1.4　花哨小店与集合论

显然，这些文具是按照一定的规律进行收纳和摆放的。比如，我们可以把笔放在一个笔筒里，把本子堆成一摞儿放在一起，把圆规和尺子放在一起。为了更方便顾客的选购，我们也可以把笔进行分类：铅笔可以根据软硬度的不同放在不同的笔筒里面，自动铅笔单独放在一个笔筒里面，钢笔、签字笔、油性笔也要放在不同的笔筒里面。然后再把这些笔筒排列整齐放在一起。本子也可按照大小摞成不同的堆儿，然后再整齐的放在货架上。在数学上，这种收纳和分类的方法称为集合。

把所有文具放在一起，就可以构成一个集合。我们可以根据自己的喜好，给这个集合起个名字。这里我们给它取名为文具集。文具集这三个字的含义就是把打印店或文具店里面所有的文具放在一起。我们可以将所有文具简单地分为笔、本、作图工具和其他。如果我们把文具里的所有笔挑出来，就可以构成一个新的集合，我们给它取名为笔集。

显然，每个集合里面的内容都是一些有共同特点的事物，我们建立集合的标准之一就是：集合中的事物要有明确的共同特点。当然，所谓的共同特点只要能自圆其说就可以了。比如，你也可以把塑料尺和圆珠笔放在一个集合中，因为它们都可以算作塑料制品。而在笔集这个集合中，还可以细分为铅笔、钢笔、圆珠笔……那么也就可以对应铅笔集、钢笔集、圆珠笔集……

对于任意一支笔来说，它都属于笔。如果使用数学的语言进行表达，我们就说这支笔是笔集里的一个元素。那么，任意一支笔都可以被称为元素。拿一根HB铅笔来说我们就可以说HB铅笔是笔集的一个元素，也可以说HB铅笔属于笔集。如果用符号表示即为：

HB铅笔∈笔集

当然，HB铅笔还属于铅笔集，也可以说HB铅笔是铅笔集的一个元素。用符号表示为：

HB铅笔∈铅笔集

如果要表示HB铅笔不属于钢笔集，也就是HB铅笔不是钢笔集的一个元素。用符号表示为：

HB铅笔∉钢笔集

显然，所有的铅笔都是笔。但是铅笔包括很多种，笔也包括好多种。

这时候铅笔就不能按照元素，而是要按照集合进行考虑了。所以，我们认为 铅笔集是笔集的子集^注3。铅笔集是笔集的子集的含义就是：所有的铅笔都是笔。用符号表示即为：

铅笔集⊆笔集

当然，对于打印店或者文具店来说，一模一样的文具会有很多。如果文具太多，就应该把它们放在库房里面，只留样品放在外面进行展示。集合也是这样：集合里面的元素就相当于样品，每个集合里面的元素是不重复的。

有时，某些商品非常畅销，以至于脱销了，甚至连样品都卖出去了。那么在商家再次订购这种商品之前，这种商品就处于缺货状态，如图1-3所示。这种缺货状态，也就是“一个都没有”的状态，在数学上被称为空集，符号为Ø。

图1-3　缺货状态

在数学上有一个有趣的现象，就是把“什么都没有”也作为一种状态或一个集合来进行考虑。而且任何集合都有可能什么都没有，也都包括“什么都没有”。这有点儿像是“任何数加上零都等于它自己”。所以，空集是任何一个集合的子集。

此外，任何一个集合也应该包括它自己本身。比如“笔集是笔集的子集”，看似很怪异，但其意为“所有笔都是笔”。这显而易见，在逻辑上也是成立的。所以，任何一个集合也是它本身的子集。

那么，为了避免表达的不清楚，我们给出一个“真子集”的概念：如果一个集合属于另一个集合，而且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。还以铅笔集和笔集为例，因为所有铅笔都是笔，而铅笔不能包括所有的笔(因为还有钢笔、圆珠笔、记号笔、毛笔……)，那么我们就说铅笔集是笔集的真子集，用符号表示为：

铅笔集⊂笔集

需要特别注意的是，在不同的书籍上，使用的符号也不统一。例如，也有使用⊂表示子集，使用⫋表示真子集的情况。这是因为不同的数学家或者编者习惯使用的符号体系不同。为了严谨起见，在证明的时候应该先说明自己使用的 符号体系^注4。

在专业的数学教材中，对于我们之前学习过的函数是这样定义的：把定义域和值域看成两个非空集合，函数是使得定义域集合中的每一个元素都在值域集合中有唯一一个元素与之对应。我们把这种对应的法则称为映射。

这样，我们就能够把集合的概念通过映射和之前学过的函数的概念紧密的联系起来了。原本枯燥乏味的数学，也能够通过一个生活中常见的实例，生动形象地展示给大家。