数的起源

人类究竟在何时和怎样才产生出数的概念的？如果要讲述这个关于数的起源的故事，那么“在很久很久很久以前……”这样的开头对于我们要讲的故事来说是再恰当不过的了。数的产生，是从离开我们极其遥远的人类生存时期开始的。那个时期未曾留下任何书面的文献，因为数的概念在人类发明文字——这一记录人类自己思想的符号——之前很早就产生了。数学史家一般都从以下几个方面考察数学的起源和早期发展：

1．考古工作中挖掘的古代人类的遗物，如劳动工具，建筑，生活用具等；

2．现存的原始部落的日常生活、语言；

3．各民族语言发展的历史和它们之间的比较研究。

借助于此，对数的概念的起源，我们就能形成一个大致的轮廓了。对于大多数读者来说，了解这样一个大概也就可以了。下面我们做的就是去了解人类是怎样逐渐一步步地获得了数的最初知识的。

数觉

人类之所以能够产生数的观念，首先，是由于人类即使在最古老的年代，也已经有了某种对数的朦胧意识。比如说人能够区分有与没有的差别；此外当在一个小的集合中，增添或者去掉东西时，人能够觉察到其中有所变化，会意识到是“多了”或是“少了”。这种觉察数之有无与数之多少的能力，被数学史家称为“数觉”。可以相信，早在进化的蒙昧时期，人类就已经具有这种能力了。

其实，有实例表明若干种动物看来也具有一种与人类相类似的原始数觉。如，在有些鸟类的鸟巢中若是有四个蛋，那么你可以放心地拿去一个，鸟没有觉察；但是如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了。鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三。

下面这一则有趣的故事能够更好地说明鸟所具有的这种本领。

有个田主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑巢的乌鸦。他试了好多次想惊动它，始终没有成功：因为人一走近，乌鸦就离开了巢，飞走了。它会栖在远远的树上守着，等到人离开了望楼，才肯飞回巢去。有一天，这田主定下了一个计策：两个人走进望楼，一个留着，一个出来走开了。但是乌鸦并不上当：它老等着，直到留在望楼里的人也走了出来才作罢。这个试验一连作了几天：两个人，三个人，四个人，都没有成功。末了，用了五个人：也像以前一样，先都进了望楼，留一个在里面，其他四人走出来，离开了。这次乌鸦却数不清了；它不能辨别四与五，马上就飞回巢里去了。

至于这只乌鸦的结局如何可就不言而喻了。

现在我们所要说的是，我们的远祖是具有这种数觉的智力水平的。不过辨别数目时，如果仅靠数觉，其范围是十分有限的。一个论据是：许多语言几乎都带有这种早期局限性的痕迹。如英文的thrice和拉丁文的ter，都同样的有双重意义：三倍和许多。而我们古汉语中的“三”不也常泛指多吗？其实，我们现代人在数觉方面也不过如此，并无明显进步。有精密的实验结果证实：普通文明人的直接视觉数觉，很少能超过四，至于触觉数觉，范围甚至还要小些。

说到这里，你或许已开始觉得这种数觉有些幼稚的可笑，而具有这种数觉的能力也实在不是一件什么大不了的事情。确实，这在现代人看来，是那么的微不足道。可是，这毕竟是一个好的起点。在没有数的概念之前，人的这种朦朦胧胧的数觉或数的意识，是认识的第一步。正是这种比鸟类高明不了多少的原始数觉，奠定了人类产生数这一概念的基础。如果没有这种基本的数觉，会怎么样呢？答案很简单：如果没有这种简单的数觉，那么人类就根本不可能产生出后来的数的概念。当然了，如果人类只有这种数觉的话，在对数的概念的认识上，也就不会比鸟类有什么进步了。

让我们现代人感到庆幸的是，在一连串内在的与外在的特殊条件影响下，人类在数觉之外，学会了另一种技巧，这种技巧注定了使他们未来的生活受到巨大的影响。这技巧就是计数，并且，正是由于有了计数，我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就。下面我们所要叙述的就是这种技巧的形成。

迈出第一步：计数

在了解人类迈出的第一步之前，先让我们简单看一下当时我们的远祖已经具备了哪些有利的条件。

先看内在条件。前面我们已经提到过人类的数觉能力，这当然是人产生数概念的第一个基本条件。另外，这种时候人类已经能够直立行走。可不要小瞧这一点，后面我们将会看到在数的概念形成中，直立行走，从而解放出双手是人类能够产生出数的概念的一个重要方面。

在外在的条件方面。人类社会正处于原始社会。在早期生产力非常低下。人们每天外出狩猎以维持生存。很可能经常空手而回不足果腹。但随着生产力的提高，带回的食物可能会多少有了点富余，也就慢慢地出现了剩余物。

在生活中这种数与量的变化的影响下，人类借助于原始的数觉，开始逐渐形成“无”与“有”的区别。这是人类最早形成的数学概念。当“有”经常出现时，人类认识到不同数量的差别，于是有了“多”与“少”的数学概念。在认识“多”与“少”的差别的过程中，人类迈出的第一步大概是知道了“一”和“多”的不同。从多中，首先分出“一”，很可能是经过了非常困难的阶段才作出的。而这一过程究竟发生在人类何种阶段，恐怕也不是一个容易回答的问题了。曾有人把这种分出解释为，人通常总用一只手拿一件物品，这便把一从多中分了出来。事情是否真得如此不是我们这本书中所要阐述的了。我们需要了解的是任何概念的产生都有赖于在朦胧中划一条界限。没有1的概念就没有数的概念，把1从混沌一片中解放出来，这是数的认识的开端。不过，这时除1之外的那些数还是一个模糊的“多”，或者可看成是一个简单的否定——非一。也就是说，在计数的开端首先建立了一和不确定的多（或非一）这两个概念。大概又经过了很长的时间，原始民族才又从多中区别出2、3等不同的数。对于很多原始民族来说，对“多”所做出的区分到很小的数就停止了，他们从所谓的“多”中区分中的无非是前面几个数而已，大概多于三个的时候就不算多吧。如南非布须曼族，只知1、2、多；澳大利亚土人有的可以数到4；再好些的到5、6。剩下的就进入不加区分的混沌一片了。实际上，许多原始民族用于数的单独的名称只有1和2，间或也有3，超过这几个数时，便说“许多，很多，太多”。

但是，对于另外一些民族来说，随着其生产力水平的提高，较大的数目在生产、生活中越来越多的出现。在这种背景下，这些民族开始形成一种新的技巧：计数。

一种计量数多少的办法

事实上，人们在想出数之前很久就已经以艰难而辛苦的方法进行着计数了。因为说来可能有些奇怪，人们根本不用数字也能够计数。许多古代的计数趣闻正可以反映出这一点。

在大约公元前9至前8世纪，著名的《荷马史诗》中记载着一个故事：俄底修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯并离开了库克罗普斯国，不幸的盲目巨人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就在一堆石子中捡起一粒石子。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一粒石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的羊全返回了山洞。

