1　自然数与整数

1.1　基本性质我们先来回顾自然数与整数的基本知识.

自然数，也叫做正整数，就是大家所熟悉的

1，2，3，…，n，n+1，….（1）

我们以N表由全体自然数（1）所组成的集合.整数就是指正整数、负整数及零，即

…，-n-1，-n，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，n，n+1，….（2）

我们以Z表由全体整数（2）组成的集合.我们熟知的基本知识是：

（Ⅰ）正整数集合中的加法运算“+”：对任意的a，b∈N，必有x∈N，使得x=a+b，x称为a与b的“和”，它满足以下性质：

（i）结合律（a+b）+c=a+（b+c），a，b，c∈N.

（ii）交换律a+b=b+a，a，b∈N.

（iii）相消律a+b=a+c⇒b=c，a，b，c∈N.

但是，在N中对任意的a，b∈N，不一定有x∈N，使得a=b+x，即在N中不一定能作加法运算的逆运算——减法运算“-”.而在Z中，除了可作加法运算并满足以上性质外，还一定可作减法运算，即满足

（iv）a+0=a，a∈Z.

（v）对任意的a，b∈Z，必有x∈Z，使得

a=b+x.

记做x=a-b，称x是a与b的“差”.这就是减法运算a-b的定义.

（Ⅱ）在整数集合中可以作乘法运算“·”，但不一定可作乘法的逆运算——除法运算.乘法运算满足以下性质：

（i）结合律（a·b）·c=a·（b·c），a，b，c∈Z；

（ii）交换律a·b=b·a，a，b∈Z；

（iii）相消律若a≠0，a·b=a·c，则b=c，a，b，c∈Z；

（iv）0·a=0，a∈Z；

（v）1·a=a，a∈Z；

（vi）加法与乘法的分配律

（a+b）·c=（a·c）+（b·c），a，b，c∈Z.

为简单起见，乘法a·b就记做ab.

（Ⅲ）在整数中有大小（即顺序）关系，并用符号：≤，＜，≥及＞等来表示（注：b≥a即a≤b；a＜b表示a≤b且a≠b；b＞a即a＜b.）.整数的大小（即顺序）有以下性质：

（i）对任意的a，b∈Z，关系a=b，a＜b，b＜a有且仅有一个成立；

（ii）自反性a≤a，a∈Z；

（iii）反对称性对任意的a，b∈Z，若a≤b且b≤a，则a=b；

（iv）传递性对任意的a，b，c∈Z，若a≤b且b≤c，则a≤c，且等号仅当a=b，b=c均成立时才成立；

（v）对任意的a，b，c∈Z，a+c≤b+c⇔a≤b；

（vi）对任意的a，b，c∈N，若c=ab，则a≤c，等号当且仅当b=1时成立；

（vii）对任意的a，b∈Z及c∈N，ac≤bc⇔a≤b；

（viii）对任意的a，b∈Z，a≤b⇔-a≥-b；

（Ⅳ）在整数中还引入了绝对值的概念：

它显然具有性质：

（i）|ab|=|a||b|，a，b∈Z；

（ii）|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈Z.