形形色色的数的问题

算术：数的计算

随着生产力的提高，在生产生活中都需要或多或少复杂的计算，这种计算不再是数数手指就行的了，它们超出了屈指技术的范围。于是，如何进行自然数的运算成为数的运用中的首要问题。

加减法对各古代民族来说都不是困难的事。做加法时，只需把相同的符号合到一起，当同一数量级的数字达到进位的基数后，便放到下一个更高的数量级上，并用一个新的符号来表示，如此进行下去就可以了。而当做减法时，只需从被减数中去掉一些相同的符号，当出现某一数量级上的符号不够用时，就从上一个数量级上取一个基数，并换成低一级的符号，进行上面的过程就可以了。

然而，乘除法运算就困难得多了。实际上，当时大多数民族所施行的乘法和除法与现代所用的乘法和除法，简直很少有相同之处。

想想，我们现在学习做乘法是如何进行的呢？首先要背九九歌诀，也就是通常所说的“小九九”。我们先顺便解释一下为什么乘法口诀叫九九表。我们都知道现在的口诀是从“一一如一”起到“九九八十一”止。而最早的九九歌是倒过来的，从“九九八十一”起到“二二如四”止，后来扩充至“一一如一”。由于开头两个字是“九九”，所以乘法口诀就简称为“九九表”了。再多说一句，利用口诀来加速计算，是中国数学的一大特色。我国是世界上采用小九九最早的国家。西汉一个叫韩婴的人在《韩诗外传》中记载了一个故事：公元前7世纪齐桓公在宫廷设烽火招贤，过了一年没有人应征。东郊有一个人以九九表自荐，齐桓公取笑他：九九表可以作为一技之长吗？这人说：只会九九表这样浅薄技能的人大王如果也能重用，那么有才干的人就会来应聘了。齐桓公就从优接待了他。一个月后，有识之士就从四面八方纷纷投奔齐国。故事说明，最迟到西汉时期，九九表就已在我国十分普及，而懂得九九歌诀根本就不再是什么希罕的事情了。据考查，九九歌在我国上古时期（公元前2500年）就已经产生了。

除法运算，作为乘法运算的逆运算，要稍微复杂一些。但是只要有了“九九表”也并非什么难事。由于我国古代很早就有了“九九表”，因而也很早就掌握了与现代没有多大差别的除法计算的方法。提到这一点，也许你觉得实在没有什么了不起的，但如果回头去看看，其他古代民族是如何进行乘除法运算的，就不但是一件有趣的事，而且通过这种对比，更能清楚认识到我国古代数学所取得的不同寻常的成就。

比如说，计算12×12，埃及人的做法如下：

把其中一个因子逐次倍乘，并且把标有星号的部分乘积相加得出结果。把＊号的两个式子相加，即48+96=144，这就是12×12的结果。这种把运算归结为倍乘和相加两步的别具一格的乘法被称为乘法运算的双倍法。

同样，除法也可归为折中法，就是把一个数“对半分”。这种做除法的算法倒是怪有意思的。让我们通过一个例子来看一下。例如，古埃及人做19除以8的算法如下：

于是解答为2+1/4+1/8。

为了容易搞明白，带括号的一行是我多加上的。即使如此，你有没有看明白他们是如何求解的？实际上，在做上述除法时，应用的是连续对分的办法。左边一列由上到下都依次对分，然后对右边一列数选取部分数，使之合并成19。这样，就得到带星号的三行，并且有：16+2+1=19；于是，与之对应的左边之和就是两数相除后所得的结果。你看，除法对埃及人真是不容易呃。实际上，在他们那里可以找到许许多多的方法。例如，有时要把求数的2/3或者1/10作为过渡运算等等。这就使得除法运算变得非常困难。

古巴比伦人，解决的方式是把除法转化为乘法。道理倒是很简单：因为除以一个整数a就是乘以其倒数1/a，但这却牵涉到分数运算。于是，他们把倒数化成六十进制的“小数”（如果是无限小数就取近似值），他们完全靠倒数表示作计算。这种运算方法也不简单。

在欧洲又如何呢？中世纪算法的实际情形可以通过下面一个我们觉得非常简单的例子体现出来。如果要计算235×4，他们是这样算的。

先把235写成CCXXX Ⅴ，乘上4（Ⅳ）。第一步是将CC, XXX, Ⅴ分别重复地写四遍：

第一行共有8个C，将5个C缩写成D（500），第二行10个X缩写成C（100），第三行4个V缩写成XX（20），于是简写成

再进一步合并，得到结果DCCCCXL（XL=40）

这种运算方法，实际上是把乘法转化成了加法运算。但是，你已经看到了，乘以一位数就这么冗长，如果是多位数乘以多位数，其复杂程度真是不敢想啊！不难想象，用这种记数法做更复杂的运算，会是一项何等惊人和艰巨的任务，将会令人感到何等的头疼了！

