3.1 傅里叶变换

傅里叶变换是非常重要的数学分析工具，同时也是一种非常重要的信号处理方法，在图像处理领域，它也是一类应用最为广泛的正交变换，它除了许多在工程上具有重要意义的独特性质之外，还具有快速算法（FFT）。傅里叶变换是线性系统分析的有力工具，在数字图像处理与分析中，图像增强、图像恢复、图像编码压缩、图像分析与描述等每一种处理手段和方法都可以应用图像变换方法。例如，在进行图像低通滤波、高通滤波时，可以借助于傅里叶变换将在空间域中解决的问题转换到频率域中解决。图像处理中的变换方法一般都是保持能量守恒的正交变换，而且在理论上，它的基本运算是严格可逆的。借助于傅里叶变换理论及其物理解释，并结合其他技术学科可以解决或解释大多数图像处理问题。

3.1.1 连续傅里叶变换

1. 一维连续傅里叶变换

若f（x）为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为

一般情况下，实函数f（x）经过傅里叶变换之后，变换函数F（u）是一个复函数。傅里叶变换是一个线性积分变换，因此应讨论积分变换本身的存在性问题。傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：

（1）具有有限个间断点。

（2）具有有限个极值点。

（3）绝对可积。

即只要满足上述条件的函数，其傅里叶变换与逆变换一定是存在的。实际应用中，绝大多数函数都是满足狄利克莱可积条件的。任何图像数字化信号或相关图像信号一般都被截为有限延续且有界的信号（函数），因此，常用的图像信号和函数也都存在傅里叶变换。如果已知F（u），则其反变换（傅里叶逆变换）为f（x）。傅里叶逆变换定义为

除了积分函数和积分变量的区分之外，正变换和反变换在形式上的另一个重要区别是幂次方的符号不同。

函数f（t）和F（u）称为傅里叶变换对。即对于任一函数f（x），其傅里叶变换F（u）是唯一的；反之，对于任一函数F（u），其傅里叶逆变换f（x）也是唯一的。

连续函数f（x）的傅里叶变换F（u）是一个复函数，因此F（u）可以表示为

F（u）=R（u）+jI（u）

式中，R（u）和I（u）分别表示F（u）的实部和虚部，F（u）也可以表示为指数形式，即

式中

式中，|F（u）|称为F（u）的模，也称为函数f（x）的傅里叶谱；ϕ（u）为F（u）的相角，称为相位谱。

令

则E（u）称为函数f（x）的能量谱或功率谱。

2. 二维连续傅里叶变换

若f（x，y）为二维连续函数，并满足可积条件，则它的傅里叶变换可定义为

式中，u是对应于x轴的空间频率变量；v是对应于y轴的空间频率变量。

一般情况下，F（u，v）是关于实变量u、v的复值函数。由于一幅图像可用二维函数f（x，y）表示，所以F（u，v）也就是二维图像f（x，y）的傅里叶变换或傅里叶频谱。

如果已知F（u，v），且F（u，v）满足可积条件，则其傅里叶逆变换定义为

这时F（u，v）和f（x，y）称为傅里叶变换对。类似于一维傅里叶变换，二维傅里叶频谱也可以表示为

式中，R（u，v）和I（u，v）分别表示F（u，v）的实部和虚部。F（u，v）也可以表示为指数形式，即

式中

式中，|F（u，v）|称为F（u，v）的模，也称为函数f（x，y）的幅值谱；ϕ（u，v）为F（u，v）的相角，称为相位谱。

令

则E（u，v）称为函数f（x，y）的能量谱或功率谱。

一维连续函数的傅里叶变换的许多结论都可以很容易地根据定义推广到二维傅里叶变换。

例如，对于二维函数

其几何图形如图3-1所示。

根据傅里叶变换的定义，二维图像f（x，y）傅里叶变换为

因此，可得函数f（x，y）的傅里叶频谱为

若Tx与Ty相等，则二维函数f（x，y）的频谱F（u，v）的几何图形可以通过将一维矩形信号的频谱旋转一周实现，或者说，一维矩形信号的频谱是二维频谱F（u，v）的径向剖面图形。

3.1.2 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT）是指对离散序列进行傅里叶变换。由于计算机能处理的数据为数字量或者说离散量，而且二维数字图像已经将连续图像离散化为像素点，因此，连续函数的傅里叶变换在计算机上无法直接使用。因此，为了能在计算机上实现数字图像的傅里叶变换，必须将连续函数离散化。连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，离散函数的傅里叶变换将数学与计算机技术紧密联系在一起，为傅里叶变换这一强有力的数学工具开辟了一条宽阔的实用之道，使傅里叶变换这一数学工具将发挥更大的作用。

1. 一维离散傅里叶变换

前面介绍了一维连续函数f（x）的傅里叶变换，f（x）是在—∞～+∞无限区间上连续，函数值f是连续的，计算机无法直接对连续函数进行运算。因此，必须对连续函数f（x）进行离散化处理。

