看过刚才的实例，你也许会有这样的疑问：圆珠笔到底属于笔还是塑料制品？生活中类似这样的问题还有很多，比如西红柿到底属于水果还是蔬菜？蔬果汁属于饮料还是保健品？

这就是我们经常说的分类交叉。根据不同的分类标准，一个事物可能同时属于不同的分类。为了解决分类交叉的情况，我们可以采用集合的形式来表示。比如，圆珠笔属于笔集，且属于塑料制品集。那么用集合符号表示为：

圆珠笔∈笔集

且

圆珠笔∈塑料制品集

但是这种表示方法显然太啰嗦了。那么我们不妨引入一个新符号：∩，它念做 交集^注5(简称“交”)。它表示的就是“即这样，又那样”的情况。那么，上面的圆珠笔问题就可以写成：

圆珠笔∈笔集∩塑料制品集

再例如，菜市场中有卖鱼的、卖肉的、卖蔬菜的、还有卖干果的，那么我们如何来表示菜市场中的所有商品呢？ 这时，我们再引入一个新的符号：∪，它念做 并集^注6(简称“并”)。并集的意思是：不管集合之间的从属关系，把所有的内容放在一起。就像是菜市场里面的鱼啊、菜啊等商品，它们虽然属于不同的摊位，也可能由不同的商家进行经营，但是它们仍在一个菜市场出售。在数学上，我们要是想表示这种类似菜市场的关系时，就用到了并集。像菜市场的商品用符号就可以这样表示：

水产品集∪肉集∪蔬菜集∪干果集

是不是很简单呢？我们再来看另一种情况：西红柿属于蔬果类，但不属于肉类。我们用数学语言就可以写成：

蔬果集\肉集

这里我们引入了新的符号：\，它念做差集(简称：差)。它用来表示“属于这个集合而不属于那个集合”的情况。需要注意的是，要把“属于的集合”写在符号的左侧，把“不属于的集合”写在符号的右侧。还有一种情况是，菜市场的摊位都正常营业，但干果摊位因为进货的缘故，在这一天暂停营业了。按照差集的概念，我们可以说，菜市场中除了干果摊位都在营业。用符号表示就是：

所有摊位\干果摊位

如果把所有摊位理解为一个集合的话，那么它是包括干果摊位的。根据之前的内容，我们可以把这种关系写成：

干果摊位⊂所有摊位

当出现这种情况时，我们把所有摊位称为全集。把“所有摊位\干果摊位”写成“”，称其为 补集^注7。

根据前人的大量实践和严谨证明，我们了解到集合间的运算有四条基本规律：

(1)交换律：A∪B=B∪A　　A∩B=B∩A

(2)结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C　　A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(4) 德摩根律^注8：

特别需要注意的是，在集合间的运算的法则中，当括号内、外符号相同时，只有结合律，没有分配律；而在括号内，外符号不同时，只有分配律，没有结合律。

如图1-4所示，有一圆内嵌正6x边形。其中x∈N^*。请用函数表示x与正6x边形与圆半径的平方的比的关系。

图1-4

图1-5中是庄子的画像。庄子是战国时代的著名思想家、哲学家、文学家，也是道家学派的代表人物， 老子^注9思想的继承和发展者。他的代表作《庄子·杂篇·天下》也被称为《庄子·天下篇》。其以“天下”为题，共分七段，记录了先秦诸子百家历史渊源、来龙去脉；评价主要思想，并且加以批评的总结性的论文。有民国学者考证，此当为战国时期晚期的庄子后学。在本书中有记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺约为33 厘米。我们不妨找一33厘米的纸条来试一试。如果不断地把它截短一半，那么能截多少次呢？ 剩下的纸条的长度又趋近于多少呢？ 试着写出一个关于截短次数和剩余纸条长度的函数式，看看计算的结果和实验的结果到底是不是一样的。

图1-5　庄子画像

假如有五名海盗掠夺到了100 枚金币， 这时为了公平起见，他们决定按照如下思路进行分配：

(1)抽签决定自己的号码。

(2)由1号提出分配方案，然后大家进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，才按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。