为了应付这些困难，古代人还曾设计了计数盘或算盘来帮助计算。如在欧洲早期所设的算术课中，按计算方法就曾分成两个长期争论的派别：算盘派和算法派。算盘派使用罗马人的十二进制，在一个类似棋盘的盘子上放上蓝色的沙土进行写算。算盘上划上30纵行，每三行为一组记上百位、十位与个位的记号，最后留三行给分数用。整个计算很是烦琐，而且一点也不简单。尤其是那时欧洲人还没有商的概念，除法要转化成乘法和加法来代替，称作“补足除法”，繁难之极，很少人能学会。算法派使用未成型的印度数字和阿拉伯的六十进制，在纸上计算。在改变这一纷争状态中起关键作用的就是前面提到的斐波那契。在他的《算盘书》一书中，他不但向欧洲人介绍了印度-阿拉伯十进制系统，还向欧洲介绍了使用阿拉伯数字的计算方法。特别当阿拉伯人的除法被介绍到欧洲后，欧洲人称之为“金除法”，而称原来的除法为“铁除法”。实际上，主要是由于印度-阿拉伯数字在计算方面的优越性才使其在欧洲得以流传。不过，正如前面已提到的，即便如此，算盘派与算法派的争论也不是一下子就能停止的。算法派的胜利与印度-阿拉伯数字地位的最终确立是16世纪的事了。在此之前，欧洲人还要在烦琐的计算中煎熬一段时间。甚至当中世纪的欧洲商业逐渐发达，商人及其子弟迫切需要学习数的计算的时侯，他们的算术水平仍大多限于会加法，而乘法则需要到学校请专家教授。要知道，当时欧洲人精通四则运算就可以算作学者了。有一个关于15世纪一位德国商人的故事，虽然不能证明确有其事，可是它把当时的情形表现得太真切了，我们这里引述一下。

一位商人有一个儿子，他想使儿子学些高深的商业教育。于是他去求教一位大学里的名教授，该把儿子送到哪儿去念书。教授回答说：如果这位青年的数学课程将只限于加和减，他可以进国内的大学学习这些功课；至于乘和除的学问，他说，还是意大利先进，他认为，只有到那里去才能得到那种高等的教育。

现在在小学就可以轻松解决的问题，在当时却需要通过高等教育才能完成。现在一个小孩子能进行的计算，在那时却得用上一位专家才行。这种如此强烈的计算烦琐与简单间的对比，又是如何造成的呢？实际上，原因就在于采用的记数方法的不同。由于古代许多民族未能采用位值制，而是用堆砌数字的方法。死板而又不实用的记数法，实在不足以应付运算的需要。而这种冗长笨拙的记数法在12世纪的欧洲仍然盛行。甚至到16世纪，有的欧洲国家还在使用这种笨拙的记数法呢。因而，我们就不必对欧洲当时在数学上的成就之少而感到特别的惊异了。由于死板的记数法太原始了，使得进步几乎是不可能的。西方人对阿拉伯数字评价特别高，这可能正是与阿拉伯数字曾经在欧洲数学复兴过程中起过关键作用的缘故吧。

由此，我们可以意识到，记数法并非只是一种简明的记法。远比这重要的是：这种数制是否适用于算术运算以及它能否对计算提供什么方便。正是从反差极大的对比中，你或许可以再一次领略到位值制记数法的优越之所在。在这方面，我们可以发现如果不采用现代的位值制记数法，就不可能创造出一种普通人所能应用的算术来。从这种观点看来，位值制原则实在是一件有世界意义的大事。这个原则不但是方法上的根本变革，而且现在我们知道，若是没有它，算术上的任何进步都是不可能的。它所解决的不但是记数问题，还解决了数的计算问题。

正是现代位值制记数法的发明，根除了运算过程中的众多障碍，使算术成为小学生就能学会的东西了。但这并不能成为人类智力增长的证据。正如我们所看到的，事情的真相是：当时遭到的困难，来自所用的记数法，是笨拙的记数法不易采纳简单清晰的法则，这才导致了算术不能为大众所掌握。

