3.3　线性定常系统的受控运动

线性定常系统在控制作用下的运动，称为强迫运动。数学表征为非齐次状态方程，如图3-2所示。

定理3-1　若非齐次状态方程初始状态为x（t0）的解存在，则必具有如下形式，即

t0=0时

t0≠0时

　　

证明　先把状态方程=Ax+Bu写成

上式两边左乘e-At，得

对上式进行由0→t的积分，得

化简为

上式两边再左乘eAt，且有e-At·eAt=I，则有

同理，有

显然，线性系统的强迫运动由两部分构成，第一部分为初始状态的转移项（自由运动），第二部分为控制作用下的受控项，这说明强迫运动的响应满足线性系统的叠加原理。由于第二部分存在，故可通过选择u（t）使x（t）的轨线满足特定要求。

【例3-2】 设一线性系统的状态方程为

其中，u（t）=1（t）为单位阶跃函数，求该方程的解。

解　该系统的状态转移矩阵在例3-1中已求得为

因此

上式第一项，即自由运动项为

上式第二顶，即受控运动项为

故

【例3-3】 试用状态转移矩阵求解二阶微分方程；在该二阶系统已知初始状态x（t0）的情况下，求其受控制作用u（t）后所做强迫运动的解。

解　

（1）求二阶微分方程的解

①化为状态方程。令，则

即

②根据求解。因为

根据下式信号与其拉普拉斯变换的对应关系

有　 

所以，系统的自由运动为

故方程的解为

（2） 求强迫运动的解

微分方程为

取状态变量 ，则

即

系统的运动为

上式第一项*，即系统的自由运动，已在（1）中求得。第二项**，即受控运动解得

故非齐次微分方程的解为