2.3　火车与对称

图2-6中是一列火车车头的照片和它正面的示意图。将火车的正面示意图从中间对折后，其左右两侧能够相互重合。如果将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，我们则称其为 轴对称^注14图形。而那条直线则被称为对称轴。对于 正方形、长方形^注15、圆形和椭圆形都是轴对称图形。它们至少有一条对称轴，像圆这样的图形则有无数条对称轴。

图2-6

图2-7中的图形是 菱形^注16，它的两条对称轴已在图中标出。如果将其旋转180度，会发现它与旋转前完全重合。像这样的，将某个图形绕某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能与旋转前的图形重合，那该图形即为中心对称图形而那个点就是对称中心。显然，在一个中心对称图形中，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

图2-7

之前已经介绍过，函数是有图像的。那么，这些图像是否具有对称或翻转的性质呢？答案是肯定的。比如，y=x²和y=x³这两个函数的图像都是对称的，如图2-8所示。我们将像y=x²这样，图像关于y轴对称的函数称为偶函数。而将像y=x³这样，图像关于坐标原点成中心对称的函数称为奇函数。在后续章节中，我们经常利用对称性，对复杂的计算进行简化。

图2-8

仔细观察后我们就会发现，对函数来说，其在横轴(x轴)的负半轴一侧的图像和在正半轴一侧的图像有如下关系(假设x＞0)：

偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)

换句话说，如果有一函数的图像关于纵轴对称，那么我们就可以利用f(-x)=f(x)来表示。同样地，如果有一函数的图形关于原点对称，便可以用f(-x)=-f(x)来表示。