若以Δx为采样间隔，从—∞～+∞对f（x）进行等间隔采样，则可将连续函数离散化。一般情况下不会对这无穷多个采样值进行同样的关注，若以某个起点x0开始的采样值是所关注的值，则称该起点x0的采样值为离散采样序列的第1个样本值，其余采样点以此类推，（x0+Δx）点的采样值为第2个采样值，（x0+2Δx）点的采样值为第3个采样值……［x0+（N—1）Δx］点处的采样值为第N个采样值。这样就得到了具有N个采样值的离散序列。将N个采样值排列如下：

f（x0），f（x0+Δx），f（x0+2Δx），…，f［x0+（N—1）Δx］

上述序列可以表示为

f（x0+nΔx），n=0，1，2，3，…，N—1

由于x0是一个确定的起点时刻，Δx是采样间隔，这两个量都是常量，上述序列的表达式中只有n是变量，因此，离散采样序列可以直接表示为f（n），即

为了和数字图像的其他表示方法一致，可以将x代替n，即序列可以表示为

由此可得一维离散序列f（x）（x=0，1，2，3，…，N—1）的傅里叶变换定义为

式中

F（u）=F（u0+uΔu），u=0，1，2，3，…，N—1

若已知频率序列F（u）（u=0，1，2，3，…，N—1），则离散序列F（u）的傅里叶逆变换定义为

式中，f（x）和F（u）称为傅里叶变换对；Δx和Δu分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔，两者之间满足

令

离散傅里叶变换可以写为如下形式：

正变换：

逆变换：

根据欧拉公式，傅里叶变换可以写为

由此可知，离散序列f（x）的傅里叶变换F（u）依然是离散序列，而且通常情况下是一个复数序列，与连续傅里叶变换类似，F（u）可以表示为

F（u）=R（u）+jI（u）

式中，序列R（u）和I（u）分别表示离散序列F（u）的实序列和虚序列，序列F（u）还可以表示为指数形式，即

式中

式中，|F（u）|称为F（u）的模，又称为序列f（x）的频谱或傅里叶幅度谱；ϕ（u）称为F（u）的相角，或称为序列f（x）的相位谱。

令

则频谱的平方E（u）称为序列f（x）的能量谱或功率谱。

2. 二维离散傅里叶变换

根据一维离散傅里叶变换的定义和二维连续傅里叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二维离散序列f（x，y）（x=0，1，2，3，…，M—1；y=0，1，2，3，…，N—1），其傅里叶变换为

式中

F（u，v）=F（u0+uΔu，v0+vΔv），u=0，1，2，3，…，M—1；v=0，1，2，3，…，N—1

若已知频率二维序列F（u，v）（u=0，1，2，3，…，M—1；v=0，1，2，3，…，N—1），则二维离散序列F（u，v）的傅里叶逆变换定义为

式中，u是对应于x轴的空间频率分量；v是对应于y轴的空间频率分量。

f（x，y）和F（u，v）称为傅里叶变换对，Δx和Δu分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔，两者之间满足

根据欧拉公式，二维离散序列f（x，y）的傅里叶变换F（u，v）依然是二维离散复数序列，F（u，v）可以表示为

F（u，v）=R（u，v）+jI（u，v）

式中，序列R（u，v）和I（u，v）分别表示离散序列F（u，v）的实序列和虚序列。则同样可得二维序列f（x，y）的频谱（傅里叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别为

3.1.3 二维DFT的性质

根据傅里叶变换的定义，二维傅里叶变换具有与一维傅里叶变换相似的特性。数字图像处理中需要应用很多二维离散傅里叶变换的性质，充分理解和掌握这些性质是非常必要的。二维离散傅里叶变换的主要特点如下。

1. 线性特性

如果二维离散函数f1（x，y）和f2（x，y）的傅里叶变换分别为F1（u，v）和F2（u，v），则存在以下线性性质：

应用线性性质时应注意，k1F1（u，v）+k2F2（u，v）不能超过图像显示器所允许的最大值，否则可能造成图像信息损失。

2. 比例性质

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则存在以下比例性质：

式中，若取

则比例特性表现为

3. 平移性质

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则存在以下平移性质：

对于逆变换，也存在同样的性质：

二维傅里叶变换的移位特性表明，当用乘以f（x，y），然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从（0，0）平移到（u0，v0）的位置。同样，对于傅里叶逆变换，当用乘以F（u，v），并求此乘积的离散傅里叶反变换，可以使空间域x-y平面坐标系的原点从（0，0）平移到（x0，y0）的位置。逆变换的移位特性还表明，图像f（x，y）平移之后为f（x—x0，y—y0），但平移之后的傅里叶幅度谱没有发生任何变化，而仅仅是相位谱产生了一定的相移特性。

