2.3　线性系统的频域传递函数化为状态空间表达式

线性控制系统的传递函数

　　（2-17）

按其极点分布情况，用部分分式法可得与之相应的状态空间描述，这样，状态方程与控制系统的极点直接建立了联系。

2.3.1　系统传递函数的极点为两两相异的单根

将式（2-17）化为部分分式的形式，即

式中　　　　G（s）——系统的传递函数；

s1，s2，…，sn——系统中两两相异的极点；

ki（i=1，2，…，n）——待定常数。

ki（i=1，2，…，n）可按下式计算

则有

①选择状态变量。令为各状态变量的拉氏变换式，即

②化为状态变量的一阶微分方程组。

对上面两式进行拉普拉斯反变换，得

③化成向量矩阵形式。

称其为对角标准型。

【例2-5】 设系统的传递函数，试求其状态空间描述。

解　该系统的极点为s1=-1，s2=-2，s3=-3，而待定常数ki（i=1，2，3）为

因此，该系统的状态空间表达式为

2.3.2　系统传递函数的极点为重根

（1）系统传递函数的极点为一个n重根　将式（2-17）化为部分分式的形式，即

式中　　　　　s1——n重极点；

k1i（i=1，2，…，n）——待定常数。

k1i（i=1，2，…，n）可按下式计算

所以

①选择状态变量。

②化为状态变量的一阶微分方程组。

对上面两式进行拉普拉斯反变换，得

③化为向量矩阵形式。

【例2-6】 设系统的传递函数，试求其状态空间表达式。

解　系统有一个三重极点s=2，待定系数k1i（i=1，2，3）为

因此，系统的状态空间表达式为

（2）系统传递函数的极点为k个重根　设s1为l1重根，s2为l2重根，…，sk为lk重根，且l1+l2+…+lk=n。参照上述极点为一个n重根的情况，不难直接得出状态空间描述为

及　

令

故

此状态空间表达式称为约当（Jordan）标准型。

2.3.3　系统传递函数同时具有单极点和重极点

令s1，s2，…，sk为单极点，sk+1为l1重极点，sk+2为l2重极点，…，sk+m为lm重极点，且成立。

据上述两种情况的讨论结果，可直接列出此时系统的状态空间描述为