数论

自然数一出现，人们就面对着两种性质截然不同的问题。一类是上面提到的数的应用即计算问题，也就是运用加减乘除运算得出结果，解决实际问题；另一类是数的理论问题，也就是研究数的性质及数与数之间的特殊关系。对前者，由于与实际问题紧密相关，受到多数古代民族的重视并获得了发展。但对后者的研究，却主要是古希腊人的贡献，他们脱离数量的个别性质去考查数的一般规律，由研究个别的抽象的数过渡到研究任何可能的数，从而产生出一个独立的、称为数论的分支。

数论萌芽

古希腊数论的雏型，最早是在毕达哥拉斯学派的工作中奠定的。这一学派提出了许多独特而有趣的数论问题。先让我们了解一下他们把数与图形的关系联结在一起的一种特殊的方式。他们把单位1想象为一个点，不同的数看作不同数目的点。而由点的各种不同的排列可以组合成各种图形，各种不同的图形就与相应的数学相对应。这样一来，由数可以想到它所对应的图形，由图形也可以找到它们对应的数，这种数形联系的原始形式成为毕达哥拉斯学派进行推理的基本出发点。通过用图形表示数，他们最早把数和形这两个数学最原始的对象联系在一起。这实际上也是数形结合思想的萌芽。

比如说，他们研究了如下的图形数：

点数1,3,6,10……叫做三角数。

点数1,4,9,16, ……叫做平方数。

他们得到三角数的通项，又发现三角数是包括奇数与偶数在内的所有相继自然数的和，于是他们推出了：。

他们清楚平方数的通项，又发现平方数都等于相继奇数的和，于是他们推出：

1+3+5+…+（2n-1）=n2。

此外，他们还排出并研究过五角数，六角数等。

这类可以表示成简单而规则图形的有趣的数，也引起了后人浓厚的研究兴趣。这类图形数，特别是三角数，在文艺复兴后期的数的研究中是十分普遍的。后来人们还提出许多与这类数有关的重要数论猜想。比如：任何正整数均可以表为至多四个正方形数（即平方数）之和。这就是四平方和问题。它是加法数论中最古老的猜想，到1770年由拉格朗日完全证明。后来近代数论之父费马又提出费马小猜想。即：任何正整数都可以表为n个n角形数之和。除了四平方和定理外，先是高斯在1796年证明每个正整数都可以表示为三个三角形数之和，然后柯西在1815年证明了一般情形。

除图形数外，毕达哥拉斯学派还对自然数的可除性问题进行过深入的研究。通过研究，他们把自然数划分为若干类，如我们并不陌生的奇数与偶数的划分；素数、合数的划分。此外，他们还做出过更为奇特的划分，并从中发现了一些有趣的数，如完全数与亲和数。鉴于它们的趣味性，下面让我们停下我们的脚步去看一下吧。

完全数

毕达哥拉斯学派在研究中发现有些数比其所有真因子之和要大，如4这个数的真因子有1、2，其和是3。他们把这样的数叫做盈数。而另有一些数比其所有真因子之和要小。如12这个数的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。他们称这样的数为亏数。于是，一个非常自然的疑问是：有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？既有没有恰恰等于它自己的所有真因子之和的数呢？有。这样的数就叫做完全数。最小的一个完全数是6，下一个是28，这两个完全数早在公元前6世纪的毕达哥拉斯就已知道了。并且他曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”

完全数诞生后，以其特有的魅力吸引着各式各样的人们。

某些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。

而圣·奥古斯丁说：

“6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有创造世界这种事，6仍旧不失其为完全数。”

对于更多的数学业余爱好者来说，他们的兴趣在于像淘金一样没完没了地寻找出更多的完全数。甚至一些数学家也加入了这一行列。

不过，完全数在自然数的海洋中是非常稀少的。正如后来的笛卡尔曾生动比喻地那样“完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”

接下去的两个完全数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：

“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。”

第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到15世纪才由一位无名氏给出。事实上，从完全数诞生后，这一寻找完全数的努力从来没有停止过。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。至今已得出的最大完全数是：257885161（257885161 -1）。这是一个真正大的不可思议的数。不过，这并不意味着人们的好奇心能够至此为止。寻找更大完全数仍是很多人奋斗的目标呢。

然而，对于数学家来说，有关完全数的性质是更为重要的问题。

公元前300年，欧几里得在《几何原本》中给出并证明了一个漂亮的结论：如果2n -1是一个素数，那么自然数2n-1（2n -1）一定是完全数。

两千多年后，欧拉证明了欧几里得结论的逆命题是正确的，即：每一个偶完全数都具有欧几里得给出的形式。即如果一个数是偶完全数，则它一定可以表示成2n-1（2n -1），其中n与2n -1都是素数。

