问题4 如何开展运算教学？

【观点与案例】

在初中阶段，教材安排了众多的运算内容，如实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整式、分式、根式的加减乘除运算等等，运算问题还蕴含在其他内容板块的学习中贯穿数学学习的始终．运算是推理的基础，运算能力是数学学习中的一种重要能力，但有若干学生的运算能力差，特别是有的学生运算能力与思维能力很不匹配，许多学生或者家长把运算能力差归结为“粗心”，这“粗心”的背后既是基础知识不够扎实造成的后果，也是学习或教学习惯不良的表现．

一、“抽象归纳”，经历法则由来过程

在运算教学中，“法则由来”教学是核心，它能够帮助学生理解算理，掌握算法．基于初中生的学习要求，有理数加法法则是从现实问题抽象归纳得到的，有理数乘法是根据现实问题和规律探索得到的，有理数减法、除法、开方是作为加法、乘法、乘方的逆运算得到的．在代数式的运算中，合并同类项法则是类比有理数的加法运算得到的，后续的幂运算法则、整式乘法法则都是从特殊到一般归纳得到的，幂运算法则还可以根据幂的意义进行推导，整式乘法法则转化为已经学会的法则进行推导(如多项式乘法转化为单项式乘法)．仔细分析这些法则的来龙去脉，我们发现，法则的获得过程可以归纳为：从现实问题或具体算式抽象出一系列算式 → 根据实际意义或者算式表达的规律归纳法则 → 根据规则制定的完整性完善法则 → 得到完整的法则(含文字语言、符号语言、图形语言表述的形式)．因此，运算法则的教学不能简化为“告知执行”，应该让学生充分经历法则的获得过程．举例说明如下：

【案例1】浙教版七上《2.1有理数的加法》法则的形成过程教学片断

环节一：从现实问题入手抽象出各种算式

老师屏幕出示以下问题(如图1)：

教学过程：先结合图片展现情境，再出示表格整理数据(见图2)，把文字信息整理到表格上接着根据规定(记进货为正，出货为负)用+7, -2, +3, -6表示以上4个量，并提出问题“如何用算式表示以下问题：一共运进多少吨？一共运出多少吨？周一库存变化结果？周二库存变化结果？”得到以下4个算式：(+7)+(+3), (-2)+(-6), (+7)+(-2), (+3)+(-6)，从而引出有理数加法运算．

环节二：探索同号、异号两数加法运算法则

教学过程：引导学生从算式(-2)+(-6)的实际意义表示“一共运出8吨”写出等式(-2)+(-6)=-8，然后屏幕显示几组类似的问题“某人体重第一季度减少2千克，第二季度减少3千克，这两个季度一共减少多少千克？某水库水位连续两天下降，第一天下降5米，第二天下降10米，一共下降了多少米？某人从车站出发，先向西走2米，继续向西走4米，终点位置在何处？”根据实际意义再得到三个等式：(-2)+(-3)=-5; (-5)+(-10)=-15; (-2)+(-4)=-6．用如图3所示的数轴表示最后一个算式．根据这4个算式让学生整理出两个负数相加的规律“两个负数相加，结果都是负数，然后把符号后面的数相加”，在教师的引导下让学生从和的符号、绝对值两个方面观察、归纳运算规律，并结合两个正数相加的共同点归纳得到“同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加．”接着类比刚才的探索过程让学生根据引例的实际意义和生活中的现实问题(改编体重、水位、行走问题)写出算式：(+7)+(-2)=+5, (+3)+(-6)=-3, (+2)+(-1)=+1, (+5)+(-10)=-4, (+5)+(-2)=+3．同时把最后1个算式画出相应的数轴(见如图4)．引导学生观察计算结果，从和的符号、绝对值两个方面总结异号两数相加的规律“异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”，及时配备练习巩固运算．

环节三：通过运算练习和反思分类完善法则

教学过程：在异号两数的加法运算中配备练习“(-5)+(+5)”，让学生反省“异号两数的加法法则不包括互为相反数的两数相加”，需要补充说明“互为相反数的两个数相加得0”，此时再引导学生反思同号、异号两数的加法法则是否囊括所有有理数的加法运算，让学生通过分类得到有理数的加法包括六类：正数和正数，负数和负数，正数和负数，正数和0，负数和0,0和0．法则需要补充说明“任何数同0相加仍得原数．”

【评析】本教学片断让学生经历了有理数加法法则的得出过程：先结合图片展现情境，再出示表格整理数据，然后提出问题，让学生用算式表示4个实际问题导出加法算式，让学生通过生活经验和数轴归纳出两个负数相加的法则，再结合两个正数相加的经验，让学生把两个正数相加和两个负数相加合并成一条法则，在合并的过程中整理出“同号两数相加的法则”，而且让学生感受到两数相加要从和的符号、和的绝对值两个视角进行观察，从而从“同号”很自然地引出“异号”，再让学生通过实际生活经验和数轴整理出异号两数相加的法则．随后，在计算的过程中作出异号两数的补充．在梳理两个有理数相加的6种可能，再一次补充有理数和0相加的特殊情况．这个过程，既让学生充分体验有理数规定的合理性，又让学生经历有理数运算法则分类整理的过程，潜移默化地渗透了代数学习中法则获得的方法，感受有理数运算法则分类讨论的方法以及必要性．

