问题6 如何开展定理教学？
【观点与案例】
几何定理是“图形与几何”板块最重要的学习内容，也是帮助学生形成归纳推理和演绎推理能力的重要途径，甚至可以说几何是许多学生对数学产生兴趣的源泉．时下，由于教师普遍重视解题，在定理教学中主要表现为忽视定理的发现和证明过程，将大量时间花在定理的反复训练中，导致学生通过大运动量的解题训练来达到巩固定理的目的．
一、“问题引导”，经历定理的发现过程
诚然，有些数学命题可以开门见山地提出来，让学生经过证明得到定理．但是几何教学中，绝大部分数学定理都有一个发现和提出的过程．让学生经历数学定理发现和提出的过程，不仅有利于学生获得一些研究几何对象的方法和经验，更有利于培养学生发现问题和提出问题的能力，这些能力促进了学生实践和创新能力的提高，形成良好的数学素养．让学生经历定理发现和提出的过程，主要有两种途径：一是设计问题让学生在解决问题的过程中发现新命题；二是通过原命题的逆命题发现新命题．举例如下：
【案例1】浙教版八下“对角线相等的平行四边形是矩形”定理发现过程教学设计
设计方案1：问题：有一个门框，现只有一把卷尺，你能不能判断它是否为矩形？
设计方案2:“矩形的对角线相等且互相平分”的逆命题是真命题吗？
【评析】本课是在学生已经学过矩形的概念、性质以及判定定理1(三个角是直角的四边形是矩形)的基础上，继续学习矩形的判定，方案1从解决问题的视角提出问题：“仅用一把卷尺，如何判断门框是不是矩形？”，由于卷尺的功能是“度量长度”，因此学生只能利用“长度”进行判断．于是学生能想到用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或者“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来得到平行四边形，接着受矩形性质的启示猜想：“对角线相等的平行四边形是矩形”，在寻求解决问题方法的过程中发现了矩形的判定定理．方案2构造逆命题得到新命题直接进行证明．
【案例2】浙教版八下“对角线互相平分的四边形是平行四边形”定理发现过程教学设计
方案设计1：如图1，已知平行四边形ABCD的三个顶点为A、B、C，请你画出它的第四个顶点．
(图1)
(图2)
(图3)
(图4)
(图5)
方案设计2：问题：请大家观察，以下两组命题的条件和结论有什么关系，能写出平行四边形后两个性质的逆命题吗？它们的逆命题是真命题吗？
【评析】本课是在学生已经学过平行四边形性质和2条判定定理基础上继续学习“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，为了帮助学生发现新的判定定理，在方案1中，教师设计了一个“补全平行四边形的问题”让学生在问题解决的过程中既回顾了已学的平行四边形的判定方法：如图2(分别过点A、C画对边的平行线)、图3(过点A画BC的平行线，在平行线上截取AD=BC)、图4(分别以A、C为圆心，以BC、AB为半径画弧交于点D)，又在思考还有别的解决方法时发现图5(连结AC，取AC的中点O，作射线连结BO并在射线上截取OD=OB)所示的方法得到新命题．在方案2中，教师让学生观察命题的题设和结论，让学生从逆命题的角度提出命题，从而发现可能的判定定理．
以上案例1和案例2呈现了获得新命题的两种问题设计的方法：解决问题的视角和构造原命题的逆命题视角．这两种方法各有特点：一般来说，让学生在解决问题中发现新命题有各种可能性，方向不明确，有一定的难度，但是往往因为问题具有挑战让学生产生探究的欲望，而且对教师如何引导学生思考也提出了较高的要求．构造原命题的逆命题相当于直接得到一个条件和结论明确的新命题，学生在探究的时候很有方向感．我们要根据学生的实际、教学需要、知识自然发生等视角设计合适的问题，让学生经历定理的发生和提出的过程．
二、“语言转换”，完善定理的表达方式
一般地，学生获得的“猜想”常以文字形式来表述，此时需要将文字形式的命题表述成用图形和符号表示的命题．在文字、符号、图形这三种语言相互转换的过程中，需要先将命题区分为“条件”和“结论”两部分，再结合条件和结论画出图形，写出已知、求证．举例如下：
【案例3】浙教版九年级下册《切线的性质定理》的三种表述方式：
文字语言：切线垂直于经过切点的半径．
图形语言：见图6.