在人类的计数史上，“巨人数羊”现在看来是趣闻的故事，在当时，却是人类智慧的结晶呢。这里所用的办法被称为一一对应的方法。其方法是将一个集合中的每一事物和另一个集合中的每一事物相对应，一个对一个，直到某一集合或两个集合中的事物同时配完为止。通过这种方法能够让我们甚至在不知道事物的具体数目的情况下，明了两类事物的多少关系。如果某一集合的事物先配完，那么说明它的数目少于另一个集合的数目；如果两个集合的事物同时配完，那么说明两个集合有着相同的元素。

其实，这种办法在现在我们也在经常使用着。

比如，设想我们现在走进一个教室。在我们面前有两个集合：一个是座位，一个是人。我们不用计数，就可以知道这两个集合是否相等，如果不相等，哪个多些。因为要是所有的座位都坐满了人，同时没有人站着，我们不用计数就知道两个集合相等。要是座位已经满了，而仍有人站着，我们不用计数就知道人多而座位少了。

古代人最早大概就是采用这种方法来计数的。当他们猎取到比如说一些野兔，他们就近取材，发现这些野兔的数目恰好可以与一个人的耳朵一一对应起来。于是，他们就可以用“有像我的耳朵那么多”这样的话来说明野兔的数目。如果下一次猎取的野猪也恰有这么多，他们同样可以用“有像我的耳朵那么多”这样的话来表示野猪的数目。慢慢地，“有像我的耳朵那么多”这样的话可能被简略成“人的耳朵”这样的说法。进一步，“人的耳朵”后来就成了一个可以代表某一数目的代表性集合。只要一些物品的数目恰好是我们所熟知的2，那么原始人就可以说有“人的耳朵”那么多。当然，物品的数目不可能总是2，当出现其他数目的物品时，他们只需要采用同样的方法，找其他的一个代表集合就是了，用不同的代表集合来代表不同的数目。比如说表示数四时，就说“像牲口的脚那么多”。这样，对不同的数目找到不同的代表集合，较少数目的计数问题就解决了。原始人类恐怕就是这样做的吧。他们先是用人和动物的身体部分作为对一些物品的口头表达。而慢慢地，这些叙述的语句又被相应的简称所代替。就这样，代表集合的语句以及其简称被用来称呼数的数目，如说“有耳朵一样多”，或者简单说“耳朵”。再往后，这些名称便作为数字的称呼而巩固下来。于是，人们开始用词“耳朵”或“手”或“翅膀”等表示我们更熟悉的数字2；用“兽足”表示我们熟悉的数字4，或者“手指”来表示数字5等等。到后来，这种读音固定下来，就成为抽象数的读音。这大概正是部分数字读音的由来吧。这种推测，可以从语言学中得到部分证实。据研究，汉语中“二”的读音就源于“耳”，意思是像耳朵一样多。藏语中的“二”源于“翼”，意思是像鸟的翅膀一样多。

在这一时期，原始人有了许多不同的代表集合来表示不同的数目。等到人们要算某一事物的个数时，只需要在这些代表集合中，把能和它匹配的那一个代表集合找出来并用相应的语句或其简称来表达就行了。

运用这种方法，原始人就能够（当然是在小的范围内）回答“物体有多少个”这一问题了。不过，这种回答并不如同我们现在的回答方式，如说某物有2个、5个等等。因为那时人们对数的理解还没有达到这一步。在他们的意识中数是十分具体、十分形象的，它既不能同量分开，也不能同形分开，也就是说，只有同量和形结合在一起，必须依附着所指的物体，他们才能懂得数。在这一时期当提及二、五时，人们脑海中浮现出的是与之对照的实物：人的耳朵、手指之类。这种时候人们对数的认识还是非常具体的，是与实物相联系的。

用一些代表集合来表示数目，是原始人计数史上的一大进步。这意味着人类在形成数的概念上完成了第一次抽象。不过，用这种方法毕竟存在着一些不足：首先，这种办法并不要求数目按照从小到大的次序排列，因而这些用来表示数目的代表集合完全可能是乱七八糟堆放在一起，毫无次序的；其次，由于代表集合是如此具体与混杂，利用这种办法，想抽象出数的概念是不可能的；再次，当需要计的数目比较大时，这种办法即使不说失效，也可以说显得极其笨拙。而恰恰随着生产、生活的需要，较大的数目越来越多的出现。于是，建立在同样原则上的一种解决问题的办法被原始人类使用了。

这种方案有着同样的简单性，就是选取代表集合时，不再用没有关联的不同实物来表示，而是用同一种事物的不同数目来表示。如一块石头来作为数目1的代表集合；两块石头来作为数目2的代表集合；三块石头作为数目3的代表集合等等。这种事物也可以取其他的东西来替代，人们习惯上是就近取材的。石子、竹片、树枝、贝壳之类都曾被不同的民族用来作为计数的实物。

用这种办法计数，可以找到一些实例。如在马来亚语和阿兹特克语中，数词“一”、“二”、“三”在字面上指的是“一块石头”、“两块石头”、“三块石头”；在南太平洋纽埃岛人的语言中，这三个数词在字面上的意思则是“一个果子”、“两个果子”、“三个果子”；而爪哇语中这三个词的意思则是“一颗谷粒”、“两颗谷粒”、“三颗谷粒。”

用石头、贝壳之类东西计数的好处是容易找到。但是也存在一些问题：其一是这些东西容易散乱；其二是无法长久地保留。为了解决这类缺点，后来人们开始采取结绳的方式来计数。这就是历史上的结绳计数。所谓结绳就是在一条绳上打上结，在这种计数方式的完善中，人们又曾用不种颜色的结来表示出不同的事物。

在没有书写记录的年代，结绳法担负了记载历史的作用。在古人心目中，数，就是用手打成的“绳结”。结绳方法实际上曾遍及世界各地。无论东方还是西方，都是有过结绳计数的历史的。如中国、希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦以及伊斯兰国家都有记载或实物标本。有一则传说可以引来作为佐证：古波斯王在一次战争中，命令将士们守一座桥，要守60天。为了把这个数准确地表示出来，波斯王用了一根长长的皮条，在上面系了60个扣。他对将士们说：“我走后一天解一个扣，什么时候解完了，你们的任务就完成了，也就可以回家了。”

甚至至今，还有个别的少数民族在用结绳的方法呢。如在我国新疆巴里坤草原的牧民现在仍用羊毛结绳记数；日本琉球群岛的某些小岛上人们也还没有放弃这种结绳计数的古老办法。

然而，这一方法保存的信息的存在时间仍过于短促，因此人们就用在木棒、龟甲、竹筒或骨头上刻出痕迹的办法来构成一些记录，称为“符契杖”，这就是历史上的刻痕记数。其中最古老的例子是，1937年，人们在捷克斯洛伐克发现了一根大约三万年前的狼挠骨，这根长为18厘米的骨头上，深深地刻着55个痕迹。还有一件引人注目的刻痕计数实物是“伊尚戈骨头”，据鉴定，确认为公元前8500年的遗物。在我国北京郊区周口店的山顶洞人遗址中，考古学家发掘出了四根带有磨刻痕迹的骨管，发现它们已有一万多年的历史了。这些都证实了刻痕计数法在人类历史上曾被广泛地使用。在我国古书《易经》中就记载着：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”据调查，云南有的少数民族50年代仍沿习结绳、木刻记数呢！