于是，经过欧几里得与欧拉合手，偶完全数之谜已经被完全解开了。

不过，奇怪的是，时至今日，人们一直没有发现奇完全数的存在。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。于是是否存在奇完全数就成为数论中的一大难题。

亲和数

前面我们已经提到毕达哥拉斯学派有一个著名论断：“万物皆数”。意思是说一切都可以归结为数。

有一次，一位学者诘问毕达哥拉斯：“难道在我与我的朋友之间也存在着数的关系不成？”

毕达哥拉斯回答说：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密”。

望着一头雾水、摸不着头脑的学者，毕达哥拉斯提示道：“你算一下220的所有真因子之和吧”。

学者运算了一下：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。算完结果，学者想：这又有什么呢？

看到学者还不能完全明白其中的奥秘，毕达哥拉斯又笑着说：“那么你再算一下284的所有真因子之和吧！”

学者继续进行运算：1+2+4+71+142，咦，怎么会恰好等于220呢？不会这么巧吧？学者略带怀疑地又重新运算了一遍。当发现自己运算并没有出错时，学者惊讶了。原来在220与284两个数之间竟然存在着如此奇妙的关系：220的所有真因子之和恰好等于284；反过来，284的所有真因子之和又恰好等于220。220和284之间“你中有我，我中有你”的关系多像一对形影不离、心心相印的好朋友啊！学者被毕达哥拉斯的发现与妙喻折服了。

这就是亲和数发现的历史。220与284是人类发现的第一对“亲和数”。人们惊叹于这两个数之间亲如手足般的微妙关系，从而把它们作为纯洁友谊的象征。正如毕达哥拉斯成员所宣称的：谁是我的朋友，这就是像数220和284一样。两个要好的朋友会分别在随身佩带的护身符上写上这两个数，人们认为这会使友谊越来越深厚。西方还曾有过一种习俗，就是在一只水果上刻下220这个数，在另一个水果上刻下284，然后将第一只吃下，将第二只送给所爱的人吃。人们认为这样可以促进爱情呢！

自从第一对亲和数发现后，人们怀着极大的兴趣，像大海探宝一样，继续寻找着亲和数。两千余年过去了，直到14世纪，阿拉伯数学家班纳才发现了另一对亲和数：17296和18416，不过他的成果并没有获得广泛传播。三百多年后，1636年法国数学家费马重新找到了这一对亲和数。仅过了两年，数学家笛卡尔又找出了一对亲和数：9363584和9437056。一百多年后，1747年至1750年，瑞士数学大师欧拉一举找到了60对亲和数，震动了数学家界。然而颇具戏剧性的是，第二对亲和数1184和1210，竟然逃过了众多数学家们的火眼金睛，被一位年仅16岁的意大利男孩帕格尼尼于1866年所发现！到2007年，人们找到的亲和数已有大约12000000对，亲和数的家族真是“人丁旺盛”啊！但是人们对亲和数的性质却知之甚少。比如人们发现当亲和数愈来愈大时，这对数之比愈来愈接近于1。还可发现，两个数可以都是偶数，也可以都是奇数，却没有发现一个是奇数，而另一个是偶数的情形。但对这些都还没有得到证明或者举出什么反例。

此外，20世纪，数学家们在亲和数的启发下，还发现了多环亲和数链：链中每一个数的真因子之和等于下一个数，而最后一个数的真因子之和等于第一个数。这就是关系更加微妙的高阶亲和数：联谊数。例如，三元数组（1945330728960;2324196638720;2615631953920）中，第一个数的真因子加起来等于第二个数，第二个数的真因子加起来等于第三个数，而第三个数的真因子加起来又恰好等于第一个数。瞧它们的亲密劲，像不像桃园三结义的刘关张？有位数学家甚至发现了一个以14316开头的庞大的28环亲和数链！这样的友谊大家庭够不够酷？

完全数或亲和数固然很有趣，并且至今仍吸引着人们的注意。但它们毕竟太特殊了些。除此之外，古希腊人还深入研究了数论中乃至数学中一类更为重要、绝对不可忽视的数：素数。关于素数的问题很多，如素数有多少？素数是如何分布的？如何判定一个数是否素数？素数的表示与刻画等等。至今尚未解决的一些著名问题，如哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想等都与素数相关。

