问题5 如何开展法则教学？

【观点与案例】

在初中阶段的数学学习过程中，学生会接触到较多的数学法则，主要有：有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则、有理数的大小比较法则，有理式的加、减、乘、除运算法则、去(添)括号法则，根式的运算法则等等，这些法则的学习有哪些共同特点？法则教学能否像有些老师那样简化为“记法则、用法则？”

一、从具体到抽象，在“猜想法则”的过程中渗透“代数思想”

仔细阅读教材，我们可以发现，教材有意编排内容，让学生经历法则的发现、猜想、归纳的过程：如七年级《2.1有理数的加法(1)》一课中，从现实生活(仓库货物运进运出导致库存变化)中抽象出算式，根据现实生活的意义写出算式运算的结果，从算式运算的结果归纳有理数加法运算法则；七年级下《3.1同底数幂的乘法》一课中，从两个具体的乘方形式的数相乘，到底数是字母的同底数幂相乘，再到底数、指数都是字母的同底数幂相乘，逐步经历抽象过程；八年级下《1.2二次根式的性质(2)》一课中，通过一系列具体的二次根式乘除运算，让学生观察发现表示规律．那么，在具体的教学中，应该如何让学生经历“猜想法则”的过程呢？举例说明如下：

【案例1】浙教版七年级上《3.1同底数幂的乘法》法则归纳教学片断

师：请你利用“2,3,5”三个数中的2个数写出一些乘方运算，并用幂的形式表示．

生1:23,32,35,53,25,52

师：哪些是同底数的幂？

生2:23和25,32和35,53和52

师：这些同底数的幂能进行哪些运算？

生3：可以先计算出结果再进行加、减运算．(停顿了一会儿)还可以进行乘除运算．

师：我们先试一试乘法运算：53×52的结果是多少？

生4:53表示3个5相乘，52表示2个5相乘，结果是5个5相乘，可以写成53×52=55.

师：当底数都是5的时候，我们发现53×52=55，底数5不变，把指数2和3加起来，是不是只有底数是5的时候，才有这样的规律？

生5:23表示3个2相乘，25表示5个2相乘，结果是8个2相乘，可以写成23×25=28.

生6:32表示2个3相乘，35表示5个3相乘，结果是7个3相乘，可以写成32×35=37.

师：底数是2,3,5时，都有这样的规律．

生7：随便什么底数，只要底数相同，都有这样的规律．

师：“用什么表示随便什么底数好？”

生8：用字母a表示，如a2×a5=a7.

师：指数只能是2,5吗？

生9：指数也可以换成字母，如：am×an=am+n.

……

【评析】本教学片断老师先让学生写出一些幂的形式表示的乘方运算，通过同底数幂的组合辨别同底数幂的特点，然后老师通过两次追问“是不是只有底数是2,3,5时才有这样的规律？是不是指数只能是2,5时才有这样的规律？”帮助学生经历了底数从特殊的数到一般字母，指数从具体的数到字母两次从具体到抽象的过程，经历“猜想法则”的过程．

从具体到抽象“猜想归纳法则”，这里“具体”指的是学生容易理解的生活现实或者以具体的数形式呈现的算式规律．“抽象”就是把特殊形式的规律一般化表达．从具体到抽象，从特殊到一般，探索、猜想、归纳法则的过程，就是一次次在抽象的过程中渗透“代数思想”．笔者深刻感受到，正是“代数思想”的渗透，使得学生在法则归纳的过程中，逐步感悟可以用“字母代替数”来寻求一般规律，对后续法则等其他内容的学习产生正迁移．

二、从猜想到验证，在“推导法则”过程中感悟“演绎方法”

学生在猜想归纳得到用算式或用文字形式得到的“规律”以后，事实上这样的“规律”还不能称之为“法则”，要引导学生对猜想进行推理证明或者验证、解释规律．如在有理数的加减乘除运算中，在猜想规律以后，用数轴解释加法法则规定的合理性；在幂运算法则和整式乘法运算中，通过幂的意义进行推理得到法则；在有理式的乘法运算中，通过图形的面积关系解释规律．这些“推理、验证、解释”的习惯帮助学生感悟“合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论”.