不同法则的由来过程有些许差异，教师要善于创设探索的平台，让学生经历法则的获得过程．在抽象出算式的过程中，要设置一些有代表性的具体算式，如同底数幂的乘法法则的算式从底数是正整数、负整数、分数到指数是正整数、字母，让学生感悟法则的本质属性．在完善法则的过程中，引导学生反思，从特殊算式归纳得到的法则是否完整归纳了所有类型的数或式子的运算，从而让学生发现需要补充完善，如同号、异号两数相加或相乘除都没有包括零，需要补充和零相加相乘除的情况．因为文字语言表述的法则比符号语言表述的法则往往更具一般性，所以在得到完整的法则以后，我们还应引导学生学会叙述法则．

二、“规范表达”，养成良好运算习惯

学生的运算习惯很大程度上决定了运算的正确率和速度．笔者实践研究认为，学生在巩固运算法则的过程中，进行“规范表达”很重要，所谓“规范表达”就是遵照法则，按照必要的解题步骤进行叙述和书写．事实上，“规范表达”的过程就是一遍遍强化运用法则的过程，学生在强化训练以后，慢慢地变成一种习惯，当变成一种习惯以后，再省略一些解题步骤，这些省略了的解题步骤其实已在脑子中“走”了一遍．举例如下：

【案例2】示例1：计算：(-5)+(+3)

解：(-5)+(+3)=-(5-3)=-2.

示例2：化简：(2x+1)(x+2)

解：(2x+1)(x+2)=2x2+4x+x+2=2x2+5x+2

【评析】示例1中，很多学生都会觉得计算简单直接写出结果“-2”，一旦遇到一些较复杂的计算就会混淆算法．在以上的书写过程中，第一步按异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，书写顺序是“定符号”，再“定绝对值”．第二步是计算结果．示例2中，有的学生认为“4x+x”比较简单，就直接写“5x”，一旦出现“-”号，就容易出错．本题中按照多项式法则进行书写，用一个多项式的一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．实践证明，效果良好．

在运算教学中，“先读再算，规范表达”既需要教师的例题板演示范，更需要教师对学生的严格要求，并一以贯之地落实执行．笔者在单一的有理数运算中，均对学生要求“先读再写，先写再算”、“写两步(第一步定符号和绝对值，第二步计算结果)”，通过这些细致的要求督促学生学会按规则计算、按步骤书写，收到了良好的效果．同时，笔者也认为，运算教学中的“规范表达”能够帮助学生养成按规定办事、有序思考的做事习惯，这些习惯对学生的终身发展都起重要作用．

三、“变式训练”，学会灵活运用法则

运算是一种技能，技能都有一个从学会到掌握到娴熟到灵活运用的过程．变式训练是帮助学生提高运算技能的重要手段．关于运算的变式训练，我们可以采用“层级递进”的运算练习，也可以编制一些开放题，一些体现运算应用的问题，帮助学生掌握算法，积累灵活计算的经验．举例说明如下：

【案例3】浙教版七上《有理数加法》题组

题组1：计算：(+5)+(-8); (-7)+(-9)，等等．

题组2：能够用加法运算的应用题．(题目略)

题组3：判断题：(1)两个数的和为0，这两个数都是0.(2)两个有理数相加，和一定大于任何一个加数．(3)两个有理数相加，和为负数，则这两个数都是负数．

【评析】题组1让学生熟悉有理数加法法则，学会熟练运用加法法则进行计算；题组2进一步让学生感受加法模型，运用有理数加法来解决实际问题；题组3让学生在运算的基础上反思有理数运算，感悟数从非负数范围扩大到有理数范围以后，有些以前成立的数的运算规律在有理数范围内不再成立．

【案例4】浙教版七上《2.5有理数的乘方》拓展练习

(1)已知a, b是整数，且ab=16，满足条件的a, b的值有几对？

(2)你能利用一个几何图形计算的值吗？

【评析】在有理数的乘方练习中，我们不仅安排了一些基础性的巩固练习，还配备了如上两题拓展练习，练习1中满足条件的运算有26, (-2)6,43,82, (-8)2,641，让学生感悟“幂相同，底数和指数未必相同”；练习2让学生想到将面积为1的正方形一次又一次地平分，得到的部分依次可以表述为算式中的各项，从而得到结果为，体会“以形助数”来解决问题的方法．