公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中在把自然数划分为：1、素数与合数后，证明了：每个合数都可以唯一地表成素数的乘积。这一结论刻画了自然数的基本规律，被称为算术基本定理。此外，书中还研究了素数的个数问题，对素数有无穷多，欧几里得给出了一个美妙证明。古希腊人在数论方面的成果除上述提到的以外，还有一些，这里不再例举了。正是由于古希腊人所做出的这众多的杰出成果，使得他们成为数论这门分支的当之无愧的奠基者。

当然，数论作为最古老的数学分支之一，除古希腊之外其他很多民族包括我国在内很早也有了部分数论知识。如对勾股数的研究。这属于不定方程问题，是数论中的一大课题。此外，我国《孙子算经》中给出的“物不知数”问题也是这类问题中的一个著名例子。到公元13世纪，我国数学家秦九韶系统地解决了这一问题，是古代世界数论研究的一大杰出成果。作为我国对世界数学的贡献，他的这一成果至今仍被称为“中国剩余定理”。但相比而言，古希腊人对数论所做出的那些独特研究尤其是关于素数的探讨在其他民族都没有受到应有的重视。

近代与现代数论

上面已提到，数论这门主要研究整数性质的数学分支，早在遥远的古代就已经埋下了种子。后来的数学家如欧几里得、丢番图等对其发展又做出过一些贡献。但直到17世纪，伟大的业余数学家费马出现后，数论的研究才进入了一个新的时期。费马作为业余数学家之王，在数学的多个领域内都做出过杰出的贡献，但他最重要的成果却是发展了数论。可以说，近代数论是从费马真正开始的，是他提出了某些解决数论问题的方法，并提出了众多的数论问题，包括举世闻名的费马大定理，从而奠定了近代数论的基础，因而他被当之无愧地称之为“近代数论之父”。其后伟大的数学家欧拉、高斯等都被吸引到这一美妙的领域中。一些新的数论问题被提出来了。于是有了新的研究方向，并产生出代数数论、几何数论、超越数论等不同的数论分支。与此同时，为了有效地解决数论问题，一些新的方法被创造出来并被广泛使用。这就产生了解析数论这一新的分支，而以前通过算术推导方法来论证数论命题的分支就被称为初等数论了。

经过众多伟大数学家的培植，数论慢慢成为数学园地里最美丽的一枝花朵。对于众多的数学家来说，它如同“数学王子”高斯所说的是数学王国的“数学皇后”。这一整个数学中最美的分支，包含的深奥东西，让最出色的数学家为之流连忘返。长期以来，它受到专家与门外汉的格外青睐与偏爱，数不尽的人为它倾注了精力。

究竟是什么原因，使得数论成为“数学的皇后”，又是什么魅力能引无数极富才智的人为之如醉如痴呢？

首先，这一迷人的数学领域产生了许多富于刺激性的难题，丰富而辉煌，堪称数学家的金矿。正如，希尔伯特所说：“只要一个科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”数论就是一个包含着大量尚未解决的问题的数学领域，向一代一代的数学家提出了挑战。高斯曾把数论描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的，能引起人们兴趣的真理”。

其次，它的一个真正诱惑是这些问题简单得甚至连小学生都能看懂。然而，却使一代又一代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力。如著名的费马大定理就曾困惑了世间智者360余年，到1995年才最终获得解决。而这类至今尚未解决的问题在数论中比比皆是，如哥德巴赫猜想、奇完全数存在性、孪生素数对问题等等。问题表述的简单与解答的极端复杂，作为这一数学分支看似反常的特点吸引着无数的专家与业余爱好者。

再次，人们为了解决这些问题使用了很多极其复杂的手段。在现今的数论进展中，代数、实与复分析、几何，甚至概率论的方法，都作出了至关重要的贡献。这些不同数学方法的深刻的相互影响，使人们清楚地看到了一个惊人的事实，从而也让我们几乎不可避免地会产生一种玄秘的感觉。有些结论的陈述，仅仅牵涉到一些关于自然数的最简单的概念如素数，然而要证明它们，却非得用到分析、代数几何之类的复杂工具不可，尽管光看假设条件或结论是怎么也想不到会要这样大动干戈的。哥德巴赫猜想就是一个极好的例证。国内著名的数论专家曾形容那些试图仅用初等数学或简单的微积分知识就能解决这一猜想的努力是“蹬着自行车上月球”“好比拿着锯、刨子造一架航天飞机”，因为他们的工具太原始了，于是再多的努力都是白费。而要解决这一猜想，需要全新的观念与更先进的工具才行。话说回来，人们的确很难解释，人的认知机制为什么非要这么七弯八转兜上一个大圈子，才能在一个假设条件和另一个看上去跟它那么相近的结论之间建立起联系来。不过，这种定理陈述的简单性，所用方法的深奥性，却以极其明显的形式体现了数学内部深刻的和谐一致性，从而使数论深深地吸引了世世代代的数学家。希尔伯特把数论看成“一幢出奇地美丽而又和谐的大厦”“它有简单的基本定律，它有直接了当的概念，它有纯正的真理”。

