解得，可以得到

（2）由题意

当；

36．设复合控制系统如图3-28所示。

图3-28

（1）为了满足扰动对系统输出无任何影响的要求，图中应满足什么条件？

（2）为了满足系统在作用下的稳态误差为0，并且同时满足第1问中的要求，请写出最简单的表达式。（所谓“最简单的表达式”指化简后的分子及分母多项式取最低幂次多项式）[四川大学研]

解：（1）由题意，扰动对误差的传递函数为

于是为了满足扰动对系统输出无任何影响的要求

（2）系统的闭环传递函数为

误差传递函数为

可以取此时系统的特征方程为

显然此时闭环系统稳定，由得到

37．控制系统的特征方程为试用劳斯判据分析系统的稳定性。[华中科技大学研]

答：可见表3-5第一列不全为正，故该系统不稳定。

表3-5

38．已知某系统的闭环特征方程式如下，试判断系统的稳定性并求系统在s右半平面根及纯虚根的个数。[北京航空航天大学研]

答：不稳定，系统具有两正根，两位于左半平面复根，两位于虚轴上的复根。

39．某控制系统的结构如图3-29所示。试求该系统的闭环传递函数，并确定使系统稳定的K值范围。[上海大学研]

图3-29

答：系统的闭环传递函数为

系统闭环稳定时1＜K＜11。

40．给定系统的开环传递函数为试判别K取何值时系统稳定。[大连理工大学研]

解：由题意，系统的特征方程为

列写劳斯表如下表3-6所示。

表3-6

要使闭环系统稳定由劳斯判据判断系统的稳定性，并求出系统的闭环极点。[华中科技大学研]

解：由题意，列出的劳斯表如下表3-7所示。

表3-7

出现了全零行，继续劳斯表3-8可以得到

表3-8

由于系统出现了全零行，故系统临界稳定，由当系统的阶跃响应为等幅振荡时，试确定a值和振荡频率ω₀。[华中科技大学研]

解：（方法一）由系统的特征方程，要求系统的阶跃响应为等幅振荡，要求闭环极点中必有共轭虚根

不妨将代入系统的特征方程，可以得到

于是可以得到

（方法二）应用劳斯判据，列写劳斯表如下表3-9所示。

表3-9

要使系统产生等幅振荡，s¹应为全零行，即试确定：

（1）系统产生等幅振荡的K值及相应的振荡角频率；

（2）全部闭环极点位于s＝－2垂直线左侧时的K取值范围。[浙江大学研]

解：（1）由题意，系统的闭环传递函数为：

系统的特征方程为

当系统产生等幅振荡时，设振荡频率为ω，则系统的特征方程应该有纯虚根代入可以得到

（2）令ω＝s＋2，可以得到s＝ω－2，代入特征方程可以得到

列写劳斯表如下表3-10所示。

表3-10

要使闭环系统稳定，即ω位于虚轴左侧，则S位于S＝－2左侧，K－14＞0，15－K＞0，14＜K＜15。

44．某控制系统的结构图如图3-30所示。

（1）求该系统的闭环传递函数

（2）判断该闭环系统是否稳定，并说明理由。[南京邮电大学研]

解：（1）

（2）闭环系统不稳定，因为特征方程含负系数项，不满足系统稳定的必要条件。

图3-30

45．已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试求：（1）确定系统稳定时K的取值范同；

（2）如果要使闭环系统的根全部位于s＝－1垂线之左，K的取值范围是多少？[电子科技大学研]

答：（1）0＜K＜14；（2）0.675＜K＜4.8。

46．单位负反馈系统得开环传递函数是由三个惯性环节串联而成，这三个惯性环节的时间常数分别是

其中a＞0，T＞0，试证明

（1）当a＝1时，使闭环系统稳定的临界放大倍数等于8，与T无关；

（2）当T＝1时，且开环放大倍数为临界值时，闭环系统远离虚轴的极点为

（3）求一般情况下临界开环放大倍数的表达式，并证明8是临界开环放大倍数的最小值。[清华大学研]

解：由题意，设系统的开环传递函数为

其中K为系统的开环增益

系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

整理可以得到

（1）当a＝1时，代入可以得到列写劳斯表如下表3-11所示。

表3-11

当系统稳定时

列写劳斯表如下表3-12所示。

表3-12

当闭环系统临界稳定时，有的解应为其闭环系统的特征根，即比较此时D（s）的表达式，由韦达定理，方程的另一根为

即当T＝1时，且开环放大倍数为临界值时，闭环系统远离虚轴的极点为

（3）在一般情况下，列写系统的劳斯表如下表3-13所示。

表3-13

系统临界稳定时等号成立时故

即8是临界开环放大倍数的最小值。

47．位置随动系统如图3-31所示，其中为控制器。

图3-31

（1）系统的输入和干扰信号均为单位阶跃信号，当时，试确定系统的稳态误差；

（2）欲使系统对单位阶跃信号的稳态误差为零，应取何种形式？（简述理由，不要求计算）[中科院自动化研]

解：（1）系统的稳态误差为零；

（2）其中

此时的

48．已知线性控制系统的结果图如图3-32所示，T＝0.1，J＝0.01，为给定系统参数，定义系统误差为

图3-32

（1）当时，说明K和值如何影响的稳态值；

（2）令当干扰输入信号为单位阶跃信号时，说明K和的值如何影响的稳态值；

（3）若在（2）的条件下再令求此时的稳态值和最小值，以及取得最小值时对应的K值，从暂态响应角度分析，系统是否能够在此K值下运行，说明原因。[四川大学研]

解：（1）当时，系统的开环传递函数为

系统的闭环传递函数为

故和K比值越大，稳态误差越大。

（2）由图可以得到

即值越大，输出稳态值越小。

（3）得到

代入数值可以得到

49．已知最小相位系统的结构图如图3-33（a）所示，环节的折线幅频特性如图3-33（b）所示，求：

（1）确定的传递函数和图中曲线与横轴交点的频率

（2）确定使得闭环系统稳定的参数T的范围，调节参数T能否使系统出现振荡？若不能．说明原因；如果有，则写出振荡频率；

（3）若调节参数T使得闭环系统处于稳定范围，此时若求系统的稳态误差[东南大学研]

图3-33

解：（1）由系统的幅频特性曲线，知系统由两个积分环节，设系统的开环传递函数

．低频段折线方程为由L（0.5）＝40可以得到K＝25，

（2）系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

特征方程

列写劳斯表如下表3-14所示。

表3-14

系统稳定时

得到

假设系统会出现等幅振荡，令代入特征方程得到

于是系统可以振荡，此时得频率为，系统临界稳定。

（3），

解：当校正装置对闭环系统为最小拍系统。