(3)假如1号死了，再由2号提出分配方案，然后4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。

(4)以此类推，直到得出最终分配方案。

如果你是1号海盗，你应该提出怎样的分配方案，以使自己的获利最大？

提示：每人20枚金币的分配方法虽然公平，但不能保证自己获利最大，所以想要让自己获利最大，就应该让自己的投票结果正好超过一半。如果我们一上来就假设有五名海盗，这道题目就会无从下手。所以我们需要对这一问题进行简化。假如只有一名海盗，那么他当然希望所有的金币都是自己的啦！这属于不需要分配，就可以占为己有的情况。在这种情况下，这名海盗将得到100枚金币。

把这个模型建得稍微复杂一点儿。假设有两名海盗，如果先分配的1号海盗给2号海盗的金币少于100枚，2号海盗就会不同意他的分配方法，按照规则，1号海盗会被扔到海里喂鲨鱼。对于2号海盗来说，此时就回到了之前的简单模型，即他可以独享100枚金币。想到这里，1号海盗就会为了保命，选择把100枚金币全部给2号海盗。

接着，再把这个模型建得复杂一点儿：如果有三名海盗，那么此时的1号海盗已经知道之前的情况了。如果他被丢到海里喂鲨鱼了，2号海盗就会代替他进行分配，这就意味着如果2号海盗不同意他的分配方法，就一定会为了保命而什么都得不到。这时候，1号海盗就会留给自己99枚金币，而给2号海盗1枚金币。这样一来对2号海盗来说，有总比没有好啊。也许有人会问，3号海盗什么都没得到，肯定不会同意。不过没有关系，算上1号海盗自己的一票和2号海盗的一票，已经二比一了。所以如果有三名海盗的话，1号海盗得99枚金币，2号海盗得1枚金币，3号海盗什么都得不到，是利益最大的分配方法。

然后，我们再将模型建得复杂一点点。如果有4名海盗，此时1号海盗已经熟知了之前的情况：当他给出的方案不能得到三票赞同的话，就意味着2号海盗将取代他的位置，2号海盗得99枚金币，3号海盗得1枚金币，4号海盗什么都得不到。所以，除了自己的一票之外，他还需要两票赞同。显然，如果给2号海盗的金币少于99枚的话，2号海盗肯定会反对。但是如果只有自己的一票和2号海盗的一票，3号海盗和4号海盗还是会反对。这样就不能满足超过半数赞同的条件了。此时，1号海盗只能选择不分给2号海盗任何金币。去试图征得3号海盗和4号海盗的赞同。那么只有分配给3号海盗2枚金币，4号海盗1枚金币才会赢得他们的赞同。因为如果这时候3号海盗和4号海盗不赞同他的方案的话，自己的利益必然会受到损失。所以当有4名海盗的时候，1号海盗分配给自己97枚金币，2号海盗不分配，3号海盗分配2枚金币，4号海盗分配1枚金币，是对1号海盗利益最大的分配方法。

最后，我们来考虑有五名海盗的情况。这时1号海盗知道了，如果自己的方案不能通过，就意味着2号海盗将分配给自己97枚金币，3号海盗不分配，4号海盗分配2枚金币，5号海盗分配1枚金币。同样的道理，1号海盗放弃拉拢2号海盗。只要给3号海盗1枚金币，3号海盗就会同意之前的分配方法。这时只需要从4号海盗和5号海盗中任选一名支持自己就可以获得三票了。此时，他可以选择给4号海盗3枚金币，或者给5号海盗2枚金币。1号海盗必然选择给5号海盗2枚金币。因为这样能让自己获利更多。所以如果有五名海盗按照之前的规则分配金币的话，1号海盗的最佳分配方案是：自己获得97枚金币，2号海盗和4号海盗不获得金币。3号海盗获得1枚金币，5号海盗获得2枚金币。

这就是数学建模中的经典——博弈模型。