2.2 从行车轨迹到函数图像
假如在春节期间，我们一同乘坐和谐号列车从北京到上海旅游，已知该次列车是从北京南站开往上海虹桥站，途中要经过天津南、济南西、泰安、滕州东、滁州、南京南、丹阳北、苏州北共十个站点，该次列车的时刻表如表2-1：
那么，用数学语言又怎样表示列车的行车时刻表呢？我们不妨也来画一张图，如图2-1所示。
图2-1
这样我们就能清楚地表示列车大约在何时到达每一站了。如果我们把这张图画得再复杂些，就能表示像列车在每站停留多长时间，列车远行时的速度等信息了。我们把站名和时间分别写在图2-2中的坐标系的两个坐标轴上。像图2-2这样的规定坐标的方法就叫坐标系，坐标系中由箭头和直线组成的射线是坐标轴。有两个相互垂直的坐标轴的坐标系叫做平面直角坐标系，也叫笛卡尔系。
图2-2
坐标轴的箭头旁边标注的字母是坐标轴的名字，A是取英文单词address的首字母、address意为“地址”，这里表示站名；T是取英文单词time的首字母，表示时刻。如果懒得给坐标轴起名，也可以 把竖直方向的坐标轴称为纵轴，用小写字母y表示；把水平方向的坐标轴称为横轴，用小写字母x表示注10。
这样，我们很容易就把何时发车、何时到站、停留多长时间这些信息在一张图上表示清楚了。但需要特别注意的是，如何从图中读出列车行驶的速度。
如图2-3所示，假如A、B两地相距5千米，那么我们可以从图中得知，从A地到B地，无论是乘何种交通工具，其速度为10千米/小时。如果用我们函数来表示的话就是：
图2-3
y=10(x-1)注11
经整理后为：
y=10x-10
我们将形如y=10x-10这样的式子称为一次函数，可以抽象地写成y=kx+b，其中k和b满足k∈R且b∈R。例如，在y=10x-10中，k=10，b=-10。这里的k有另一个名字，叫做斜率。在“路程时间”问题中，斜率等于速度的大小。速度越大，斜率越大，在坐标系上画出来的直线越陡。有趣的是，在观察图2-2时我们会发现，列车出站之后和进站之前的图形都不是直线，而是曲线。这是因为斜率和线的陡峭程度有关，之前也说过斜率越大，线就越陡峭。因此，在这张图中，斜率恰好表示的是速度的大小。
那么，对于任意一条直线来说，我们如何求它的斜率呢？
如图2-4中的一条直线，我们已知直线上有A，B两个点及它们的位置。那么我们就可以找到它们在横轴x和纵轴y上所对应的值。利用这个方法，我们就可以得到两组x和y的值，把它们代入y=kx+b的抽象式中，就可以得到k和b的值。需要注意的是，当A，B两个点在横轴上的值相等时，代入y=kx+b的抽象式后是求不出k的值的。这时我们认为该直线的斜率不存在，或y=kx+b不是函数。
图2-4
但是我们明明是把它们代入了一个表示函数的抽象式中，怎么又说它不是函数了呢？我们不妨把这条直线想象成火车的“路程时间”图，如果两个点在横轴x上的值相等，而纵轴y上的值不等，那么这又意味着什么呢？显然，此时这条直线是垂直于横轴的。既然我们画出了一条最陡峭的直线，那么它是不是表示火车正以很大的速度在行驶呢？事实并不是这样的。如果在“路程时间”图上随意找两个点，我们会发现在同一时间，火车居然处于两个不同的地点。显然，这样的情况在日常生活中是无法遇见的。就目前的学术研究而言，宇宙中最快的速度是真空中的光速。但即使是真空中的光速，也无法让一列火车在同一瞬间出现在两个不同的地点。所以我们说这时斜率不存在。
那我们为什么说y=kx+b不是函数呢？这也用到了函数和映射的性质。一个自变量对应着的因变量应是唯一而且明确的。但一个因变量却可以被若干个自变量所对应。如果一条直线垂直于横轴，也就说明一个自变量对应了多个因变量，这不满足函数和映射的性质，所以我们就说y=kx+b不是函数。
