习题二

第一部分（2.1与2.2小节）

1.（i）若a|b且c|d，则ac|bd；

（ii）若a|b₁，…，a|b_k，则对任意整数x₁，…，x_k，有

a|b₁x₁+…+b_kx_k.

2.若x²+ax+b=0有整数根x₀≠0，则x₀|b.一般地，若

xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=0

有整数根x₀≠0，则x₀|a₀.

3.判断以下方程有无整数根，若有整数根则求出所有这种根：

（i）x²+x+1=0；（ii）x²-5x-4=0；

（iii）x⁴+6x³-3x²+7x-6=0；

（iv）x³-x²-4x+4=0.

4.有一种盒子能装3斤糖，另一种能装6斤糖.假定每个盒子必须装满，试问：能用这两种盒子来装完100斤糖吗？

5.若5|n且17|n，则85|n.

6.若2|n，5|n及7|n，则70|n.

7.设n≠1.证明：（n-1）²n^k-1的充分必要条件是（n-1）|k.

8.求以下各数的全部素除数、正除数以及把它们表为素数的乘积：1234，2345，34560，111111.

9.证明：

（i）设n≥1.2ⁿ+1是素数的必要条件是n=2^k.

（ii）2ⁿ-1是素数的必要条件是n为素数.

举出几个这两种形式的素数.

10.证明：对任给的正整数K，必有K个连续正整数都是合数.

11.证明：奇数一定能表为两平方数之差.

12.设奇数n＞1.证明：n是素数的充分必要条件是n不能表为三个或三个以上的相邻正整数之和.

13.设p是正整数n的最小素因数.证明：若p＞n^1/3，则n/p是素数.

14.设p₁≤p₂≤p₃是素数，n是正整数.若p₁p₂p₃|n，则

p₁≤n^1/3，p₂≤（n/2）^1/2.

15.利用Eratosthenes筛法求出300以内的全部素数.

16.利用第14题，提出一种类似于Eratosthenes筛法的方法，来求出所有不超过100且至多是两个素数乘积的正整数.

17.设n≥0，F_n=2²ⁿ+1（它称为Fermat数）；再设m≠n.证明：若d＞1，且dF_n，则d｜/F_m.由此推出素数有无穷多个.

18.设F_n同上题.证明：F_n+1=F_n…F₀+2.

19.设A₁=2，A_n+1=A²_n-A_n+1（n≥1）.再设n≠m.证明：若d|A_n，d＞1，则d｜//A_m.由此推出素数有无穷多个.

20.设A_n同上题.证明：A_n+1=A_n…A₁+1.

21.设n≥3.证明：n！-1的素因数＞n.由此推出素数有无穷多个.并求最小的n使n！-1不是素数.

22.设整系数多项式P（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀，a_n≠0.证明：必有无穷多个整数值x，使得P（x）是合数.

23.证明：n²+n+41当n=0，1，2，…，39时都是素数.

24.设k≥3.求出所有这样的正整数集合｛a₁，…，a_k｝，使得

（i）a₁，…，a_k是两两不同的正整数；

（ii）从中任意取出三个数，它们的和可被这三个数中的任一个整除.

25.设q≠0，±1.若对任意的a，b，由q|ab可推出q|a或q|b至少有一个成立，则q一定是不可约数.

26.设a，b，n满足a|bn，ax+by=1，x，y是两个整数.证明：a|n.

27.设m＞1，m|（m-1）！+1.证明m是素数.

28.假若素数只有有限个p₁，…，p_s.证明：对任意正整数N必有

由此推出素数有无穷多个.

第二部分（2.3小节）

1.求以下数组的全体公约数，并由此求出它们的最大公约数：

（i）72，-60；（ii）-120，28；（iii）168，-180，495.

2.给出四个整数，它们的最大公约数是1，但任何三个数都不既约.

3.证明：（i）（a，b，c）≤（a，b），［a，b，c］≥［a，b］；

（ii）若a|b，则［a，c］≤［b，c］，（a，c）≤（b，c）；

（iii）（a，b）≤（a+b，a-b）；

（iv）（a，b）≤（ax+by，au+bv），其中x，y，u，v是任意整数.

4.若（a，b）=1，c|a+b，则（c，a）=（c，b）=1.

5.设n≥1.证明：（n！+1，（n+1）！+1）=1.

6.求最大公约数

（i）（2t+1，2t-1）；（ii）（2n，2（n+1））；

（iii）（kn，k（n+2））；（iv）（n-1，n²+n+1）.

7.设a，b是正整数.证明：若［a，b］=（a，b），则a=b.

8.证明：若（a，4）=（b，4）=2，则（a+b，4）=4.

9.设整数a，b，c，d满足ad-bc=±1.证明：若u=am+bn，v=cm+dn，则（m，n）=（u，v）.

10.设a，b是正整数，且有整数x，y使得ax+by=1.证明：

（i）［a，b］=ab；（ii）（ac，b）=（c，b）.

11.若2｜/b，则（2^ka，b）=（a，b）.

12.设g，l是给定的正整数.证明：

（i）存在整数x，y，使得（x，y）=g，［x，y］=l的充分必要条件是g|l；

（ii）存在正整数x，y，使得（x，y）=g，xy=l的充分必要条件是g²|l.

13.求满足（a，b）=10，［a，b］=100的全部正整数组a，b.

14.求满足［a，b，c］=10的全部正整数组a，b，c.

15.求满足（a，b，c）=10，［a，b，c］=100的全部正整数组a，b，c.

16.求以下数组的最小公倍数：（i）198，252；（ii）482，1689.

17.设a，b是正整数，那么a，2a，3a，…中第一个被b整除的数就是［a，b］.如何把这方法推广来求［a₁，…，a_k］？

18.设n≥1.以φ（n）记正整数1，2，…，n中与n既约的数的个数.证明：

（i）φ（1）=φ（2）=1；

（ii）当n≥3时，2|φ（n）；

（iii）当n=p为素数时，φ（p）=p-1.

可以做IMO的题（见附录四）：［1.1］，［9.6］，［11.1］，［12.4］，［16.6］，［18.4］，［19.3］，［21.1］，［25.6］，［26.4］，［28.6］，［32.2］，［32.3］，［33.1］，［33.6］，［34.1］，［35.4］，［37.1］，［38.6］，［39.6］，［42.4］.