2.2　线性系统的时域微分方程化为状态空间表达式

在经典控制理论中，线性控制系统的时域模型通常可描述为系统输出与其输入间的一个高阶微分方程，它具有如下一般形式，即

由2.1节可知，线性定常系数的状态空间表达式为

因此将一般时域高阶微分方程化为状态空间表达式的关键问题是适当选择系统的状态变量，并由ai（i=1，2，…，n）、bj（j=0，1，…，n）定出相应的系数矩阵A、B、C、D。下面分两种情况进行讨论。

2.2.1　微分方程右端不包含输入变量的各阶导数

线性微分方程中的输入变量为u（t），不包含输入变量各阶导数的微分方程形式为

①选择状态变量。一个n阶系统，具有n个状态变量，当给定y（0）、、、…、y（n-1）（0）和t≥0的输入u（t）时，系统在t≥0时的运动状态就可以完全确定。取y、、、…、y（n-1）为系统的一组状态变量，并令

②将高阶微分方程化为状态变量x1、x2、…、xn的一阶微分方程组。

系统输出的关系式为y=x1。

③将一阶微分方程组化为向量矩阵形式。状态方程为

输出方程为

【例2-3】 设系统输出与输入间的微分方程为 

求该系统的状态空间表达式。

解　选取 x1=y，，可导出该系统的状态方程和输出方程分别为

2.2.2　微分方程右端包含输入变量的各阶导数

此时线性系统的微分方程为

将上面的微分方程化为状态空间描述时要注意的问题是，因为方程式右端出现了u的各阶导数项，所以选择的状态变量要使导出的一阶微分方程组等式右端不出现u的各阶导数项。为此，通常把状态变量取为输出y和输入u的各阶导数的适当组合。

①选择状态变量。令

　　（2-14）

式中的系数β0、β1、…、βn待定，可由下面方法确定。

用an、an-1、…、a1分别乘以式（2-14）中前n个方程的两端，并移项得

不难发现，上述各方程左端相加等于微分方程的左端，因此上述各方程右端相加也应该等于微分方程的右端，即

　　　 （2-15）

等式两边u（k）（k=0，1，…，n）的系数应相等，有

　　（2-16）

这就是由ai和bj计算βk（k=0，1，…，n）的递推关系式。

②导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式。 对式（2-14）求导，并考虑到式（2-15）中的xn+1+a1xn+…+an-1x2+anx1=0，可得

        y=x1+β0u

③化为向量矩阵形式。

状态方程为

输出方程为

【例2-4】 设系统的输出-输入微分方程为

试求其状态空间描述的状态空间表达式。

解　系数a1=18，a2=192，a3=640，b0=b1=0，b2=160，b3=640。

按式（2-16）求出

按式（2-14）状态变量为

所以向量矩阵形式的状态方程和输出方程为