7 n！的素因数分解式_初等数论(第三版)-QQ阅读男生玄幻网

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7　n！的素因数分解式

7.1　符号［x］

数论是研究整数的性质，我们经常会遇到与给定实数x有密切关系的整数，如不超过x的最大整数，大于x的最小整数等.为此Gauss引进了一个十分常用的符号［x］，它有时也称为Gauss符号.

定义1（注：由习题一第5题知，这样的定义是合理的，［x］是存在唯一的.）设x是实数，［x］表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分，即［x］是一个整数且满足

［x］≤x＜［x］+1.（1）

有时也把符号［x］记为x.记｛x｝=x-［x］，称为x的小数部分.

例如：［1.2］=1，［-1.2］=-2，［3］=3，［-4］=-4.由（1）知

0≤｛x｝＜1.（2）

x是整数的充分必要条件是｛x｝=0.例如：

｛1.2｝=0.2，｛-1.2｝=0.8，｛3｝=｛-4｝=0.

［x］和｛x｝是数学中十分有用的两个符号.下面来列出它们的性质，证明很简单，关键是要学会灵活运用这些性质.

定理1设x，y是实数.我们有

（i）若x≤y，则［x］≤［y］.

（ii）若x=m+v，m是整数，0≤v＜1，则m=［x］，v=｛x｝.特别地，当0≤x＜1时，［x］=0，｛x｝=x.

（iii）对任意整数m，有［x+m］=［x］+m，｛x+m｝=｛x｝.｛x｝是周期为1的周期函数.［x］和｛x｝的图形分别见图1和图2.

图1

图2

（iv）［x］+［y］≤［x+y］≤［x］+［y］+1，其中等号有且仅有一个成立.

（vii）不小于x的最小整数（它记为［x］）是-［-x］.

（viii）小于x的最大整数是-［-x］-1.

（ix）大于x的最小整数是［x］+1.

（x）离x最近的整数是［x+1/2］和-［-x+1/2］.当x+1/2是整数时，这两个不同的整数和x等距；当x+1/2不是整数时，它们相等.

（xi）若x≥0，则不超过x的正整数n的个数等于［x］，即

（xii）设a和N是正整数，那么正整数1，2，…，N中被a整除的正整数的个数是［N/a］.

证（i）由［x］≤x≤y＜［y］+1即得.

（ii）由m≤x＜m+1及定义推出.这一性质是在证明有关［x］的性质时常用的技巧.

（iii）由［x］+m≤x+m＜（［x］+m）+1及定义推出.

（iv）x+y=［x］+［y］+｛x｝+｛y｝及0≤｛x｝+｛y｝＜2.当0≤｛x｝+｛y｝＜1时，由（ii）知［x+y］=［x］+［y］；当1≤｛x｝+｛y｝＜2时，

x+y=［x］+［y］+1+（｛x｝+｛y｝-1），

由（ii）知

［x+y］=［x］+［y］+1.

（v）x为整数时显然成立.x不是整数时，-x=-［x］-｛x｝=-［x］-1+1-｛x｝，0＜1-｛x｝＜1，由（ii）知结论成立.

（vi）由带余数除法知，存在整数q，r，使得

［x］=qm+r，0≤r＜m，

即［x］/m=q+r/m，0≤r/m＜1.

由此及（ii）推出［［x］/m］=q.另一方面

x/m=［x］/m+｛x｝/m=q+（｛x｝+r）/m.

注意到0≤（｛x｝+r）/m＜1，由此及（ii）推出［x/m］=q.所以（vi）成立.

（vii）设不小于x的最小整数是a，即a-1＜x≤a.因此-a≤-x＜-a+1，所以-a=［-x］，即a=-［-x］.

（viii）和（ix）的证明留给读者，方法与（vii）相同

（x）离x最近的整数必在［x］和［x］+1之中.当x+1/2是整数时，这两数和x等距.容易验证［x］+1=［x+1/2］及［x］=［x-1/2］=-［-x+1/2］.当x+1/2不是整数时，若｛x｝＜1/2，则离x最近的整数是［x］.因x+1/2=［x］+｛x｝+1/2，0≤｛x｝+1/2＜1，由（ii）知［x］=［x+1/2］；若1/2＜｛x｝＜1，则离x最近整数是［x］+1.因x+1/2=［x］+1+｛x｝-1/2，0＜｛x｝-1/2＜1，由（ii）知［x］+1=［x+1/2］.在x+1/2不是整数时，由（v）知

［x+1/2］=-［-x-1/2］-1=-［-x+1/2-1］-1=-［-x+1/2］，

最后一步用到了（iii）.证毕.

（xi）由于整数n≤x就是n≤［x］，所以成立.

（xii）被a整除的正整数是a，2a，3a，….设1，2，…，N中被a整除的正整数个数为k，那么必有ka≤N＜（k+1）a，即k≤N/a＜k+1，所以成立.

符号［x］是很有用的，下面来举一个例子.

例1平面上坐标为整数的点称为整点或格点.设x₁＜x₂是实数，y=f（x）（x₁＜x≤x₂）是非负连续函数.证明：