二维离散傅里叶变换的移位特性在数字图像处理中具有重要的应用价值。例如，为方便地观察数字图像的傅里叶变换结果，经常需要将空间频率平面坐标系的原点（0，0）移到（M/2，N/2）的位置，此时，可以取值为

根据移位特性，则对应于空间域乘以因子

这时移位特性表现为

式（3-38）表明，将f（x，y）乘以一个简单的因子（—1）x+y，然后对乘积进行傅里叶变换，就可以将空间域频率平面坐标系的原点平移到空间频率域的M×N方阵中心。

例3-1：傅里叶变换的频谱分布特性

对如图3-2（a）所示图像进行傅里叶变换，图3-2（b）为未进行移位的傅里叶变换幅值谱，幅值谱图的四个角为低频点，图3-2（c）为先进行移位再进行傅里叶变换的幅值谱，频谱的中心位于幅值谱图的中心点，图3-2（d）为图3-2（c）幅值谱的三维显示，图3-2（e）为三维幅值谱沿u频率轴剖面。

4. 可分离性

如果M×N二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则存在以下可分离性质：

二维傅里叶变换的可分离特性表明，一个二维傅里叶变换可通过二次一维傅里叶变换来完成，即第一次先对y进行一维傅里叶变换

然后，再在此基础上对x进行一维傅里叶变换

上述过程也可以先对y进行傅里叶变换，然后再对x进行变换。变量分离步骤如图3-3所示。

根据分离性质可以表示为

若已知频率二维序列F（u，v），则二维可分离性对傅里叶逆变换同样适应。

逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅里叶变换：

5. 周期性

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则傅里叶变换及其逆变换存在如下周期特性：

式中，k1、k2均为正整数。

6. 共轭对称性

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则傅里叶变换存在共轭对称性：

且

7. 旋转不变性

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则二维傅里叶变换对之间存在旋转不变性。考虑到极坐标表示二维图形的旋转特性的方便性，为此，将空间域和空间频率域都改为用极坐标表示。在空间域直角坐标与极坐标的变换关系为

这样，图像f（x，y）可以表示为f（r，θ）。同样，空间频率域的F（u，v）采用极坐标可以表示为F（ρ，ϕ）。二维离散傅里叶存在如下旋转特性：

即如果f（x，y）旋转一个角度θ0，则对应的傅里叶变换F（u，v）也同样旋转相同的角度θ0。反之亦然。

例3-2：傅里叶变换的旋转不变性

如图3-4所示是傅里叶变换旋转不变性的示例，图3-4（a）为原始图像，图3-4（b）是对原始图像进行离散傅里叶变换的结果，图3-4（c）为将原始图像旋转45°角，图3-4（d）为旋转之后的傅里叶变换，可以看出图3-4（b）与图3-4（d）之间同样是45°的旋转关系。

8. 微分性质

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则傅里叶变换具有如下微分性质。

9. 平均值性质

如果M×N二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），函数的平均值定义如下：

则二维离散傅里叶变换具有如下性质：

即

也就是说，二维离散函数的平均值等于其傅里叶变换在频率原点处值的1/MN。

10. 卷积定理

如果二维离散函数f（x，y）和h（x，y）的傅里叶变换分别为F（u，v）和H（u，v），则f（x，y）和h（x，y）之间的卷积可以通过其傅里叶变换F（u，v）和H（u，v）进行计算。

反过来，也存在如下关系：

11. 相关定理

如果二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则傅里叶变换对自相关和互相关运算分别具有如下特性：

1）互相关

2）自相关

12. 帕萨瓦（Parseval）定理

如果M×N二维离散函数f（x，y）的傅里叶变换为F（u，v），则傅里叶变换具有如下性质：

帕萨瓦定理表明，进行二维傅里叶变换后函数的能量没有改变。

3.1.4 图像傅里叶变换综合实例

相对于一维信号的傅里叶变换，二维傅里叶变换有一些新特性。为了全面理解和掌握傅里叶变换，现给出一例傅里叶变换的综合实例。

例3-3：傅里叶变换的综合实例

如图3-5（a）所示为原始图像，图3-5（b）所示为傅里叶变换的幅值谱，假定相位为常数0，由幅值谱进行傅里叶逆变换的重建图像如图3-5（c）所示；图3-5（d）是傅里叶变换的相位谱，假定幅值为常数，由相位谱逆变换的重建图像如图3-5（e）所示；由幅值谱和相位谱逆变换的重建图像如图3-5（f）所示。

本实验结果表明，基于相位谱和幅值谱逆变换的图像3-5（f）和原始图像3-5（a）误差不大，假定相位为常数0，由幅值谱进行傅里叶逆变换的重建图像3-5（c）和原始图像完全不一样，而假定幅值为常数，由相位谱逆变换的重建图像3-5（d），虽然与原始图像在灰度值方面有较大的误差，但图像的基本轮廓和边缘却相似。