【案例2】浙教版七下《3.1同底数幂的乘法》法则验证教学片断

师：刚才我们从数到字母猜测am·an=am+n，这个等式确实对所有的底数a都成立吗？

生：因为am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示(m+n)个a相乘，即

【评析】本教学片断引导学生说明对所有的同底数幂相乘，以上猜想都成立．学生在说理的过程中进一步理解了乘方的意义，感受猜想的正确需要进行验证、推理证明．

引导学生推理或验证的目的是让学生感受形成数学法则需要合情推理，更需要“步步有据”的演绎推理．同时，要注意的是，并不是所有的法则都能够“推理”得到，比如有理数的加减乘除运算法则，我们通过数轴只是帮助学生理解法则规定的合理性，根式的运算法则也只有抽象归纳的过程，还有验证或者解释也有一定的局限性，如用面积法解释乘法公式等等．

三、从成型到完善，在“完善法则”过程中培养“缜密思维”

虽然经过推理、验证、解释，“法则”初步成型，但是在若干数学法则中，都有“补充条款”，如有理数的加法法则中“互为相反数的两数相加得零”；有理数的乘法法则中“任何数同零相乘，结果都为零”；零指数及负整数指数幂中要规定“底数不为0”；根式运算中要规定“被开方数为非负数”，这些“补充条款”是以“告知”的方式灌输给学生还是让学生在反思的过程中认识到法则不够完善从而想到补充？显然，后一种处理方式有助于培养学生严谨缜密的思维习惯，也符合我们日常生活中制定规则的习惯：补充规则中的“未尽事宜”.

举例说明如下：

【案例3】七年级上《2.1有理数加法》法则完善过程

师：刚才我们得到了同号两数相加、异号两数相加的法则，现在请你计算：(-5)+(+5)

生1:-5和+5虽然是异号两数，但不能用异号两数相加的法则，因为没有较大的数．

生2：因为它们的绝对值是一样的，所以和为0.

师：像这样的两个数相加在以上两条法则中没有说明，我们作补充说明：互为相反数的两个数相加得0．至此，任意两个有理数相加法则是否叙述完整了？

生3：我记得在《有理数的大小比较》那节课的时候，曾经整理过两个有理数的大小比较有六种类别：正数和正数，负数和负数，正数和负数，正数和0，负数和0,0和0．那现在还剩下三类没有说明：正数和0，负数和0,0和0.

师：太棒了！能够前后联系．那么，正数和0相加，负数和0相加，0和0相加，它们运算的结果是什么？

生4：还是它本身！

师：因此，我们得到：“一个数和0相加，仍得这个数．”至此，我们得到了完整的有理数加法法则．(屏幕展示)

【评析】本教学片断在学生得出“同号两数相加、异号两数相加”的基础上，让学生通过计算“(-5)+(+5)”感受到以上两条法则并不能完整地概括有理数加法，从而引导学生进行补充．随后，引导学生梳理两个有理数相加的6种可能再一次补充有理数和0相加的特殊情况．这个过程，既让学生充分体验有理数规定的合理性，又让学生经历有理数运算法则分类整理的过程，潜移默化地渗透了代数学习中法则获得的方法，感受有理数运算法则分类讨论的必要性．

法则“完善”的过程，是教师激发学生深入思考的过程．在教学中，我们可以通过分类、反思等方法让学生逐步学会完善法则．如有了有理数的加法“完善法则”的经历，学生在学习有理数的乘除法运算中，很自然地想到“0和任何数都不是同号或者异号，需要单独条款：0与任何数相乘都得0”；在根式运算中，让学生观察等式思考：“是否a, b可以取任意实数？”，学生通过思考得到被开方数应该是非负数．

四、从理解到掌握，在“运用法则”过程中体会“条件意识”

得到法则以后，要学会运用法则来解决问题，这个过程是让学生学会运用一般规律来解决一些复杂的具体问题，如理解有理数运算中的数从整数到复杂的分数，幂运算中的底数从单项式到多项式，分式运算中既需要通分，也需要约分，这些法则的运用过程其实是从一般到特殊的过程，帮助学生从抽象到具体来理解和掌握法则．

【案例4】幂的乘方运算法则题组设计

题组1：计算：(34)5; [(-10)5]3; (a6)4; [(x+2)2]3

题组2：辨析：下列计算对吗？(1)(43)5=48; (2)a2·a5=a10; (3)b4+b4=b8；

题组3：计算：(1)y5·(y2)5-2(y3)5; (2)(-23)5×(-23)15.

题组4:(1)已知am=2, an=3则a3m+2n= .

(2)计算：；

(3)比较大小：255,344,433,522.