在没有文字以前，用绳结和书契（刻木、刻骨等）两种方法计数，是世界绝大多数民族历史上经历过的阶段。实际上可以说，这两种“非文字记数法”曾遍及世界各地，这是人类进行艰难而辛苦计数的开端。

在这一计数的开端，人类所使用的是“一一对应”的办法。用这种办法计数，除了上述提到的证据外，我们还可以提到一些其他的实例。

如：一些美洲的印第安人，通过收集每个被杀者的头皮来计数他们杀敌的数目。还有一些非洲的原始猎人，通过积累野猪的牙齿来计数他们杀死野猪的数目。

最后我们还可以举出一种奇特而有趣的，由居住在大洋洲岛屿上的土著人采用的关节计数。他们用：左手小指表示1，依次用左手无名指表示2………左手大拇指表示5；接着，左手腕表示6，左手肘表示7，左腋表示8，左肩表示9，左侧锁骨表示10，咽喉表示11；再接着对称地向右数下去，到右手小指表示21。《数学天方夜谭》一书中叙述了古代土著人做买卖的情景：

“一个渔夫正在用捕捞来的鱼跟农夫换取蔬菜。他试探性地伸出左手的大拇指。然而农夫坚决地摇了摇头，使劲地用右手肘撞击左手掌。渔夫迟疑了一下，用手点了点自己的左肩，农夫却用手指着右侧锁骨。最后渔夫指着自己的咽喉，农夫终于点头答应，买卖成交了。”

你能看懂这段哑谜吗？让我们一起把它翻译出来——

“我用5条鱼换你的这些蔬菜，行吗？”渔夫问。

“不行。得15条！”农夫不肯。

“那么，9条可以吧？”渔夫又添了四条。

“出条12，你就拿去。”农夫也做了让步。

“11条，再多一条也不换了。”

“好吧，我吃点亏——实在便宜你了。”

你看，用石子、贝壳、关节、绳结、树痕，虽然可以帮助人们计数，但多么不方便啊！

原始人利用一一对应的方法得到的这种数的概念在现代数学中称为基数。基数所根据的是对应原则。也许你会觉得这种办法实在是有些笨拙，然而它却自有其美妙处，我们后面还要用到它，在那里你可以体味到它的好处。我们在这里顺便指出的是：一一对应的思想方法渗透并支配着整个数学，是现代数学的基本思想方法，是数学家最有效的常备武器之一。

另一种计数的办法

上面我们介绍了一种古代人采用的计数方法。这种方法是利用一一对应的原则来实现的。由此得到的基数概念解答了物体“有多少个”的问题。在此，我们可以想象一下原始人是如何完成这一点的。

比如说猎取了一些野兔。到底有多少只呢？利用一一对应的方法是这样进行的：取一只野兔，就在一旁放上一块石子，或在绳子上打一个结，或者刻上一道痕。

重复这种机械的对应过程，直到野兔取完为止。这样，人们就知道一共有与石子或绳结或刻痕相同数目的野兔了。

可以发现，这与我们现代人的做法并不相同。我们是通过从一开始数数，一、二、三……而最后得出答案的。也就是说，当原始人最初采用一一对应来计数的时候，他们还没有形成自然数按次序由小到大排列这一观念。单凭匹配本身不足以创造出我们现在所使用的有序的自然数的概念。设若不是我们能够将事物排列成有顺序的次第，进步就是不大可能的。那么，人类又是如何实现这一步的转化的呢？

一种可靠的推测是：这一转变是从人类领悟到自己的手指是最方便的天然计算器开始的。

直立行走使人空出了双手，这双手不仅仅用来拿东西，后来人类认识到它还是人的最自然的计数工具。想想借助于自己的手指人类可以如何计数吧。当想了解捕了多少鱼或是野果或是野兽时，就可以把物品从一边移到另一边。每移动一件，就弯下一个手指。在这个弯下手指的过程中，人类认识到自然数可以从1到大排成一个序列。即是说那些代表集合可以由小到大排成有前后次序的序列，最后当人们将前几个数字，按照有顺序的次第记住，并制定一个语音系统，使得能从任何一个数读出它的后面的较大数时，一种数制就这样被发明出来了。正如我们小时候学数数时所做的那样，数数是从“一”开始的，随后我们需要数出它的后面数“二”，再后是“三”……至于这些数的读音由于不同的民族制定了不同的语音系统，所以是不同的。但这是无关紧要的。

数制一旦有了，计数某一集合的事物，就等于将集合中每个成员分别和有顺序的次第的自然序列中的每一项相对应，一直到整个集合对应完了为止。对应于集合中的最后一个成员的自然序列的项，就称为这个集合的序数。有了序数，如果要确定某一集合的事物的多少，即它的基数，我们不用再找一个代表集合麻烦地来作一一匹配了——我们只消将它加以计数就成了。数学的发展实在应当归功于人类知道了数的这两个方面的统一性。在实用上，我们虽然觉得基数很有用，但它不能创造出算术来。算术的运用就是依据我们总是可以由一个数数到它的后继数这一默认的假定出发的，而这个假定正是序数概念的本质。

可见，手指对人类计数的发展起着至关重要的作用，对于它在何环节上起到的作用我们不能判断，但是这种作用的重要性是无可怀疑的。我们可以说，人类在计算方面之所以成功，应当归功于十指分明。大概正是屈指计数使人们不自觉地从基数转到了序数吧。正是这些手指，才教会人类计数，从而把数的范围无限地扩大开来。如果没有这套装置，人类对于数的技巧就不会比原始的数觉高出多少。因此，我们不无理由地说，要是没有手指，那么数的发展，以及随之而来的我们精神上的和物质上的进步所依据的精确科学的发展，也将毫无希望地处于低下的阶段。

在现代，除了小孩子初学计数的时候还用手指，屈指计数的技术已经被淘汰了。文字书写的出现，简便的计算方法，以及教育的普及，使得这个技能成为陈旧和多余的了。在这种情形之下，我们自然容易低估屈指计数在计算史中曾经起过的重要作用。不过在几百年以前，屈指计数在西欧还是如此风行，以致一本算术课本如果不包含屈指计数的方法，它便不能算是完全的。在当时，用手指计数和用手指演算简单的算题，都被看作是受过教育的人的一种能力呢。

在转入下一部分的论述之前，我觉得有必要对基数与序数的区别再重复一下。

回想一下，我们小时候，如果父母拿了四个苹果，问我们一共有几个，我们是如何做的吧。

我们习惯性地掰着手指，口中念念有词：一个、两个、三个、四个。这种有次序的将数目数出来的方式，就是采用了序数制。而当我们一次性地伸出四个手指说有四个时，我们就是使用了基数制。