“正确、迅速、灵活”是衡量运算能力的三个指标．正确运算是前提，要抓落实．在教学中，可以收集学生的错题让学生之间互相纠错，也可以运用对比的手段让学生感悟．如在学习了分式方程以后让学生对比着做(计算：，解方程：)，扎实实地落实运算．“灵活运算”要求学生学会使用运算律进行计算，能够对数与式要进行一些恒等变形，需要教师创造合适的问题进行训练．当然，运算也蕴含着推理，利用推理简化运算．

四、“联系现实”，加强运算模型理解

一般地，运算都是因为生活现实的需要而产生的．教材中有大量运算与生活现实相联系的素材，如从“仓库货物运进运出导致库存变化”引出有理数的加法，从“海拔高度之差”引出有理数的减法，从“U盘存储量的关系”引出同底数幂的除法，这些现实问题既让学生感受运算的必要性，同时也为解决其他实际问题提供了模型．帮助学生感受每一种运算模型的特点，加强运算模型的理解是运算教学应该力求渗透的．

如以上案例1中，摈弃课本中直接给出用表格整理的数据，让学生结合图片展现情境，再出示表格整理数据，然后提出问题，让学生用算式表示4个实际问题，既让学生复习“用正负数区别具有相反意义的量”，又让学生感受加法运算可以解决的四个实际问题，在自然语言与符号语言的转换过程中感受加法模型的特点．

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，在运算教学中渗透模型思想，可以从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示算式或者代数式，探索规律，增强应用意识．

五、“梳理提炼”，掌握运算学习套路

在初中数学中，涉及较多的运算内容，这些运算内容的学习有哪些共同点？基本学习套路是什么？以有理数运算来看，都要学习“怎么来 → 怎么写？→ 怎么读？→怎么算？→怎么用？”，对应运算教学的基本路径是：问题情境引入运算→介绍写法和读法 → 探索运算法则 → 巩固与运用法则．因此，在运算教学中，我们要善于运用类比教学，渗透转化与化归、分类、数形结合等思想方法，帮助学生学会学习．

【案例5】浙教版七上《3.1平方根》教学过程

环节一：类比已经学过的运算，导出“开方”运算

教学过程：屏幕显示以上问题，要求学生进行列式．

学生根据第1个问题列出算式：(-10)-(-2)，感悟已知“和”与“其中的一个加数”求另一个加数，用加法的逆运算“减法”．学生根据第2个问题列出算式：(-10)÷(-2)，感悟已知积与其中的一个因数求另一个因数，用乘法的逆运算“除法”；通过前两问感受第3问是已知幂和指数求底数的运算，是乘方运算的逆运算，从而导出“开方”运算．

环节二：类比其他运算的读法和写法学习“开方运算”

教学过程：先提问回顾运算学习的基本套路“怎么写？怎么读？怎么算？怎么用？”，循着这个路径学习开方运算．先介绍写法：如把乘方运算中的指数和幂分别写到开方运算中的位置(先写下根号，把幂写在根号内部，称为被开方数，把指数3写在根号的左上角，称为根指数)；再引导学生类比其他运算的两种读法(按运算方法读、按运算结果读，如-2加上-5, -2与-5的和)让学生读出三次根号8，再利用下表引出“根”的概念，读作8的三次方根．让学生在类比的过程中掌握概念．

环节三：类比其他运算的算法计算开方

教学过程：从上梳理得到“已知指数和幂求底数的运算是乘方的逆运算”，特别地，把已知一个数的平方求底数的运算称为开平方运算．请学生填表并进行开方运算的表示．再从一系列开方计算的结果中归纳开平方法则“一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根”．用联系的观点来看开方运算，使得学生通过“任何数的平方都是非负数”理解“负数没有平方根”.

【评析】本教学片断让学生根据运算学习的基本路径学习“开平方运算”：创设情境类比减法、除法运算的获得过程导出“开方运算”，类比加减乘除乘方的学习路径介绍开方运算的写法及相关概念(被开方数、根指数)，类比其他运算介绍读法(运算类比、运算结果)，让学生根据根据乘方运算计算开方运算的结果，感受开方是乘方的一种逆运算，从而归纳法则．

掌握学习套路，有利于学生运用类比的方法进行学习，并在学习的过程中潜移默化地习得数学思想方法，提高学习能力．教师应在学习一种运算以后，适时地归纳整理学习路径，为后续内容的学习提供方法上的引领．如在学习有理数加法法则后，梳理归纳加法运算的学习路径，为乘法运算学习提供方法和经验；在引进乘方运算教学时，创设情境引入相同因数的乘法运算，再把相同因数的乘法写成幂的形式，介绍底数和指数以及读法，根据幂的意义转化为乘法进行计算，总结乘方运算法则，再运用法则解决问题．当学生掌握了学习路径后，新知识的学习就有了目标和方向，这也是体现数学思想方法教学的过程．当然数学思想方法教学是一个润物无声的过程，需要教师的长期坚持和努力．

【思考与讨论】

1．培养学生的运算习惯有哪些方法？请交流具体措施．

2．数学运算与恒等变形有什么联系？请举例说明．