【评析】以上题组1帮助学生从底数的含义(正数、负数、字母表示的单项式、多项式)理解法则，重在识别底数和指数熟悉法则；题组2通过辨析的方式，区别同底数幂的乘法及合并同类项，让学生体验幂的乘方运用的条件；题组3属于混合运算，让学生学会灵活运用法则，特别第(2)小题可以灵活选择运算顺序；题组4是法则的逆用训练，第(1)小题为常见的逆用练习，第(2)小题让学生感受幂的乘方运算可以简化运算，同时为第(3)小题的解决起了启示作用．

在法则运用的题组设计中，一般会有一个从“标准”到“变式”的过程，“标准”形式的法则巩固题有利于学生在初学法则阶段熟练掌握法则，“变式”练习可以是正误辨析、条件变化，这些练习有利于学生学会合理运用法则解决问题，逐步体会“条件意识”.

五、在系列法则教学中潜移默化地渗透“数学思想”

在初中阶段众多的法则学习中，前后法则之间往往有一定的联系，学习方法上也存在着相似之处．如幂的乘方就是底数指数都相同的同底数幂相乘，多项式乘法可以转化单项式乘法；学习幂运算法则的一般规律是“猜想 → 验证 → 完善→ 运用”．所以，在学习法则的过程中，要潜移默化地渗透“转化”、“类比”、“数形结合”等思想方法．

【案例5】浙教版七年级下《多项式乘法》法则教学设计

活动1：如图1是一间厨房的平面布局，有哪些方法表示厨房总面积？

启发学生从整体思考，将厨房看成一个长为b+n，宽为a+m的长方形，得总面积是(a+m)(b+n)．再启发学生从分块思考，将厨房看成上面一排窗口矮柜的面积是m(b+n)，下面一排右侧矮柜和空地面积之和是a(b+n)；或者分成左右两块来算，左边一块是b(a+m)，右边一块是n(a+m)；或者分成4块来算，4块面积分别是ab, an, m b, m n．得到等式(a+m)(b+n)=a(b+n)+m(b+n)=ab+an+mb+mn.

活动2：思考字母a, b, c, d不是厨房布局的长度，而是任意实数，这个等式是否都成立？

引导学生将多项式的乘法转化为单项式与多项式的乘法进行推理，即当计算(a+m)(b+n)时，可以先把b+n看成一个整体，运用单项式与多项式相乘法则得到(a+m)(b+n)=a(b+n)+m(b+n)，再利用单项式与多项式相乘法则得到a(b+n)+m(b+n)=ab+an+mb+mn.

活动3：把用符号表述的多项式乘法法则翻译为文字形式表述的多项式乘法法则．

引导学生思考等式(a+m)(b+n)=ab+an+mb+mn的左边表示什么怎样的运算？在学生说出多项式的乘法运算以后，引导学生观察等式的右边得到的各项是由左边的项怎样得来的？在学生说“用一个多项式的第一项乘以另一个多项式的第一项、第二项”等比较通俗的语言后，进一步引导学生概括法则“先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．”

活动4：设计多项式乘法的巩固练习题(略)

【评析】多项式乘法是在学生学习了单项式乘法、单项式与多项式的基础上继续学习的内容，从前面的学习中，学生已经知道学习的基本路径是“猜想法则 → 验证法则→运用法则”，本教学片断从厨房不同面积计算方法猜想法则，转化为单项式与多项式的乘法进行推导，再设计题组进行训练，在这一系列的过程中，渗透了“转化、类比、数形结合”等思想方法，也让学生进一步掌握了学习法则的一般方法．

数学思想方法的“渗透”是一个“润物无声”的过程，教师要善于创设数学活动，搭建思考的平台，让学生在活动和思考的过程中逐步感受和体会数学思想．数学知识是一个联系的整体，特别是有些并列的数学知识，它们研究的对象同类、研究的内容相近、研究的方式相同，因而它们学习的经验可相互借鉴．在这些知识的教学中，我们可以合理地运用“类比”的策略，引导学生在“类比”中探究，在“探究”中建构新知识，形成稳定、清晰的认知结构．如可以让学生类比同底数幂乘法的学习路径来学习幂的乘方、积的乘方法则，类比有理数的加法学习乘法，类比异分母的分数加减学习异分母的分式相加减，类比多项式的乘法学习乘法公式．

数学法则的教学有一定的规律，但也不是绝对的按规律执行，教学时要取决于所任教的学生的实际，以“学为中心”来组织教学．

【思考与讨论】

1．初中阶段的法则教学有哪些？请你进行梳理与讨论．

2．法则教学一般有怎样的步骤？请你设计一节法则教学课例．