1.3　精通多元函数的慷慨老板

现在我们先来寻找一下缩印和复印间的规律。首先，我们可以认为复印是按照1∶1的比例进行的缩印。这样我们就可以套用之前得出的有关缩印的公式了，数学中常常把一个新的事物或未知的问题转换为原有的事物或已知的问题从而解决问题，这种问题转化的思想在数学中，特别是微积分这样的高等数学中尤为重要。

让我们回到一开始的式子：

回忆一下，这个式子里面的8是怎么计算出来的呢？ 之前我们说过，在纸的一面上，如果是按2∶1的比例缩印，就可以印原书的4页；要是按照3∶1的比例缩印，就可以印原书的9页。但如果是复印，也就是按照1∶1的比例来进行缩印，那么一面纸上只能印1页。因此，一面纸上可以印的原书的页数等于缩印比例的平方。那么，如果为了节约纸张，正反两面都使用的话，一页纸上能印的原书页数就等于缩印比例的平方再乘以2。

综上所述，我们可以把之前的式子改写为：

根据已有的经验，不难写出需印原书页数，缩放比例和应付金额之间的对应关系。这时候我们设原有页数为x1，缩印比例为x2，它们与应付金额的对应关系写成f(x₁，x₂)。

这里我们要介绍一种新的函数对应关系：多元函数。之前介绍过的函数都是f(x)和g(x)的形式，这种只有一个自变量的函数，我们称其为 一元函数^注1。但是因为需印原书页数为x₁和缩印比例为x₂之间是没有关系的(需印原书页数取决于我们要缩印什么内容，而缩印比例则是根据个人需求而主观决定的)。那么像这样有不止一个自变量，而且自变量之间是彼此独立且没有明确数学关系的，我们就称其为f(x₁，x₂)这样的多元函数。在一些专业领域内，像x₁和x₂这样的自变量可以被称为自由度。有两个自变量其自由度为2，有三个这样的自变量其自由度为3，以此类推。

综上所述，我们只需要把原来的式子中的x替换成x₁，同时把8替换成2×x₂²就可以了。当然，原来的一元函数g(x)此时应写成 多元函数^注2的形式，即f(x₁，x₂)。那么我们就得到了：

细心的读者可能会发现，之前的0＜x＜808和x≥808都换成和，这是因为代表的是应该使用的纸张数。

怎么样？数学是不是并不像想象中那么可怕？ 现在我们已经学会了简单的一元函数和复杂的多元函数。之后我们讨论的话题主要是一元函数，但是多元函数在解决其他的生活问题时也经常用到。从结绳记数法开始，数学便为人类的生活带来了便捷。而生活中的数学，实际上很好玩。