我们可以再举一个例子。比如我问你“这本书共有多少页？”你回答说：180页。这种回答所使用的就是基数。而如果我问你“这本书的后记在哪一页上？”你回答说：第180页上。这种回答所使用的就是序数了。另外，你还可以联想一下你所学过的英语。在英语中数词是分基数与序数的。one、two、three、four……被称为基数；而first、second、third、fourth……则被称为序数。当你区分开这些英文的差别时，你也就明白了人们关于自然数理解中的这两种不同的观念。后面我们还要提到，正是在此基础之上，形成了建立自然数理论的两种方式：自然数的基数理论与自然数的序数理论。

但不管怎么说，事实上，由于这两者对于我们现代人来说已经融为一体了，以致于当把它们分开来时我们往往不太适应。数数在我们的习惯中已经根深蒂固，我们确实很难将两者分割开了。但是在遥远的古代，两者的出现却可能会有着先后。那么，何者为先呢？我们可以在小孩子那里找到基数先于序数存在的一个证据。比如，我们教一个小点儿的孩子数数。伸出一个手指，教他数1；伸出两个手指，教他数2; ……伸出五个手指教他数5；伸出一个手指的大拇指与小拇指，教他数6。教过多遍后，孩子好像学会了，只要你伸出某种手指，孩子就会说出相应的数目。不过，一个小小的实验，就能够证实这时孩子所学会的还只是基数。实验很简单：在依次伸出一至五个手指后，伸出一个手的五个手指与另一个手的一个手指，问孩子这是多少。刚才还对答如流的孩子，这次恐怕就傻了眼。这说明，他还只是把手指的样子当作代表集合与相应的数目联系在一起。他还不会真正地数数。他还不明白数6不过是数5的下一个数而已，即他还没有真正的序数概念。

如果可以拿个体的早期与人类的原始期作类比的话，那么我们可以认为原始人最早所掌握的也将是基数的概念，而对序数的认识就要晚一些。这只是我的一种推测，读者朋友大概会有自己的高论吧。

抽象数概念的初步形成

具体的东西总是在抽象的东西之先。任何抽象都来自于具体。各民族早期表达数的语言，都是非常具体的，是与实物相联系的。这种早期数概念的极端具体性，可以举出不列颠哥伦比亚的辛姆珊族的语言作为一个明显的例子。这种语言共有七种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体；一种用于时间和圆形的物体；一种是用来数人的；一种是用于树木和长形物体的；一种是用于小艇的；一种是用来测量的；还有一种是在没有特定对象时计数用的。最后一种大概是后来才发展起来的。前几种必定是这族人还没有学会计数之前的早期遗物。

离开具体实物的抽象数的产生是一件不容易的事情，具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数概念，需要经过多次的抽象过程。

前面我们已经提到人类曾经用到两种方法进行计数。在这种计数过程中，人类已经从具体到抽象迈出了重要的几步。其中，给不同的数起名字，是抽象数形成过程中重要的一环。

在发展计数的最初级阶段，人们恐怕还不会想到使用数的名称。需要表达数时，或者用实际拿在手上或放在脚边的被数物品，或者靠相应的身体动作和手势就行了。这或许是由于早期还缺乏对数命名的必要。因为在早期由于人们只限于把物品进行分配，分配后没有必要再记住出现的数，所以也就不需要数的名称，而只要借助于相应的手势就可以了。事实上，用手势表示数像遗迹一样，长期保存在许多没有产生口头读数的民族里。但是越到后来，单纯依靠手势之类的方式就越行不通了。尤其是，当农业成为生产的主要方式时，人们不仅需要对属于自己的财产计数，而且还要记住它们的数目。大概正是由于这类实际的需要，促使人类走上了创造数的名称的道路。

至于原始人类是如何对数进行命名的，在前面我们已经简单地涉及过了。比如我们提到了汉语中“二”的名称的由来。通过这一例子，我们明白在久远的年代，人类对数的命名是与某些代表集合相联系的。或者可以说数的名称是一些代表集合或其简称转化而来的。

不过，愿意思考并有着怀疑精神的读者可能会问：可是现在从多数数字的读音中我们都已经找不到这种联系的痕迹了，为什么？这或许说明对数的命名发生在较早的时期吧。数字产生的确切时代，虽然无从稽考，但有确凿的证据表明，它的产生比有文字记载的历史还要早好几千年。于是，一种可信的推测是语言的演变歪曲了一些数名的本来面目。

在文字产生之前，人类就已经形成了数的概念。等到表示数的字一经造成并且采用之后，就和它原来所表示的物体一样地可以作为代表了。到后来，因为数的记号和它所假借的物名之间需要有所区别，这样有一方的读音就要改变。在这一变化中，数字的读音没有发生变化，而它所借的实物的名称却不得不发生改变。最终是“鸠占鹊巢”。由于数字所假借的实物的名字，几历沧桑，备经变化。于是在经历了长年累月之后，二者间的联系就被忘却了，以致于我们现在早已无法明白数字现在的读音所代表的实物究竟是什么了。当人类愈来愈依赖语言时，声音就代替了所表示的东西，原来的具体的代表集合便以数字的抽象形式而出现了。

最后一句话似乎有点深奥。让我们举一个例子再解释一下。比如前面提到的“耳（朵）”原来是一个具体的代表集合，即“像人的耳朵一样多”。到后来，“耳”的声音代替了这个具体的集合，慢慢地成了数字“二”的称呼。你看，就这样，原来的具体的代表集合后来开始以数字的抽象形式而出现了。

另一方面，人类对数进行命名的早期，大概还只能限于极少量的数目。对于这些不多的数，大多情况下，不同民族的人们都会按上面所说的方式给它们取互不关联的名字。当后来数目稍微增加时，人们很可能采用了重复已有的简单数词的办法。如在早期人类用于数的单独的名称只有1和2，超过这几个数时，便说3是2和1,4是2和2,5是2和2和1等等。在澳洲的一些部落的语言中，我们就可以看到这种说法的例证。他们对数的命名使用了十分有趣的名称，1是破挂子，2是帆船，3是帆船 -破挂子，4是帆船-帆船。你看，只有1与2的名称，却也表示出了1到4或再稍多点的数呢。当数的范围扩大时，人类出于经济的原则并没有对每个新的数都起一个新的名称，而是非常自然地借助于前面已有的数来表示出后面的数。事实上，当原始人如此做的时候，他们已经不自觉地使用了一种重要的观念。这就是后面我们还要介绍的“进位制”。用现在的话来说，就是“满几进一”。在当时，就是只对少数几个数命名，而对稍微多的数就用重复前面几个数的方式来表达。最早的时候，命名的数可能只限于1与2，也就是说，那时人类使用的是二进制。到后来，人类慢慢地发展到了使用手指计数。开始很可能只限于一只手，于是，人们对数的命名范围发生了改变，扩展到了前面五个数。在这种情况下，就可以用：“另一只手上的一个手指”，或“第二个五个手指中的一个”，或“五与一”，来表示数六。同样用“另一只手上的二个手指”或“五与二”等表示数七，等等。在这里，五就成了高一级的单位。而人类也就进入了五进制阶段。在这一阶段，数6、7等还不必使用另外的命名。再到后来，手指计数开始进到两只手了。于是，前面十个数也就慢慢地都有了自己的名称。而对十以上的就借助前面十个数来表示。例如，可以用“两只手上的十个手指和一只脚上的二个脚趾”或“两个手指还剩下一个”来表示11；为了表示数十二，就可以说“两只手上的十个手指和一只脚上的二个脚趾”或“两个手指还剩下二个”，等等。再到后来，人类又很自然地想法使数的口头表达简单化。如数11简化成“脚的一趾”或“还剩下一个”，数12简化成“脚的二趾”或“还剩下二个”等等。在这里，十成了高一级的单位。而人类也就进入了十进制阶段。当然，人类还可以引入更高的数作为高一级的单位。如引入20。这时，数二十三就说“两只手上的十个手指，两只脚上的十个脚趾和别人的三个手指”，或进一步简单说成“别人的三个手指”，等等。

