第三版说明

自本书第二版出版以来，又是一个十年过去了，这是我较轻松的十年，一些早就不该过问的事我不再参与了。

十年间与本书有关的事是：在我大学毕业后就工作至退休的北京农业机械化学院（即现在的中国农业大学）的应用数学系，很高兴地为四届学生讲了初等数论课；继续为参加国内外中学高年级数学竞赛的学生进行辅导，这种辅导是对初等数论与竞赛有关的内容，结合问题作较系统严格的理论、方法与技巧上的讲述；我注意到了不少读者在网上对本书的关心，他们提出了许多十分有益的意见、建议和批评，对此我深表感谢。

自写本书以来，我们一直在思考的一个问题是，在原有的框架和内容下，如何使本书让教初等数论的老师更好用，学初等数论的读者更易学，特别是自学。虽在第二版中有所改进，但我自己总觉得本书在这方面还有不少不足之处。所以，这十年间在做以上工作时就特别注意考虑这一问题。

大约两年前，本书责任编辑刘勇同志建议再版本书时，我谈了修改的想法，得到了他的赞同和支持。

在本版中，除了附录四之外，本书内容整体上没有增加或减少。在附录四中补充了这十年国际数学奥林匹克竞赛中与数论有关的试题24道题（至今共有104道题），以及增加了典型试题（共40道题）的解法举例一节。在这一节中由浅入深地按照所用的初等数论的思想、概念、结论、方法和技巧，对这些题分类给出我自己的解法，尽可能讲清楚我是如何分析问题，探索、确定该题是否与初等数论有关及与哪一部分有关，以及解题所需要用到的初等数论方法和知识。这是我近三十年间参与中学高年级数学竞赛辅导的经验心得。我认为做竞赛题能激发学习数学的兴趣，但不能为竞赛而竞赛，为解题而解题，它必须与系统学习数学知识相结合，逐步了解数学，喜爱数学。

本版所作的主要改变是对本书的结构、编排和一些内容的讲述作了改进：把讨论同一问题的内容加以合并；对原来的“节”尽可能划分成若干“小节”，以突出每节内容中的重点，使得各个重点内容及它们之间的联系更加清晰；尽可能地对主要的基本思想、理论、方法、定理的重要意义和内涵及它们之间的关系加以清楚阐述。我想这些改进，对教与学都应该是有帮助的。具体的改变有以下几个方面：

（1）把原来第一章的8“容斥原理与π（x）的计算公式”和第八章的1“Eratosthenes筛法”合并为第八章的1“Eratosthenes筛法与π（N）”（第一版就是这样按排的），并分为四小节，因为原来的两节讨论的是同一个问题。

（2）第一章的4“最大公约数理论”，它是讲述建立最大公约数理论的三个途径，原来放在一起讨论显得有点杂乱。现在先把最大公约数理论的八个定理一起放在4的一开始，然后分成三小节讲证明的三个途径，并说明它们之间的联系与区别。

（3）把第一章原来的5和6合并为5并分成两小节，因为原来的两节讨论的是同一个问题“算术基本定理”。新的6是“整除理论小结”，这没有增加新内容，而是把原来阐述整除理论的重要性和关系的内容放在一起，说得更清楚一些。

（4）在第四章3的3.2小节“孙子定理与同余类、剩余系的关系”中，穾出讲述了这一重要关系。

（5）把习题都放在每节之后，并按需要把有的节的习题相应地按小节分为若干部分。

本书的定义、定理（包括引理、推论）和公式均仍按每节编号。

本书的内容当然远远超出了一学期的授课学时，我建议一学期的授课可以学习以下初等数论的基本内容：第一章（5.2小节可不讲，同时接下来可以选学第七章的1和2，第八章的1.1～1.3小节），第二章，第三章，第四章的1～6，第五章的1和2，第六章的1和2.1小节，第九章的1和2。以上这些内容有的可以让学生自学（例如第一章的6，第四章的3.2小节）。本书其他内容可供有兴趣的学生自己选学，这对进一步了解这一学科是有益的。在第一、二版中，一些较难的内容加了“*”号，在本版中“*”号均取消了，由读者自行确定。

我对刘勇及曾琬婷同志对本版内容的编排、表述所作的许多精心修改，以及提出的不少有益建议，特別是刘勇同志长期以来对本书出版的支持和关心，表示衷心感谢！我也希望读者对本版多多提出意见、建议和批评，让我们共同努力使本书更好地适合教与学。

潘承彪

2012年9月13日