3.2　状态转移矩阵eAt的计算方法

对线性定常系统来说，Φ（t）=eAt，A为n×n矩阵，所以状态转移矩阵在这里也称矩阵指数，求自由运动的解就归结为求状态转移矩阵问题。

3.2.1　根据状态转移矩阵的定义求解

已知A，用乘法与加法即可求出eAt。其优点是运用计算机计算时，程序简单，容易编制；缺点是由于结果为无穷级数，所以收敛速度很难判断。这种方法的求解结果为数值而不是解析式，不适于手工计算。

3.2.2　用拉普拉斯反变换法求解

对线性定常齐次状态方程（t）=Ax（t）两边进行拉普拉斯变换，得

等式两边左乘（sI-A）-1，有

X（s）=（sI-A）-1x（0）

上式两边进行拉普拉斯反变换，可得齐次状态方程的解为

　　（3-4）

比较式（3-4）与式（3-3），且根据定常微分方程组解的唯一性，有

3.2.3　将eAt化为A的有限多项式来求解

用状态转移矩阵的定义计算eAt，可归结为计算一个无穷项的矩阵和，这显然很不方便。根据凯莱-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理，可将这个无穷级数化为A的有限项的多项式。

（1）凯莱-哈密顿定理　凯莱-哈密顿定理：设矩阵A为n×n方阵，则A满足其自身的特征方程，即若

则

从凯莱-哈密顿定理出发，可以导出

这表明An可表示为An-1，An-2，…，A，I的线性组合，即

又因为

这表明An+1也可以表示为An-1，An-2，…，A，I的线性组合， 依此类推， An+2、An+3等均可表示为An-1，An-2，…，A，I的线性组合， 即

所以对矩阵指数

的无穷项多项式可表示为An-1，An-2，…，A，I的有限项多项式，即

式中　a0（t）， a1（t）， …，an-1（t）——t的函数。

（2）化eAt为A的有限项多项式　下面按A的特征值形态分别讨论。

①A的特征值λ1，λ2，…，λn两两相异，则

　　（3-5）

证明　因为矩阵A及其特征值都满足特征方程，即f（A）=0，f（λ）=0，所以既然eAt可以表示为A的n-1次多项式，则同样也可以证明eλt也可以表示为λ 的n-1次多项式，而且两者的系数ai（t）（i=0，1，…，n-1）应该是相同的，即有

解此方程组，可求出系数ai（t）（i=0，1，…，n-1），即可得到式（3-5）。

②A的特征值为λ1（n重根），则

　　 （3-6）

证明　设A有n个重特征值λ1，则显然下式成立。

但是只此一个方程式，为了解出ai（t）（i=0，1，…，n-1），必须添上n-1个方程式，方法是对上式依次对λ1求导，直到n-1次，其结果是

从而得到关于ai（t）（i=0，1，…，n-1）的n个方程，从中可以解出这些系数来，即可得到式（3-6）。

如果有几个重特征值，则分别对每个重特征值按上述方法进行处理，这样总会有所需个数的独立方程存在，从中求出n个系数来。

3.2.4　通过非奇异变换法求解

①当A的特征值λ1，λ2，…，λn为两两相异时，则

式中　P——使A化为对角标准型的变换矩阵。

②当A的特征值为λ1（n重根）时，则

式中　Q——使A化为约当标准型的变换矩阵。

【例3-1】 求时的状态转移矩阵eAt。

解

①用第一种方法求解：

②用第二种方法求解：

故得

③用第三种方法求解：

其中

因为

所以

故

④用第四种方法求解：

其中，λ1=-1，λ2=-2。