现在我们已经知道，已知两点可以求出直线的斜率，进而求出“路程时间”图里，列车在行驶过程中的速度，但是这只对匀速运动的列车有意义。对于列车的变速运动，我们没有办法求出它的瞬时速度吗？当然，我们有办法求出行驶中的列车的瞬时速度。我们可以把列车的运动分为变速和匀速两种行驶状态。对于匀速行驶，我们自然可以用之前的方法求出列车的瞬时速度，因为当列车匀速行驶时，它的瞬时速度就等于平均速度。剩下的就只有如何求出列车在变速行驶过程中每一时刻的速度了。首先，列车的运动是连续的。在日常生活中，列车不可能在从北京开往天津的途中，一下子跳到徐州火车站。而且，对于大多数物体的常规运动，我们都可以认为它的“路程时间”图像是连续的。因为只有在图像是连续的时候，我们才有可能使用下面的方法来求出它在任意时刻的瞬时速度。
既然根据图2-4我们能够求出一个和图像吻合的函数，那么对像图2-5中那样的不规则曲线，我们也一定能求出一个和它吻合的函数。找出能与曲线吻合的函数的过程叫做拟合。关于拟合，我们将在第5章介绍。
图2-5
既然我们已经知道f(x)的图像了，那么如何求火车的瞬时速度呢？我们可以把这一过程理解为求火车在一瞬间走过的距离。在极短的时间内，物体的速度被视为没有改变，用物理学家的话说是：“在如此短的时间之内，速度没有来得及产生可以被观察到的变化。”所以我们就认为，在某一小段时间内，火车在做匀速直线运动。
现在我们知道，在某一小段时间里，火车是在做匀速直线运动。而这“一小段时间”，就要用一种新的符号来表示：
。这里的time是时间的意思，如果你不习惯使用英文表示也可以写成：
。而在这一符号中，lim是取极限的意思，time→0(时间→0)是指时间趋近于0。因为一瞬间就很接近于0，但又不是0，所以数学家就特意发明了这种符号来表示特别类似、逐步趋近但又并不相同的数量概念。
综上所述，首先我们知道时刻和火车行进的关系(映射)是f(x)。接下来，我们又知道在一瞬间中，火车是在做匀速直线运动。如果在一瞬间开始计时的时刻是时刻x0且停止计时的时刻是时刻x，我们就得到了“一瞬间”的另一种表示方式：x-x0。既然“一瞬间”可以用
表示，而且这里的time就是x-x0，那么我们为什么不用
表示呢？当然可以，但我们还可以用更简明扼要的表示方式： 
注12。
物体在做匀速直线运动时，任意时刻的瞬时速度是距离÷时间或
。而在变速运动过程中，某一瞬间物体的瞬时速度则可以写成
。
为了简化后续计算我们对
这个式子进行整理。我们用Δx表示x-x0，于是
就可以写成
。同样地，x可以表示成x0+Δx，于是f(x)=f(x0+Δx)。则有
。
但这似乎并没有简化太多，所以我们引入一种新的符号——f′(x0)，令
。这样一来，不仅我们书写的内容少了许多，而且在f′(x0)中永远有Δx→0，这样我们就不用每次都考虑“到底是什么趋近于什么”了，从而节约了一个变量。这显然使得我们解决问题的效率提高了。而f′(x0)就是我们常说的导数。
关于为什么用在函数映射符号上加一撇来表示导数，还有一个有趣的故事。众所周知，微积分是由牛顿和莱布尼茨创立的数学分支。最早牛顿是用
这种在字母f上画点的方式来表示导数。但后来人们发现，这种表示方法并不方便，且在手稿中非常难以辨认。而我们今天所使用的大多数表示微积分的数学符号都是牛顿的好友，也是另一位微积分的创始人—— 莱布尼茨注13发明的。
但是莱布尼茨发明的导数符号是
，而非一个撇。
这种表达形式在很多文献中都能看到。在1706年之前，也有一些科学家，比如对概率学贡献极大的伯努利就曾经用大写字母D表示导数，而这种表示方式也不是很方便。
到了1797年，拉格朗日觉得莱布尼茨表示导数的方法还是太麻烦了，这可能是因为莱布尼茨的符号很难直接表示出到底是哪个函数在参与导数运算。所以，拉格朗日就用在函数上加一个撇的形式来表示导数。而拉格朗日和莱布尼茨使用的导数符号都沿用至今。
言归正传，如果一列火车与始发站之间距离是f(x)，那么这列火车在任意时刻的瞬时速度便是f′(x)。