2.1　状态空间描述的概念

2.1.1　状态空间描述的基本概念

（1）状态变量　能够完整地、确定地描述动力学系统时域行为的最小个数的一组变量称为状态变量。变量之间最大线性无关组即为最小变量组，这一组变量是线性无关的。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。

一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，这种选择不是唯一的，但重要的是这些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数。由于微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实践上，选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在状态反馈控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。

n阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道n个独立的初始条件。很明显，这n个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻t0的值。如果给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时系统输入的时间函数，那么系统在t≥t0的任何瞬时的行为就完全确定了，这样的一组变量称为状态变量。

（2）状态向量　以n个独立状态变量为元素所组成的向量，称为状态向量。如果x1（t），x2（t），…，xn（t）是系统的一组n个独立状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量x（t），即

（3）状态空间　以n个独立状态变量x1，x2，…，xn为两两正交的坐标轴所构成的n维正交空间，称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的、特定的一组值。在经典控制理论中，分析非线性系统所采用的相平面就是一个特殊的二维状态空间。

（4）状态轨线　在特定时刻t，控制系统的状态向量x（t）在状态空间中是一点。已知初始时刻t0的状态x（t0），就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移演化，x（t）将在状态空间中描绘出一条轨线，称为状态轨线。

（5）状态方程　由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。它反映了系统状态以及系统输入对系统状态变化的影响。

（6）输出方程　在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量以及系统输入之间的函数关系，称为系统的输出方程。它反映了系统状态以及系统输入对系统输出的影响。

（7）状态空间表达式　状态方程和输出方程联合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。

2.1.2　控制系统的状态空间描述举例

下面通过两个例子，说明列写线性系统状态方程和输出方程的步骤，得出被控系统状态空间描述即状态空间表达式的形式与规律。

【例2-1】 设有如图2-1所示的RLC网络，u为输入变量，uC为输出变量。试求其状态空间描述。

解

①确定状态变量。选择电容两端电压uC（t）和电感通过的电流i（t）作为系统的两个状态变量。

②列写微分方程并化为一阶微分方程组。根据基尔霍夫电压定律，列方程

　　（2-1）

消去中间量i（t），得到该电路系统的微分方程

　　（2-2）

根据式（2-1）得到由两个一阶微分方程构成的一阶微分方程组，即状态方程

　　（2-3）

因为电路的输出为电容两端电压uC（t），故输出方程为

uC=uC　（2-4）

③列出状态空间描述。式（2-3）和式（2-4）分别用向量矩阵形式表示

　　（2-5）

令，输出变量y=uC。

因此，该电路的状态空间描述即状态空间表达式可表示为状态方程与输出方程，即

在此RLC电路中，若已知电流初值i（t0）、电压初值uC（t0）以及t≥t0时的输入电压u（t），则t≥t0时的状态可完全确定。因此i（t）、uC（t）是这个系统的一组状态变量。

【例2-2】 RLC网络如图2-2所示。其中e（t）为输入变量，为输出变量，试求其状态空间描述。

解

①确定状态变量。此网络uC和iL可构成最小变量组，当给定uC和iL的初始值及e（t）后，网络各部分的电流、电压在t≥0的动态过程就完全确定了。所以可以选择uC和iL作为状态变量，由它们组成的状态向量为。

②列写微分方程并化为一阶微分方程组。取两个回路，根据基尔霍夫定律可得

　　（2-6）

　　（2-7）

因为iC不是所确定的状态变量，所以需将代入式（2-6）和式（2-7）中消去iC，即

　　（2-8）

　　（2-9）

由式（2-9）可得

即

　　（2-10）

由式（2-8）可得

将式（2-10）代入上式可得

即

　　（2-11）

③列出状态空间描述。将式（2-10）和式（2-11）用向量矩阵形式表示

　　 （2-12）

输出方程为

写成向量矩阵形式为

　　 （2-13）

式（2-12）和式（2-13）即为系统的状态方程与输出方程，它们构成了被控系统的状态空间描述即状态空间表达式。

令，

输入变量u=e（t），输出变量。

则该电路系统的状态空间描述的状态空间表达式可表示为状态方程与输出方程，即

2.1.3　线性系统的状态空间描述的一般形式

设单输入单输出线性定常系统，其状态变量为x1，x2，…，xn，则状态方程的一般形式为

输出方程则有如下一般形式，即

y=c1x1+c2x2+…+cnxn+du

因此单输入单输出的线性定常系统，用向量矩阵形式表示时的状态空间表达式为

式中　x——n维状态向量，；

A——系统矩阵（或状态矩阵），反映了系统状态的内在联系，为n×n方阵，；

b——输入矩阵（或控制矩阵），反映了输入对状态的作用，此处为n×1的列矩阵，；

c——输出矩阵（或观测矩阵），反映了系统状态对输出的影响和作用，此处为1×n的行矩阵，；

d——直接传递系数（或前馈系数），反映了输入对输出的直接作用，此处为1×1的标量。

对于一个多输入多输出的线性定常复杂系统，假设具有r个输入、m个输出，此时状态方程的一般形式为

其输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入向量的直接传递，因而有如下的一般形式，即

因而多输入多输出的线性定常系统，用向量矩阵形式表示时的状态空间表达式的一般形式为

式中　x——n维状态向量；

A——n×n系统矩阵；

u——r维输入向量，；

y——m维输出向量，；

B——n×r输入矩阵，；

C——m×n输出矩阵（或测量矩阵），；

D——m×r直接传递矩阵，D=。

系数矩阵A、B、C、D完整地表征了系统的动态特性，故把一个指定系统简记为系统∑（A，B，C，D）。本书除特别说明外，在输出方程中，均不考虑输入向量对输出向量的直接传递作用，即令D=0。

对于线性时变系统，系数矩阵A、B、C、D中至少有一个元素与时间t有关，所以状态空间描述为

状态空间描述用结构图表示，如图2-3所示。

2.1.4　状态空间描述的特点

通过以上对状态空间描述的阐述，可总结出如下特点。

①状态空间描述刻画了“输入→状态→输出”这一信息传递过程，其中它考虑了被经典控制理论的输入→输出描述所忽略的状态，因此它揭示了系统运动的本质，即输入引起状态的变化，而状态决定了输出。

②输入引起状态的变化是一个动态过程。数学上表现为向量的微分方程，即状态方程。状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。

③从物理意义来说，系统的状态变量个数仅等于物理系统包含的独立储能元件的个数，因此一个n阶系统仅有n个状态变量可以选择。

④一般来说，对于给定的n阶系统，状态变量的选样不是唯一的。如果x是系统的一个状态向量，只要矩阵P是非奇异的，那么也是一个状态向量。

⑤一般来说，状态变量不一定是物理上可测量的量，但从便于控制系统的状态反馈可实现的角度来说，把状态变量选为可测量的量更为合适。

⑥对于结构和参数已知的系统，建立状态方程的步骤是：首先选择状态变量；其次根据物理机理或定律列写微分方程，并将其化为状态变量的一阶微分方程组；最后将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即得状态空间描述，即状态空间表达式。对于结构和参数未知的系统，通常只能通过系统辨识的途径建立状态方程。

⑦系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用电子计算机来计算。