就这样，数的命名与手指、脚、人等天然计数工具联系在一起了。而可以表示五的手，表示十的双手，表示十五的一只脚，表示二十的双手与双脚或人也就都很自然地被原始人所使用，以表示更高一级的单位了。让我们从语言学的角度对此证实一下。

据语言学的研究，英文eleven原意是：还剩下一个。tw elve原意是还剩下二个。英文的digit一词含有手指与数字的双重意义。在俄语中5与掌骨有着相似的读音。南美的卡马尤拉部落人把“中指”一词作为数词“三”，他们把“三天”说成“中指天”。新几内亚东南部的巴希亚部落人，把“九十九”说成“四个人死去了，两只手废弃了，一只脚坏掉了，还有四。”

其实，数的命名过程要比上面所述复杂得多。对于更多的细节，我想，我们还是交给这方面的专家解决吧。我们只要了解，在计数的有声时期的较早阶段，各种有声的声音被发展起来了，并且人们利用不同的声音（字）来表示不同的数。例如，三头羊和三个人，“三”这个一般性质的抽象，经过长时间后，由具有某种具体联系的某个独立的声音来表示了。此外，我们需要了解的是，数的命名为形成数的抽象概念提供了巨大的帮助。当把不同类但具有相同数目的一些东西都用一个名称来代替的时候，随着人们对这种名称的重复，人们会逐渐认识到数所具有的独特性：即数是独立于具体事物之外的。比如说人们慢慢地发现两只兔子、两只野猪或两个果子，虽然在具体物上有着极其大的区别，但是在这种不同之外却有着某种共同的东西。

让我们来设想这样的过程。

一个原始人问另一个原始人：“今天打了几只兔子？”

另一个回答说：两只。

又一次，问题变成：今天打了几只野猪？

回答是：两只。

再一次，问题变成：今天采到了几个果子？

回答是：两个。

……

这样问答的重复，一定会使得原始人感到非常奇怪：对于完全不同的事物怎么会有相同的回答呢？即使智力水平还不高的原始人也会慢慢地意识到这其中有着某种相同的东西。现在我们已无法推测原始人是从何时开始意识到这一点的了。或许当意识到这一点时，他们会感到非常震惊吧！回想一下：当我们小时候刚开始考虑学数的时候，在三个苹果、三位叔伯、三朵花等不同的事物间忽然领悟到其中有某种共同的东西存在时，我们有什么感受？当然，很可能这种感受由于过于久远，已经从我们的记忆中消失了。确实，由于我们通常很早就与数打交道，以致于对自己领悟到“数可以离开具体事物而独立存在”时的惊讶美妙感觉已经遗忘了，对数这一概念的极端抽象性似乎也因为熟视无睹而没有什么感觉了。

数，实际上是一个极其抽象的概念。“三个”的抽象导致了数3这一概念的形成，这一过程不可思议之处在于世界上并没有任何东西是数字3，它是一个纯粹抽象的概念！当我们说到数3或任何其他数的时候，我们并没有不舒适的感觉，这只是因为我们已经熟悉了它。当你试图不用词来解释数3是什么时，你就会认识到这个概念是多么的抽象。由此可见，数的概念与其他概念的不同在于数的概念必须要经过多次抽象才能得出。一般人常说，数学太抽象，实际上正是如此。抽象数的概念的初步形成就花费了人类何等漫长的时间啊！正如罗素生动描述的那样：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子。”

但不管怎么说，经过长期艰苦的努力后，原始人毕竟初步形成了抽象数的概念。不过，抽象数概念的最终确立还有一步要走，这就是记数符号的使用。这正是我们要经过的下一站。

数字记数法

早期记数符号的出现

前面我们已经提到，在人类刚开始产生数的概念的时候，在人类历史上最早出现的是实物记数法，是“非文字记数法”，那时人类所认识的是与实物相联系的数。原始社会末期，私有制和货物交换产生以后，数的概念有了进一步的发展。人们开始用文字符号取代结绳与刻痕记数，这样，与实物相脱离的真正抽象的数才被最终确定下来。当人们不必依赖具体的实物，而是用抽象的数字符号来表示数字时，数字才完成了它的起源过程。作为记数符号的数字的发明，意味着自然数的出现，标志着数学开始迈出它的第一步。为此，人类曾经历了一个多么漫长的岁月啊！

人类创造文字，大约有5000年的历史了。当文字出现后，如何将数目用文字记录下来就成为一件重要的事情。但是这种符号不是很快就能建立起来的。迄今知道的最古老的埃及和巴比伦记数法的出现也是公元前四千年代和公元前三千年代的事了。

在人类刚形成数的概念并开始在较小范围内记数时，不约而同地采用了划横或竖杠的方式。即数目是几，就划几道杠。然而当面对较大的数目时，这种最原始的解决办法还是否可行呢？有一则读者可能在刚学习数的时候就已经熟悉的笑话：“一个学生刚从先生那里学会写一、二、三，便认为自己已经学会识字了。于是，有些吝啬的孩子的父亲高高兴兴地辞掉了先生。不久家里请一位姓万的客人，需要这位 ‘聪明’的学生写个请柬，于是他一划一划忙了起来，忙了大半天，还没有写出这个万字，最后当父亲急急火火地问他怎么还没有写完时，他抱怨说：‘这人真怪，为什么偏要姓万呢？’他以为万字就是一定要划出一万道横杠来。”

可见，这种解决方案在数目较小时虽然略显笨拙，却还是可行的，但是当面对大的数目时，就根本行不通了。然而随着生产力进一步提高，实际生活中恰恰越来越多地要用到大的数目。如果我们不采用被我们嘲笑过的这个傻学生的办法，去划一万道横杠，那么用什么办法才能完满地解决这个问题呢？对每一个数目都引进一个新的符号，行不行呢？想想看，如果这样，那么一万内的数目就需要我们采用一万个数的符号了。更何况自然数是无限的呢？这可一点也不见得比傻学生的解决方案聪明多少呃。