还有一部分数学家是因为它的脱离实用的“纯正洁白”而着迷。数论的研究课题并不马上招致对科学的应用。如同1896年鲍尔所说：“这门学科本身是一个特别引人、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义。”确实，如果按通常分法把数学分为“纯粹”数学与“应用”数学的话，数论或许是数学中所能达到的最纯粹的了。费马、欧拉、拉格朗日、勒让达、高斯等都是因为数论内在的趣味及其特有的美而研究人类知识的这一领域的，他们确实毫不在乎他们那些优美的定理是否会有什么“有用的”应用。高斯认为皇后不愿弄脏她那洁白的双手。而英国数论专家哈代曾为自己所研究的数论问题无用而干杯。尽管数论居于数学中最美妙的思想之列，但在哈代以前却从未被用于任何非常实际的目的。不过，这一现象现在已被改变。如大素数分解问题已与密码破译紧密联系在一起了。在简单介绍了数论具有的极为独特的风格与包罗万象、深浅不一的内容后，你大约能够明白为何它能高居“数学皇后”宝座的原因了吧。

数的神秘意义与数字的迷信

通过前面的介绍我们已经了解到，人类是在经过了极其漫长的历程后才获得了关于数的概念的。1、2、3……这些具体的数字作为一种抽象化的概念，它们的产生是人类文明史上的一个创举。在它产生后人们慢慢地发现它具有无比的威力。人们意识到任何事物都与数有着某种联系，世界上的一切事物都逃不出数的限定。于是在中国有了“万物莫逃乎数”的说法，在西方产生了古希腊毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观念。这反映了人们对“一切事物都有着量的规定性”这一点的正确认识，也反映了人们对抽象的数概念认识的加深。然而，与此同时，数，这一人类的发现物，渐渐地具有了君临人类之上的地位。在古人的眼中，数成了一个“先天地而已存，后天地而已立”的自在之物，人们对于它的掌握是一个领悟的过程，而不是发明创造的过程。在中国相传远古时代，圣人伏羲氏在推演八卦的时候，产生了数的概念，后来经过黄帝、尧、舜等先帝的再认识，才使之达到完备。这正是通过神化的方法强调数的自在性。就这样，数慢慢地成为人类心目中的神。人们开始相信，数除了描述一个特定的量之外，还具有运气或其他的力量。于是，数的神秘化倾向产生了。事实上，数字作为思维和符号结合的产物，从它被抽象出来的那一天开始就被神秘的气氛所环绕了。

在我国，数字的神秘化首先在《易经》中得到了集中体现。在这本书中，一到十被分为奇数和偶数，奇数象征天和阳性事物，偶数象征地及阴性事物。在所有的数字中，3为天数，是天的象征，4为地数，是地的象征，而两个3的乘积9是天数的极数，其象征意义在中国历时弥久，影响极大。两个4的和8是地数的极数，而9×8=72，这一天地极数的乘积72，成为我国古代人心目中最崇拜的与最神秘莫测的数。《西游记》中为了表明孙悟空的神通广大，也说他会“七十二种变化”呢。象征的使用使得本来并不神秘的数有了神秘的意义。另一方面，数字的类比、附会、渗透在中国的数字文化中亦占有相当大的比重，并使数字的神秘性得以传播。举一个典型的例子，我们常说73、84是“坎儿年”，是老人的两道坎。而这无非是通过两大古圣人孔子死于73，孟子死于84类比而来的。在古代，做出这种类比与附会尚情有可源。令人感到困惑与不解的是，这种现象竟然在现在仍能大行其道。如关于毛主席与数字“8341”的所谓联系就在社会上被广泛传播着。这就真令人对科普现状油然而生可悲与可叹之感慨了。

在西方，数字的神秘性在公元前6世纪的毕达哥拉斯学派的哲学中得到最高的表现。毕达哥拉斯学派认为数本身就是世界的秩序，数是神秘的。他们认为偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性的、属于地上的；而奇数则是不可分解的、阳性的、属于天上的。每一个数目都与人的某种性质相合。例如：1表示理性，因为理性是不变的；2是第一个偶数，而偶数是阴性的，因此2代表变化多端的见解；3是第一个阳性的数，它是1和2构成的，代表单一和多变所构成的调和；4代表公正，因为它是第一个平方数；5表示婚姻，因为它是第一个阴性数2和第一个阳性数3的结合（一不作奇数算，而是一切数的源）。