(图6)
符号语言：已知：如图6，直线l是圆O的切线，点A是切点．求证：OA⊥l.
【评析】在几何定理中，文字语言能一般地描述图形的性质或者判定，利用图形语言和符合语言有利于学生清楚地理解一个文字语言表述的命题．结合图形记忆定理，有利于学生较好地掌握定理内容．
在三种语言的转换过程中，特别要理解文字语言所表达的题意，根据题意准确画出图形和图形上的要素．特别地，将文字语言转换为用图形语言和符号语言来表述一个命题时，不要使用特殊的图形来代替定理中所表述的一般图形．如“等腰三角形的两个底角相等”画图时，不要画等腰直角三角形或者等边三角形来表述等腰三角形，以免证明时误将一些不存在或非本质的条件作为已知条件进行证明．在几何入门教学阶段，要帮助学生使用规范的图形和符号语言来表述概念．如在介绍线段的中点、角平分线等概念时一起介绍中点、角平分线的文字、图形、符号语言，循序渐进地学会语言转换．描述几何命题也是培养几何直观的有效途径．
三、“严谨规范”，理清定理的证明过程
证明定理就是引导学生发现条件与结论之间的联系，找出联结条件与结论的一条逻辑链的所有中间环节．可以从条件入手顺推，也可以从结论着手逆推，也可以是顺向思维和逆向思维两者结合起来．在几何入门阶段，还要让学生明确推理必须“步步有据”，用来说明理由的事实必须事先已知，即不能用后面的结论来说明前面的结论成立．
【案例4】浙教版八上“线段垂直平分线性质定理”的证明过程教学片断
已知：如图7，点P是线段AB的垂直平分线上的任意一点．求证：PA=PB.
(图7)
师：如何证明线段PA和PB相等呢？
生：点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PC⊥AB, AC=BC，这样就可以证明 △ACP和 △BCP全等．
师：我们一起来完成书写过程：
∵PC⊥AB, ∴∠AC P= ∠BC P=90°.
在 △ACP和 △BCP中，
∴△AC P≌ △BC P(SAS).
∴PA=PB.
师：证明到此，可以结束了吗？(学生不明白，继续问)是否能用这种方法说明垂直平分线上所有的点都到线段AB的两个端点距离相等呢？
生：(还是没有发现破绽)没有回答
师：如图8，当点P往上移到点P1时，能用全等的方法证明吗？
(图8)
生：可以！移到任何一个点都一样证明！
师：那么，如果继续往下移，移到点P2时，能用同样的方法证明吗？
生：也可以！下方上任何一个点都可以！
生：(迫不及待，恍然大悟地)当点P不在线段AB上都可以，只有当点P在线段AB上时，不能用全等的方法证明！
师：那么，当点P在线段AB上时，怎么证明？
生：点P在AB上时，与点C重合，就有PA=PB.
师：那也就是说，我们不能用这一种方法证明所有的点P都有这样的性质．我们应该怎样补充这个证明过程？
生：分类讨论，补充如下：
当点P在线段AB上时，点P与点C重合，显然PA=PB.
