第3章　线性控制系统的运动与离散化

3.1　线性定常系统的自由运动

3.1.1　自由运动的定义

线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称为自由运动，如图3-1所示。自由运动由齐次状态方程来表征。在初始状态x（t0）、定义区间为［t0，∞）时，自由运动的解可表示为x（t）=Φ（t-t0）x（t0），其中Φ（t-t0）为n×n矩阵。它满足 

　　（3-1）

称Φ（t-t0）为系统的状态转移矩阵。

自由运动的解为x（t）=Φ（t-t0）x（t0），这可根据式（3-1）满足系统的状态方程和初始条件而得到证明。

3.1.2　自由运动的讨论

①x（t）=Φ（t-t0）x（t0）说明了自由运动的解可由状态转移矩阵表达为统一的形式。物理上的含义是：系统在t≥t0，任一瞬时的状态x（t），仅仅是初始状态x（t0）的转移，这也是称Φ（t-t0）为状态转移矩阵的原因。

②系统自由运动的状态由状态转移矩阵唯一决定，它包含了系统自由运动的全部信息。

③对于线性定常系统，状态转移矩阵为

证明　已知状态转移矩阵满足

与通常的标量微分方程类似，设解Φ（t-t0）的形式为如下向量幂级数，即

　　（3-2）

F0，F1等为待定的矩阵，由方程与初始条件决定。

把式（3-2）代入中，可导出

F1+2F2（t-t0）+3F3+…=A［F0+F1（t-t0）+F2+…］

把初始条件Φ（0）=I（即t=t0时的状态矩转移矩阵）代入式（3-2），得

F0=I

故F1+2F2（t-t0）+3F3（t-t0）2+…=A［I+F1（t-t0）+F2（t-t0）2+…］　

等式两边对应项系数应相等，即

则式（3-2）变为

因标量指数定义为

故定义Φ（t-t0）=。

对于线性定常系统，自由运动的解为

x（t）=Φ（t-t0）x（t0）=x（t0）

当t0=0时，状态转移矩阵为Φ（t）=eAt，此时线性定常系统自由运动的解为

　　（3-3）

④状态转移矩阵Φ（t-t0）的性质如下。

可逆性（是非奇异的）

证明　

分解性

证明　

传递性

证明　（利用分解性来证明）