3.5 面团的模型
在现实世界中,绝大多数现象都存在随机性、动态性以及 非线性注38。这里为了研究方便,我们只取较为容易被观察和控制的属性,对特定现象进行研究,实际上就是对该现象做了简化和抽象。譬如,这里我们不考虑面团内酵母的质量对面团大小的影响。
我们简单地认为面团的大小v和面团的 重量注39m之间存在。如果我们把它改写为一次函数的形式,即为v=km+b。在该式中, 注40也可以写成k=ρ-1。另外,当面团没有质量时,它就是不存在的,也就没有体积,当m=0时,所以b=0。
我们如果把面团视为圆球形,那么就有。实际上面团并不是绝对的圆球形,我们姑且认为每个面团的形状都是相似的,但又和圆球形有一些差别。所以我们应用来表示其 系数注41。
为了避免混淆,我们使用k1和k2以示区别。这样就有v=k1m、v=k2r3进而推出k1m=k2r3。近似圆球形的物体显然可以用它的 近似半径注42来表示其大小,也就是说存在。进一步计算可以得到:。因为可以被视为一个新的系数,那么则有,要特别说明的是,在手写的过程中常难以区别3到底是k的上角标还是指,即使明确地说明了这里是的意思,仍然会给后续的计算带来不必要的麻烦。所以我们可以把写成,这样就不容易混淆了。
图3-4所示的是的示意图和局部放大图,由于这是示意图,所以没有标出单位长度。可以看到在一开始的时候,曲线斜率变化较大,但接下来却趋于平缓。这和我们在和面的时候,加少量的面粉时面团的大小变化得较为明显,而当面团的大小达到临界值时,再加入少量的面粉,其大小的变化则并不明显,甚至用肉眼都观察不到。这时我们就说它的斜率逐渐趋近于0,但却永远不为0。不过需要注意的是,这里的斜率并不是,而是r′。利用之前学过的导数和求极限的知识,可知。图3-5所展示的是它的示意图,可以看出其斜率的确是趋近于0。