符号的简化：进位制的使用

记数符号的引入，使人们可以表示出一些较小的数。但是当数较大时，无论是采用“对每一个数都引进一个新的符号”还是“数目是几，就画几道杠”的方法都是完全行不通的。那么用什么办法呢？回想一下前面我们已经提到的，原始人在对数进行命名时已经很自然地使用的那种新方法吧。当原始人把“一只手”作为数5后，就用“另一只手上的一个手指”，或“五与一”等来表示数六。当然，同样地可以如此表示出数七、八等。于是，对于比5稍大些的数我们不用引进新的称呼也能够表达明白了。这一解决思路前面已经提到叫进位制思想。换言之，所谓进位制就是“以 P个数组成一个新的单位，而 P个新单位又可以用一个更高的单位来表示，依此类推”。因为是以 P个数组成新的单位，所以就叫 P进制。P称作进位的基数。对数的命名中所采用的这种办法，不是同样可以用在记数上吗？有了这种进位制的思想，记数就可以简单些了，人们就可以凭借少数的数码来表示出很大的数目，而不用采用过多的符号了。许多民族都完成了这一步，可见想到这一点并非什么太难的事情。不过不同的民族对此却有不同的发展过程，除了选取的进位基数不同外，各民族在每一个较高单位的表示方法上也不尽相同。

下面，我们先来进一步介绍几种进位基数。

正如我们前面已经提到的，当人们开始用语言来表述一定的数目时，二进制被认为是最古老的记数法。它出现在人们还没有用手指进行计数的时候，也就是在一只手是低级单位，一双手和一双脚是高级单位之前的时候。今天，我们还可以找到二进制的痕迹。如我们用双、对来计量。据考查，在澳洲和非洲的最原始的还没有达到屈指计数程度的民族中，到现代仍存在着这种记数法。他们独立的数字只有一和二，其复合的数字到六为止。至于六以上，则统称之为“堆”。他们大多以双来计数。这种习惯达到如此根深蒂固的程度，以致我们从一排七根针中抽去两根，他们很难察觉出来，但如果只抽去一根，他们就马上觉察出来了。

这种最原始的记数法，是基数最小的一种记数法，它只需要两个数码就可以表示任何数。这种神秘雅致的记数法的历史常与莱布尼兹联系在一起。

莱布尼兹：17世纪德国数学家、自然科学家、哲学家。他的研究领域极其广泛，包括数学、哲学、逻辑学、力学、地质学、法学、历史、语言、法律及神学等。他被誉为百科全书式的人物，他的多才多艺在历史上也很少有人能与之相比。在数学上他以独立创立微积分学而著称。此外，他在数学上贡献还有：1673年制作了能够进行四则运算的计算机；系统阐述了二进制记数法等等。

莱布尼兹在重新发现了二进制后，对其大力提倡和阐述，使二进制记数法引起了人们的普遍关注。对二进制，莱布尼兹表示出了极大的偏爱。他认为一切数都可以用0和1创造出来，这正可以作为基督教《圣经》所说上帝从“无”创造“有”的象征。为此，他曾赞叹说：“用一、从无，可生万物。”也就是说，从二进位制中，莱布尼兹发现了上帝创造世界的证据。对此拉普拉斯普在他的名著《概率的哲学探讨》中评论说：“莱布尼兹在他的二进制算术中，看出了创造万物的影象……他想象：一代表上帝，零代表混沌；上帝由混沌中创造出世界万物，正如在他的记数法中用一和零表示一切的数一样。这个观念太使莱布尼兹喜欢了，所以他将它提交任中国数学院院长的耶稣神父闵明我，希望因这种创世界的象征，而使非常喜欢科学的中国皇帝也转信耶稣教。我提到这点，目的只在指出，即使是大人物的眼睛，也会被幼稚的偏见所蒙蔽！”

行文至此，还想顺便提一下莱布尼兹与《易经》的一桩公案。

在莱布尼兹稍前，已经有人重新提出过二进制记数法。不过，莱布尼兹大概未见到过前人的论述，所以一直以为是自己的独创。因此，当他得知中国古老的八卦排列和2进位制一致时，感到欣喜若狂，他将他的结果与中国古代圣哲的思想联系起来，认为自己揭开了数千年前中国的一个不可解之谜。他的这一说法被一些国人所借用，于是在我国产生了一则流传甚广的神话：中国早在几千年前的《易经》中就已有了二进制思想的证据，甚至更加离谱地认为莱布尼兹是受《易经》的影响而发明了二进制。事实上，这只是一出错误的喜剧而已。其一，莱布尼兹先自己发现了二进制而非受《易经》的启发；其二，他认为中国古老的伏羲八卦的排列和二进制记数法的顺序一致，但是他所见到的八卦图并非周易原来的图，而是中国北宋邵雍改画的。原来的八卦图的排列与二进制记数法的顺序并不一致，因而无法从中得出我国周代就已有二进制记数法的结论。甚至至今仍有着不少的书籍或报纸在宣扬这一说法，并美其名曰：弘扬中华民族古代智慧，真不知道这种往我们古人脸上涂金的方式是出于无知，还是出自过度的自卑了。

好了，让我们再转回到二进制本身吧。二进制记数法虽可仅用两个符号就能表示出任意数，但缺点在于：其表示很冗长。如87要写成1010111，所以在实用上是不方便的。但现代电子计算机中却采用了这种记数法。为什么呢？这是由于其不方便处对于电子计算机来说并不构成任何障碍。而其优越处是其他记数法所不可比拟的。最为重要的原因在于只用两个数码的长处使得二进位制只要求元件有两种不同的稳定状态，这不但容易办到，而且可靠性高。如开关的“通”、“断”，穿孔带的“有孔”“无孔”，晶体管的“通导”、“截止”等都可以实现。而如果电子计算机中使用其他进制，就要求元件具有更多种稳定的物理状态来表示这些个数码，而这是很困难的。其二，是符号的经济和演算的简单。在这种进位制中，计算法则只有两条：1+1=10;1×1=1。在十进位制中加法和乘法计算都比这复杂得多。其三，它比其他数制更节省元件。还有，它便于使用数理逻辑来进行分析和总体设计。正因此，二进制这种最古老的进位制在今天旧貌换新颜而受到人们的重视并显得特别重要了。

有证据表明，3、4也曾作为原始的基数。也有证据说明在史前时期使用过12作为基数。它的产生，据猜测是由于一年有十二个月的缘故。至今，在长度、重量、货币、时间等的计量中我们仍然广泛地以12为基数。另外，常用的还有十六进制、六十进制等等。在我国旧时的一斤为十六两，所以我们才有成语“半斤八两”。至于六十进位的证据就更多了。至今我们用于测量角和时间的单位都还是六十进制的。

