2.4 根据线性系统的状态变量图列写状态空间表达式
根据2.1节对系统状态空间描述问题的讨论以及状态变量的启示，使我们更明确了选择独立储能元件的储能变量作为状态变量是比较容易掌握的。因此在线性系统的传递函数确定后，可用结构图将其化为由积分器、放大器、比较器（即加法器）各环节组成的形式，取积分环节的输出作为状态变量，进而根据信号传递关系导出线性系统的状态空间描述，这就是本节的基本思想。
所谓状态变量图，是由积分器、放大器和加法器构成的系统结构的图形表示，图中每个积分器的输出定为一个状态变量。状态变量图既描述了状态变量间的相互关系，又说明了状态变量的物理意义。可以说，状态变量图是系统相应结构图的拉普拉斯反变换图形。
2.4.1 一阶线性系统的状态空间表达式
（1）运动方程中不含输入变量的导数项 运动方程为
对其进行拉普拉斯变换，得传递函数
式中 y——系统的输出变量；
u——系统的输入变量；
T——时间常数；
K——放大系数。
上式可变化为
（2-18）
根据梅逊（Mason）增益公式，可以画出式（2-18）对应的一阶系统结构图，如图2-4所示。再将该结构图改画成图2-5所示的时域一阶系统状态变量图。指定积分器的输出为状态变量x1，系统的输出变量为y=x1。
图2-4 一阶系统结构图
图2-5 一阶系统状态变量图
由状态变量图写出系统的状态方程为
系统的输出方程为
y=x1
（2）运动方程中包含输入变量的导数项 运动方程为
这一问题可参照上面的过程按如下步骤处理。
①对传递函数进行处理，则
（2-19）
②根据式（2-19），画出如图2-6所示的含有输入变量导数项的一阶系统运动方程的结构图。
图2-6 一阶系统结构图（含
）
③将结构图改画成如图2-7所示的状态变量图。具体方法是把积分环节改画成积分器，选定积分器输出作为系统的状态变量x1。
图2-7 一阶系统状态变量图（含）
④根据状态变量图，写出含有输入变量导数项的一阶线性系统的状态方程与输出方程，即
2.4.2 二阶线性系统的状态空间表达式
（1） 运动方程中不含输入变量的导数项 运动方程为
式中 ζ——阻尼比。
①对传递函数进行处理，则
（2-20）
②根据式（2-20）可以直接画出如图2-8所示的状态变量图，图中积分器的输出选定为系统的状态变量
。
图2-8 二阶系统状态变量图
③根据状态变量图，写出不含输入变量导数项时二阶线性系统的状态方程和输出方程，它们分别为
即
（2）运动方程中含有输入变量的一阶导数
式中 τ——输入变量一阶导数
的常系数。
①对传递函数进行处理。
（2-21）
②根据式（2-21）可以直接画出如图2-9所示的状态变量图，图中积分器的输出选定为系统的状态变量x1、x2。
图2-9 二阶系统状态变量图（含）
③根据状态变量图，写出相应的状态方程与输出方程，它们分别为
即
2.4.3 n阶线性系统的状态空间表达式
设n阶线性系统的传递函数为
（2-22）
将式（2-22）分子和分母同除以sn得
求得输出变量的拉氏变换为
令
或
（2-23）
可得
Y（s）=ε（s）［b1s-1+…+bn-1s-（n-1）+bns-n］
=b1s-1ε（s）+…+bn-1s-（n-1）ε（s）+bns-nε（s） （2-24）
根据式（2-23）、式（2-24）可画出系统结构图（图2-10）与系统状态变量图（图2-11）。
图2-10 n阶线性系统结构图
图2-11 n阶线性系统状态变量图
由状态变量图很容易写出n阶线性系统的状态方程，即
即
（2-25）
输出方程为
y=bnx1+bn-1x2+…+b2xn-1+b1xn
即
（2-26）
【例2-7】 设线性系统的传递函数为
试画出系统的状态变量图，并根据状态变量图写出系统的状态空间表达式。
解 将已知的传递函数改写为如下形式，即
根据式（2-23）、式（2-24），由上式可求得
画出系统的状态变量图，如图2-12所示，图中各积分器的输出选定为状态变量x1、x2、x3。
图2-12 例2-7系统状态变量图
由图2-12可直接写出系统的状态方程及输出方程，它们分别为