当点P不在线段AB上时，如上方法(略)
师：我们在证明一个问题时，当用一种方法不能涵盖所有情形时，要考虑分类讨论的方法进行证明，分类讨论时要注意分类的标准，注意不重不漏．本题中，我们按点P的位置进行分类：点P在线段AB上；点P在线段AB外．
【评析】本教学片断要证明“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，对学生来说并不难，难的是想到用分类讨论的方法完善证明．让学生经历“为什么要分类？怎样分类？”的过程，是帮助学生学会分类讨论解决问题的重要途径．本课在老师的循循善诱下，学生渐渐感悟到无法用统一的方法证明线段垂直平分线性质，从而需要分类讨论，这对学生分类思想的形成起了较好的渗通作用，对今后的解题也会产生迁移．
在证明的表达时，要注意书写的格式规范，防止出现跳步、叙述烦琐等现象．在几何入门教学阶段，教师要通过示范板书，学生模仿或者作业纠错等手段帮助学生学会书写表达．对于需作辅助线的题，要在证明之前表述清楚，同时它也是证明的已知条件．在学习全等和相似的证明中，注意将对应顶点写在对应位置上，为寻找对应边角提供方便．在证明思路的寻找时要学会梳理常见的关系，因为几何证明的结论主要是位置关系和数量关系，在寻找思路时注意培养学生的几何直观．有些定理的证明方法众多，如勾股定理、中位线定理等等，不一定在课内介绍所有的方法，以学生思路的自然发生为原则，同时鼓励学有潜力的学生在课后作延续探究．
四、“结构变式”，掌握定理的应用方法
几何定理形成后，还要进行及时巩固与运用．一般地，定理的运用分为直接运用与变式运用．直接运用就是所提供的试题的条件完全与定理的条件吻合，学生直接运用定理的条件进行证明或者计算，它的主要目的是加深对定理的理解与记忆．变式运用需要学生根据题目的已知条件进行计算、推理或者构造得到符合定理条件的几何模型，再运用定理解决问题，它对学生的分析问题和解决问题的能力提出了较高的要求．
【案例5】浙教版八年级下册《三角形中位线定理》的应用练习设计
练习1：如图9, △ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为16，则 △DEF的周长是 .
(图9)
练习2：如图10, △ABC中，AD平分∠BAC, BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AC-AB=6，求DE的长．
(图10)
练习3：如图11，四边形ABCD中，点M, N分别是线段AD、BC的中点，比较2M N和A B+CD的大小．
(图11)
【评析】以上3道练习，练习1是直接运用中位线定理解决，练习2需要延长BD交AC于F，根据已知条件证明点D是线段BF的中点，从而得到DE是△BCF的中位线；练习3没有出现三角形，需要连结对角线得到三角形再取对角线中点构造三角形中位线模型，具有一定的难度．
几何定理应用的目的是促进学生对定理的理解和技能的形成，并在定理应用的过程中积累一些解决思考问题的经验．在设置定理巩固与运用的练习时，一般要体现一定的梯度：在直接运用定理时，尽可能从条件入手来设置较为简单的习题；在变式运用定理时，让学生体会如何获得定理的条件，或者如何构造定理的模型．如勾股定理的运用练习，可以是已知两边求第三边，也可以设置一些利用勾股定理建立方程来解决的问题，让学生体会画高线得到直角三角形、在不同的直角三角形中利用相同的线段建立等量关系是常用的手段．通过这些练习，帮助学生积累一些思考和解决问题的经验．
五、“梳理提炼”，归纳定理的学习套路
几何定理阐述的是一个几何图形的要素间的关系或者要素与环境之间的关系，它的学习过程也是一个图形的研究过程．一般地，图形研究的基本路径是定义→性质→判定→应用．在研究图形的性质和判定时，我们往往会得到若干定理，性质阐明了图形要素间的关系或者要素与环境之间的关系，判定阐明了要素间或要素与环境间具备怎样的关系时才可以得到这个图形．所以，我们可以研究要素与要素或者要素与环境之间的关系来得到命题，寻求自然的证明思路，进行规范表达，设计适当的练习进行巩固运用．这要求我们在学完一个图形以后进行及时梳理和归纳，为新图形的学习提供方向引领和方法指导．
【案例6】探究课：《等腰直角三角形的性质与判定》研究课教学过程设计．
教学过程：回顾等腰三角形的研究内容和方法，请学生模仿等腰三角形的研究内容自主探究等腰直角三角形的研究内容和方法．
【评析】学生根据左图规律类似得到右图内容，从图可知，学生基本掌握了定理学习的基本套路：学会提出命题、进行证明、举例应用．
掌握学习套路，有利于学生进行自主学习和研究，这也是帮助学生提高探究能力，提高数学素养的重要途径．需要我们在长期的日常教学中一以贯之地落实和执行．
【思考与讨论】
1．定理教学的一般步骤是什么？请你选择一节课例进行研讨与设计．
2．几何定理教学与代数公式教学有什么联系和区别？请你举例说明．