其实，我们可以说古代各民族记数法中的进位基数是五花八门的，不过有几种似乎更受青睐。1920年前后，有人调查了307种原始的计数方法。结果发现有146种是10进制的。由此可见人的十个手指，对人类计数留下了不可磨灭的印迹。的确，我们的十个手指毫无疑义地影响了我们数制基底的选择。除了十进制外，还有其他两种相当普遍的基底，也显著地表明了我们计数方法的拟人化倾向。这两种数制便是以五为基底的五进制和以二十为基底的二十进制。事实上，正如所预期的，5作为基底是第一个被广泛使用的尺度。五进位制被认为是手指计数法中最古老的。显然这是起源于惯用一只手计数的民族。但是人为什么只限于用一只手呢？一个可信的的解释是，原始人出门很少不带武器的。遇着要计数的时候，他就把武器夹在腋下，在左手上计数，用右手查点。许多种语言现在仍然带着五进制的痕迹，因而可以相信有些十进制曾经经历过五进制的阶段。在五进制后，记数法沿着两条道路继续发展。没有停留在只用一只手的手指计算的，转向利用第二只手，就导致了十进制，如果继而用脚趾来计算，也就产生了二十进制。有证据表明，以20为基数的计数制曾被广泛使用。许多民族都曾经经历过二十进制的初期阶段。在二十进制中，具有20个指趾的人就成了天然的高一级单位。在这种进位制中，两个人可以表示40，三个人可以表示60等等。那么是什么原因，使得这种进位制在后来被淘汰了呢？推测原因大概有两点：其一，若用20为基数，那么就需要20个不同的名称来表示20以内的数字。这有点过于烦琐；其二，是人们鞋的使用。或许正是由于鞋子的使用，才使人类停留在两只手的计算上，而最终在多数民族那里建立了十进制吧。

设想要是人类没有屈伸自如的手指，而只有两只“不分关节”的秃拳，或者人类的手指数不是十个，那么整个文化史会成个什么样子，这是一个有趣的问题。实在说，人类采用十进制是一种生理上的凑巧。人类有十个手指的事实，造成了人用十来计数的根深蒂固的传统。谁要想去改变数制的基底，在现在即使不是是很滑稽的，也将是极不受欢迎的。

关于基数的选取问题就说这些吧。下面让我们去看看古代民族所使用的几种有代表性的进位制记数法。

先看古埃及人所用的办法。

在最古老的古埃及象形文字中可以发现，古埃及人用的是十进位制。1用一短划来表示，10像拱门，100是一卷绳，1000像荷花，10000是一个指头，有时向左弯，有时向右弯。100000，有时像蝌蚪，有时像小鸟。其最大的单位是107，像初升的太阳。可见，在每一个较高的单位，他们都用一种新的符号来表示。

古罗马人所采用的也是这种记数方法。只不过他们所用的是五进位。他们用Ⅰ代表1，把ⅠⅠⅠⅠⅠ写成Ⅴ，然后把两个Ⅴ记作X, L代表50, C代表100, D代表500等等。每当出现一个较高的单位时，就引入一个新的符号来表示。在这种表示方法下，一个简单的数要写成长长的一串，如888=DCCCLXXXⅧ。

这种曾在古罗马被广泛使用的记数法相当笨拙，但与有多少数就划多少道杠相比总算是一种进步吧！这种记数法竟然在12世纪以前一直盛行于欧洲呢。

上述记数法可被称为简单累数制，也可以叫做加法累数制。其原理是将各个数码所表示的数加起来。如罗马人表示300就要重复写三次C（上面已经提到罗马人用C代表100）。这是很麻烦的。对这种笨拙的表示法进行简化的一种思路是把重复出现的数改用乘法表示。最有代表性的就是中国数字。如4600不必写成“千千千千百百百百百百”，也用不着另造表示4000与600的新字，而是写成“四千六百”。不比较不知道，当与古罗马人采用的方法相比较时你就会发现这是多么聪明的方法啊。这种记数法被称作乘法累数制。我国早在殷商时代便使用了这种十进的乘法累数制。在出土的甲骨文中发现了13个数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万（当然在写法上与现在并不相同，这里我们使用了现代人所熟知的写法），而用这十三个数字，就可以表示出相当大的数了。后来又增加一些新字，以表示更大的单位与更大的数。如亿、兆、京等等。但是由于规定太过烦琐，并且在不同时期并不统一，很容易弄错，所以并没有得到推广。现在只有亿还在使用，表示万万。亿以上不再定新名了。

古希腊人使用过两种记数法。一种称为阿提喀记数法。它最早出现于公元前450年。这种记数法是以10为基数。一个单位用一条竖线表示，对五、十、千、万都用一个字母来表示，所有其他数字都可借助这些符号按照加法原则来记。

另一种记数法叫爱奥尼亚记数法，它最早为毕达哥拉斯与他的学派所采用。

对于毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派这两个我们本书中经常提到的名词，这里先稍微详细地介绍一下。

提起毕达哥拉斯，学过几何的读者或许会记得有一个毕达哥拉斯定理，即我们所称的勾股定理。不过对毕达哥拉斯其人，恐怕就不一定怎么熟悉了。

毕达哥拉斯（约公元前580～前500年）是古希腊哲学家、数学家、天文学家，还是音乐家、教育家。据说早年他曾师从名哲泰勒斯、阿那克西曼德、菲尔库德斯。他对老师的观点有选择汲取，最后逐渐形成了自己的学说。他又曾游历过古埃及、古巴比伦等东方国家，在这些国家他不断向有学问的人请教，以丰富自己的见解和知识。当他完成游历回到自己的故乡时已是一个思想成熟的智者了。但在家乡他却不能施展才志。于是他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里他赢得了人们的信任与景仰，并组织起一个政治、宗教、数学合一的秘密团体，即后来称的毕达哥拉斯学派。这一学派的创建具有历史意义，也是毕达哥拉斯天才灵感的成果。在他的领导下，该学派进行了多方面的研究工作。学派中有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知某项成果是何人在何时所发明的。但由于这个学派在他生前，是以他为精神灵魂的，因此可以相信当他在世时，学派做出的多数重大成果都一定凝聚着他的心血与智慧。可以说，正是在他的领导下该学派取得了多方面的巨大的成就。

毕达哥拉斯学派特别重视事物的定量研究。他们认为一切事物和现象都可以、并且只能通过数学得到解释。宇宙的本质就在于数的和谐性。基于这种信念，他们努力从事数的研究。他们几乎把全部时间用在这种研究上，第一个推进了这一个知识部门。可以说毕达哥拉斯是数学这门学科的奠基人、创始者。他发明的许多术语和以他命名的数学用语沿用至今。最有名的是以他名字命名的毕达哥拉斯定理。他还发现了三角形内角和为180°，并发明了用几何作图法解二次方程。他最早把自然数划分为奇数与偶数。数学中神秘有趣的完全数、亲和数也是由他最早发现的。另外这个学派在数学研究中有一个特点，就是将算术与几何紧密联系起来从而发现了许多既属于算术又属于几何的结论。发现无理数更是这一学派在数学上的重大贡献之一。

