第二版说明

《初等数论》出版已经10年了。根据教学实践，经考虑再版仍保持原书的定位、体系与风格，对第一版内容除在文字叙述、解释上略作改进润色，改正了若干疏误外，还稍作调整与补充。它们主要是：

（一）在第一章，把原来4中最大公约数与最小公倍数的定义及和带余数除法无关的性质（即4的第一部分）移至2；把原5“辗转相除法”全部合并到3；原6，7与8分别改为5，6与7；增加了8“容斥原理与π（x）的计算公式”。当然，习题也作了相应调整。

此外，为了加深对整数、整除及整除理论的概念、方法的理解与掌握，相应地在附录二中增加了（i）有关一元有理系数多项式集合Q［x］与一元整系数多项式集合Z［x］的整除理论的习题（第9～19题）；（ii）有关代数数、代数整数的概念与性质以及Gauss整数Z［］的整除理论的习题（第20～30题）。这些对需要进一步学习数论知识的读者是有帮助的。

（二）在第二章2中，稍为仔细地讨论了单位圆周上的有理点。

（三）第三章，在2中引进了整数与整数集合的“和”及“积”的概念和符号，以及用此来证明同余类与剩余系的性质；在3的最后极简单地描述了所谓“公开密钥密码系统”。

（四）在第四章，增加了9“多元同余方程、Chevalley定理”。

（五）第五章习题一增加了第33题，第九章习题二增加了第29，30题，它们分别给出了命题：“首项为1的算术数列中有无穷多个素数”的两个不同证明。

（六）第九章2中Mobius反转公式的讲述和证明作了改变。虽然这较简洁，但原来的有其优点。

（七）在附录四，补充了本书第一版以后各届国际数学奥林匹克竞赛中与数论有关的题。至今共43届，82道题。

（八）改进了一些习题的提示与解答，附录中增加的题都没有给出提示。现正文中共有797道题，附录中共有131道题。

（九）增加了名词索引。

保持本书的原样并作以上改动的依据是考虑了：10年来采用本书作为教材的教师们所提出的宝贵意见；学生们在学习中提出的问题、进行的讨论和给出的漂亮的习题解答；本书责任编辑刘勇副编审的宝贵意见；10年来，我们对自己为不同的对象（包括中学生、中学教师、大学生以及研究生），按本书内容的不同组合，以不同的方式来进行教学所作的不断总结，仔细寻找教材的不足并加以改进。在这里我谨向以上所有的同志表示衷心感谢！

好像没有一门学科像“初等数论”那样，它最基本的内容可以同时作为中小学师生、大学生以及研究生的一门课程，当然在内容的深浅难易上各有不同。这是一门有其自身特点、不可缺少的基础课。我们深深感到应该也期望有适合不同对象的初等数论教材出现，而这正是我国目前所缺少的。当然，教材必需遵循初等数论的基本理论体系，既不能“把它看做一些互不相关的有趣的智力竞赛题”的汇集，也不能认为它“只是一些简单的例子，仅把它作为学习代数的预备知识”（见第一版序）。因为，数学是人类文化最重要的组成部分之一，它是日益显示其重要性的一种科学的语言，一种科学的思维方式和强有力的科学工具，而初等数论的思想、概念、方法和理论则是数学思维链中不可或缺的重要一环。尽管近代数论可以包容它，但不能代替它。而且，事实证明：不学好初等数论大概是什么数论也学不好的。

正如第一版序中所说，承洞和我“深知要写好一本初等数论的教材绝非易事”，现在再版修订只能由我一人来承担，错漏不当之处更为难免，切望读者多多指正。

潘承彪2002年中秋