实际上，不难发现，他们也是借助了象征的方式。将某数具有的某特征向外引申，从而使此数具有某种象征意义。上面我们已提到的，他们用亲和数象征友谊，完全数象征美好也都是用了同样的方式。

数具有神秘意义的观念，在古代各民族都产生过。与此同时，对数字的崇拜也相伴而生了。有的数被人崇拜，有的数被人忌讳，有的数人们对它偏爱有加，而有的数人们对它厌恶之极。人们对不同数的不同态度正是由于不同的数被赋予不同的意义的缘故。或者反过来说，由于不同的数被赋予了不同的意义，因此人们对不同的数就有了不同的态度。事实上，数的神秘化与数的崇拜是相辅相成的。如古巴比伦人，当他们崇拜三个天体（太阳、月亮、金星）时，数3就被神秘化并被赋以“神秘的”意义，被看作是“幸福的”。晚一些时候，当他们崇拜七个天体时，数7就被赋以“幸福的”这一神秘意义了。

事实上，我们还可以举出许多人们对数喜爱或厌恶的例子。

在西方，3为人们所偏爱。早期基督教徒曾把三角形奉为永恒的象征。而5则不讨人喜欢。星期五这个日子被视为凶日，据说，夏娃偷吃禁果，亚当、夏娃被逐出伊甸园，该隐杀害胞弟，耶稣被钉死，都发生在星期五。

7是一个非常神奇的数字，一周有七天，日、月与金、木、水、火、土五星叫做七曜。在《圣经》中，特别是在旧约中，数7起着特殊的作用。基督教的神学把七承继下来，例如：七种死罪、七德、上帝的七灵等等。在中国把喜、怒、忧、思、悲、恐、惊称为七情。更有阴历七月七鹊桥相会的故事。

在古老的德国民间传说中，数3与数9经常重复出现；在信奉印度教的印度人，在其神话中特别偏爱数10。

究竟哪一个数会受到特别的偏爱呢？实际上，这要随地区的不同而不同。有一些数如：3、7、10、40和60等似乎曾特别受宠，不过，几乎其他每一个数在某一地方或某一时期也都被赋以神秘的意义而受宠或被冷落。在另一方面，对于同一数字，不同的民族却有着往往不同的甚至截然相反的态度。在某一地区受偏爱的数，在其他地区就可能避之犹恐不及。在西方特受忌讳的数13，对于我们来说就不是什么大不了的数。我们中国人忌讳的数4，在西方就不觉得有什么。再如在我国受人们喜爱的666，我们马上将要提到在西方却是一个可怕的数。在这种不同文化对不同数的态度的对照中，你应该能够清楚地意识到对某些数的崇拜或避讳是多么荒诞的事情了。

不过，更为荒诞的却是由数的崇拜、数的神秘化发展到后来所出现的数的迷信。

在中国，“万物莫逃乎数”的表述后来转化为一种神秘化的“定数”观念，由此产生的典型的宿命论思想，正是以定数的形式表现出来的。定数的产生又被看作是天帝或神灵的安排。人类的吉凶祸福都在神的控制之下，神用数来表达它的意志。正所谓“神虽非数，因数而显”。所以数有了神圣的性质，人们可以通过它透视神的意志。“天数已定”、“命数难逃”之类的俗语，所反映的正是这一点。由此在我国出现了古老而神秘的数术，它是古人运用一些数理机制推断人事吉凶、解说自然现象、测定国运兴衰等活动的思想观念和方法，它对我国古代政治、军事、文化、科学技术曾经产生了广泛的影响。至于算命先生通过占卜算卦而预知个人的生死、富贵等等，则是数术之末技，是更等而下之的把戏了。

