3.4　线性时变连续系统状态方程求解

严格来说，一般控制系统都是时变系统。系统中的某些参数随时间而变化，如火箭燃料的消耗会使其质量m（t）发生变化；电阻的温度上升会导致电阻阻值变化，则电阻应为时变电阻R（t）等。这说明系统参数都是时间的函数，即系统是时变系统。当参数时变较小且满足工程允许的精度要求时，变化量可忽略不计，可将时变参数看成常数，时变系统近似为定常系统。而线性时变系统比线性定常系统更具有普遍性，更接近实际系统。

线性时变系统的状态空间表达式为

　　（3-7）

与线性定常系统类似，可求出其解为

　　（3-8）

一般情况下，线性时变系统的状态转移矩阵Φ（t，t0）只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。

3.4.1　时变齐次状态方程的解

当输入函数u（t）=0时，线性时变系统的状态方程为齐次状态方程，即

　　（3-9）

已知初始时刻t=t0和初始状态x（t0），且在［t0，t］的时间段内，A（t）的各元素是t的分段连续函数。

先讨论标量时变系统

　　 （3-10）

的解，已知初始时刻t=t0和初始状态x（t0）。

采用分离变量法，可得到式（3-10）的解为

　　（3-11）

式（3-9）与式（3-10）相比较，并参照定常齐次状态方程矩阵指数的含义，时变齐次状态方程式（3-9）的解应为

　　 （3-12）

但这里，只有当A（t）与满足矩阵乘法可交换条件时式（3-12）才成立。下面对该结论进行证明。

证明　设x（t）=是时变齐次状态方程式（3-9）的解，则必须有

　　        （3-13）

将矩阵指数函数展开为幂级数为

　

（3-14）

将上式两边对t求导，得

　

（3-15）

将式（3-15）和式（3-14）代入式（3-13），可得

　

（3-16）

要使式（3-16）两边相等，其充分必要条件是

　　（3-17）

上式表明，A（t）与满足矩阵乘法可交换条件，此时式（3-9）的解即为式（3-12）。

由式（3-17）得

　　（3-18）

上式必须对任意时间t成立，若对任意的t1和t2有

　　（3-19）

成立，则A（t）与是可交换的。由此得到如下结论。

当式（3-19）对任意时间t1和t2成立时，线性时变齐次状态方程的解为式（3-12），系统的状态转移矩阵为

　　 （3-20）

一般情况下，时变系统的状态转移矩阵得不到像定常系统状态转移矩阵一样的封闭解析式形式。

【例3-4】 系统状态方程为

其中

求当时，状态方程的解。

解　因为

所以A（t）与满足可交换条件，系统的状态转移矩阵可由式（3-20）给出，即

因为

所以

若A（t）与不满足可交换条件时，时变系统状态方程的求解可采用逐次逼近法。

将时变齐次状态方程式（3-9）改写为

　　（3-21）

上式两边积分

　　（3-22）

取一次近似解为x（t）≈x（t0），代入上式右端，得到

取二次近似解为，代入式（3-22）右端，得到

依此类推，可得到高次近似解

　

（3-23）

以上为时变齐次状态方程的解，只需要验证它满足时变系统齐次状态方程和初始条件即可，即

初始条件为

上式成立的条件是无穷级数必须收敛，A（t）的所有元素在积分区间内是有界的。可以证明该条件一定是满足的。这就证明了式（3-23）是时变齐次状态方程式（3-9）的解，系统的状态转移矩阵为

　　（3-24）

该级数称为皮亚诺-贝克（Peano-Baker）级数。

【例3-5】 时变系统齐次状态方程为

试求该状态方程的解。

解　对任意时间t1和t2有

因为A（t1）A（t2）≠A（t2）A（t1），所以A（t）与是不可交换的。时变系统的状态转移矩阵采用逐次逼近法为

故时变系统状态方程的解为

　　　

3.4.2　线性时变系统状态转移矩阵

虽然线性时变系统齐次状态方程的解一般不能像线性定常系统那样写出封闭的解析式，但它仍可以表示成如下形式，即

　　（3-25）

式中　Φ（t，t0）——线性时变系统的状态转移矩阵。

Φ（t，t0）是一个n×n时变函数矩阵，是时间t和初始时刻t0的函数，即

　　（3-26）

由前面状态方程的解，可知时变系统状态转移矩阵Φ（t，t0）为一个无穷级数，即

　 （3-27）

一般情况下，它不能写成封闭形式，但可以按一定的精度要求，采用数值计算的方法近似求Φ（t，t0）。

下面讨论线性时变系统状态转移矩阵Φ（t，t0）的性质。

①状态转移矩阵Φ（t，t0）满足如下矩阵微分方程和初始条件，即

　　（3-28）

证明　状态方程的解x（t）为

代入状态方程式（3-9），有

　　（3-29）

又因为x（t0）是任意的，要使上式成立，其充分必要条件为

即

当t=t0时，代入状态方程的解得到

x（t0）=Φ（t0，t0）x（t0）

所以

　　（3-30）

②

证明　根据状态方程的解，有

所以

③Φ（t，t0）可逆，且其逆为Φ（t0，t），即

　　（3-31）

证明　因为

所以

3.4.3　线性时变系统非齐次状态方程的解

定理3-2　线性时变系统非齐次状态方程为

　　（3-32）

式中　x（t）——n维状态向量；

u（t）——r维输入向量；

A（t）——n×n系统矩阵；

B（t）——n×r输入矩阵。

A（t）和B（t）的各元素在时间区域［t0，t］内分段连续，则线性时变非齐次状态方程的解为

　　（3-33）

式中　Φ（t，t0）——线性时变系统的状态转移矩阵，它可由式（3-27）确定。

证明　将式（3-33）两边对t求导，并考虑状态转移矩阵Φ（t，t0）的性质及积分公式

可得

上式表明式（3-33）满足系统的非齐次状态方程式（3-32）。

当t=t0时，将其代入式（3-33），有

显然，当t=t0时，式（3-33）也满足系统的初始状态。所以，式（3-33）是线性时变系统非齐次状态方程式（3-32）的解。

根据线性系统的叠加定理，式（3-33）右边第一项Φ（t，t0）x（t0）是线性时变系统输入向量为零时系统初始状态x（t0）的转移，称为系统的零输入的状态转移（自由运动）；式（3-33）右边第二项是线性时变系统初始状态为零时，由输入向量u（t）引起的状态转移，称为系统的零状态的状态转移（受控运动）。

将系统状态方程的解代入系统的输出方程，可得到线性时变系统输出响应为

　　（3-34）

类似于线性定常系统，上式右边第一项称为线性时变系统输出的零输入响应，右边第二项是线性时变系统输出的零状态响应。

【例3-6】 已知线性时变系统的状态空间表达式为

试求初始时刻t0=0、初始状态x（t0）=0时，输入均为单位阶跃信号u（t）=1（t）作用下系统的输出响应。

解　对任意时间t1和t2，有

因为A（t1）A（t2）≠A（t2）A（t1），所以A（t）与是不可交换的。此时，时变系统的状态转移矩阵Φ（t，0）可按式（3-27）近似计算得到，即

其中

线性时变系统的状态转移矩阵为

线性时变系统非齐次状态方程的解为

系统的输出响应为