在古代西方，人们同样认为数本身有神秘特性并可用之于预卜未来。前面我们已经提到过，许多西方民族曾用字母来表示数。这样，一个字母就兼有了双层意义：一是音，一是数。希伯莱的的测字术就是根据这一事实而来的。他们认为一字中各字母的数的总和就是这个字的数。这样由字母组成的每个字都具有一个数值，从字数术的观点来看，如果两个字的字母值之和相同，那就表明这两个字所代表的两种概念、两个人或两件事之间有重要的联系。于是，在西方有了最荒诞不经却又普遍流行的是所谓字数术。在各种希腊文集中，可以找到许多字数术的例子。基督教的神学也特别青睐于用字数术来解释过去及预测未来。如《圣经·新约》的《启示录》第13章第11节、第18节中记录着：“我看见另有一个兽从地中上来，有两角如同羊羔，说话好像龙。”“在这里有智慧。凡有聪明的，可以算计兽的数目，因为这是人的数目，它的数目是六百六十六。”于是，666作为兽数具有了特别的意义。对于这个隐语，基督学者曾作过多种猜测和解释。一些考证家根据字数术，发现当时的罗马帝国皇帝尼禄名字的各字母，按希伯莱字母顺序的数码相加的总和，恰是666。所以认为兽数666是隐射对基督教徒进行第一次大迫害的尼禄。托尔斯泰在《战争与和平》的第三卷第一部第19章中告诉人们，怎样从拿破仑皇帝的法文姓氏推导出666的妙法。而如果将字母a代之以100, b代之以101, ……依此类推，那就能从希特勒（Hitler）这个名字中妙不可言地得出野兽数。H:107; I:108;T:119; L:111; E:104; R:117。它们的和是666。

对此，你有没有觉得：“呃，还真神呢！你看希特勒、拿破仑都恰好与兽数对应，还不神吗？”

让我们再看一个例证。

16世纪有位数学家为了指摘教皇利奥十世的品性也玩过这样的把戏。他把“十”拼成DECIM US（拉丁文“第十”），按罗马人习惯把U改成V，再从LEO DECIM VS中挑出为罗马数字的字母：L, D, C, I, M, V，作为额外增添而从Leo X中加进X，最后计算出该名字的数值：

L（50）+D（500）+C（100）+I（1）+M（1000）+V（5）+X（10）=1666

多了整整1000，怎么办？他灵机一动，指出数值为1000的M一定是代表mysterium（神秘），除去“神秘”正好得出666。

对此，你又有何评价呢？是觉得更神呢？还是由此领悟到这不过是人们有意的拼凑呢？更何况，这个在西方国家是被人重视的“洋迷信”，人们对之畏之如虎的666，在我国却表示大顺呢。可见，一个数是吉还是凶，要取决于它所处的社会氛围。数字的吉凶性是飘忽不定的。仅凭这一点，就可以证实数字迷信的不可信了。

在人们广泛使用数字的时候，一些观念又反作用于数字，使它们有了许多附加的文化内涵。前面已提到的老子《道德经》中说：道生一、一生二、二生三，三生万物。这就是把数字附加上文化内涵的典型例证。这一传统在后来又进一步得到引申。像《说文》中对一些具体的数字定义道：

一，惟初太始，道立于一，造分天地，化成万物。

二，地之数也。

三，天、地、人之道也。

四，阴数也。

五，五行也。

六，《易》之数也。

……

其中对“一”的定义只是老子说法的翻版。而老子有这种说法，正如前面已提到的，很可能是“一”在自然数中可以作为生成元的重要特性启发了他。而对“三”、“五”、“六”的定义，显得更加奇特。仅仅因为“天、地、人”有三种事物构成，于是就成了对数字“三”的定义。本来人们是从具体的各种代表集合中抽象出了数字“三”，即是说上述代表集合不过是数字“三”的一个例子而已。但现在一个具体的例子竟然又反过来，成为数字“三”的定义。这实在可以说是抽象的概念向具体的一种回归了。但为什么不选取“刘、关、张”或“香蕉、桔子、苹果”来作为数字“三”的定义呢？它们不也恰好有三种事物构成吗？原因在于：由于“象征”是数字神秘化最普遍、影响最深的一种表现，而“天、地、人”这样的代表集合显然有着更大的涵盖性与象征性。依照这一道理，如果把数字“二”定义为“阴、阳之数”恐怕也是非常合适的吧。由此，我们可以明白，这实在可以看作是一种数字文化，这种对数的定义方式只能在数字文化的角度才讲得通。它与数学本身已经没有什么联系了。

从开始接触数，到认识到数的抽象性，到觉得数很神秘，进而转化为数的崇拜、数的迷信，同时形成一种数字文化。这一过程在古代各个民族中都出现了。如果我们从古人角度看问题，就可以明白由数字的神秘性产生的数字文化也好，数字迷信也好，在古代都有其产生的必然性，是一种非常自然的过程，也是情有可原的。但如果在现代科技发展一日千里的时候，我们仍然把自己的数字文化当作一种智慧作为自炫的资本，或以数字迷信自欺或欺人，就实在是太可怜与可悲了。