在对数的研究基础上，毕达哥拉斯提出：高度抽象的数可以表现一切物质，构成一切物质。进一步他又提出了哲学命题：万物皆数，数是万物始基。

此外，毕达哥拉斯是音乐理论的鼻祖。他用数学观点研究音乐，并阐明了单弦的乐音与弦长的关系，从而为现代音乐理论奠定了基础。他是天才的教育家。在西方他又是第一个把某些韵律和旋律用于教育的人，他通过音乐使学生的灵魂得以净化。在天文方面，他首创地圆说，认为日、月、五星都是球体。

毕达哥拉斯学派后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯本人逃亡到塔兰托，后被杀害。享年89岁，度过了他漫长充实的一生。他死后，毕达哥拉斯学派还继续存在了两个世纪之久，对希腊文化产生了巨大的、多方面的、深远的影响。

现在让我们转回到正题上去。毕达哥拉斯学派所使用的这种记数法借助27个字母来表示数。其中三个字母是借用的腓尼基字母表中的旧字母，其余24个是希腊字母表中的字母。为了把数与字母区别开，在数的上面画一条横线。借助于27个字母及其组合可以表示1～999的数字。对于若干千的数，采用在1～9的符号左下方加一小直线的办法来解决。在其记数法中，可记的最大数是108。可见，这种记数法与简单累数制比较，不但对每一个较高的单位都要另设符号，而且对较高单位的倍数也设新符号。这种记数法可称为分级符号制，其好处在于表示数时比较紧凑，缺点是采用的符号过多。

通过上面的介绍，可以发现，有了进位制，表示数目的方法简化了。但是人们要不停地创造新的符号，才能表示越来越大的数目。因此单纯的进位制存在着明显的不足：其一，用这种方法当数大到一定程度，书写太过复杂，如古埃及人用他们的记数法来表示986这个数，至少要用23个符号；其二，用这种方法无法解决表示任意大数的问题；其三，由于记数的烦琐使得自然数的计算成为非常复杂的事情，这对算术和代数的发展显然是很不利的，从而严重阻碍了计算技术的提高。

在古代，人们生活中满足于一些不大的数。如三四千年前，遗留下来的埃及、巴比伦的数学文献中，把10000称为“黑暗”，意思是说，这样的数已经模糊不清，不能清楚想象了。以后，界限放宽到108，就是“黑暗的黑暗”，并说：“大过这个数（108）不是智慧所能了解的。”或许是这种对大数的缺乏必要，使古代许多民族在使用了进位制后竟然没有想到过完善它。不过，更令人惊讶的是，为了完善它竟然又花费了人类极其漫长的时间呢！这正是我们下面要提到的内容。

关键的第三步：位值制的使用

进位制的出现，表明人类抽象思维的能力有了进一步发展。但进位制仍然不能够完满地解决记数的问题。怎样才能用有限的几个符号来表示任意大的数目呢？人类还需要发明一种巧妙的办法来解决这一问题。

让我们先来想想我们现在是如何解决这一问题的。

举一个简单例子。比如在十进位中数“一千九百七十一”，我们现在记作1971，从右算起，1,9,7,1所在的位置分别称为个位，十位，百位，千位。出现在最左边的数字1由于处于千位上于是代表一千，而与右边的数字1表示不同的意思。你看，没有采用新的记数符号十、百、千等，我们也表示出了数“一千九百七十一”。这一奇妙的效果是如何实现的呢？道理说出来很简单，就是利用了数在书写时有“顺序”，即在写法上无非是从左到右，或者从右到左，或从上到下。于是记数符号本身有了位置的概念。也就是说，不但每个记数符号本身表示大小不同的数目，更巧妙的是同一个记数符号由于写在不同位置上，其数值大小就可以不相同而表示出不同的数目。或者说一个数字究竟表示什么数值，要看它在什么位置上。这就是“位值”的含义，而这种巧妙的方法就是位值制。位值制的奇特处之一在于它不用随着数的增大而采用不同的符号，而且使人们可以仅用比较少的数字来表示出任意大的数目。位值制是千百年来人类智慧的结晶，它可以同字母的发明相媲美。有些读者会说：发现这一点应该是一点也不难啊。但事实上，许多古代民族，虽然很早就创造了数字，懂得进位，却始终没有产生出位值制思想。而我们今天所使用的完善的位值制更是经历了极其漫长的时间与曲折的过程才最终建立起来的。或许由于一开始我们就接受了这种记数法，以致我们已经很难体味出其中的美妙处了。但我们却实在有必要去回顾一下古代人为了解决这一问题所经过的曲折历程并了解一下为何古代人对此的认识竟然如此晚。

较早使用位值制思想的是古巴比伦人，就让我们从他们开始。

古巴比伦人在数学和天文学上采用的——与我们的习惯完全不同——都是六十进位制。古巴比伦人在记数时采用了两个基本符号（用来表示1），一个（用来表示10），巴比伦人用这两个符号借助于前面已经提到过的简单累数制，可以记出60以下的数字。对于60以上的数怎么办呢？他们采用了位值制。如下图中的70，使用的仍然是上面的两个符号，只是表示1的符号放在了表示60的位置上，因此就表示了60。

这种记数法并不是纯粹的位值制。纯粹的60位值制需要使用60个不同的符号来代表60以下的数，正如我们现在的十进位值制中需要使用十个不同的符号一样。而巴比伦记数法60以下是用简单累数制的。因而我们应该说巴比伦记数法是简单累加制与位值制的混合。这样做的好处是仅需要用少量符号，而不用引入更多的符号。如果这样做能够完全起到后者所起到的效果，那我们应该说巴比伦人的做法实在是太聪明了。然而，事实是，两种制度并用往往会出现一些问题。其中最大的缺点是有时会分不清哪一个数码是在什么位置上。比如说：

究竟表示的是多少呢？它可能是3，也可能是180（3个表示1的符号都在60位上），还可能表示3661（1×602+1×60+1）。

对这一困难，古巴比伦人采用留下空白，即在容易混淆的地方间隔大一点的方式来解决问题。这倒不失为一种权宜之策。然而，马上出现的一个问题使他们的解决方案重新陷入尴尬之中。这一问题就是：如果出现某位上没有数字又怎么办呢？

这种情况下，最自然的想法——实际上，很多民族一开始面对这一问题时都是用了这种办法——是用留下空白的方式来解决。古巴比伦人也正是用留空位的办法来表示数字间某位上没有数的。但这种留出空白的方法对古巴比伦人却带来了新的问题。即：空白在巴比伦记数法中现在已经有了两种功能。除了用来分隔两个数码之外又用来表示空位。可以想象得到，这种办法在解决旧问题的同时也导致了新的混乱。

此外，由于古巴比伦人经常使用分数，而且分母总是常数60，但是他们并没有像现代的十进位分数部分的记号，而是与表示整数的记号混淆在一起。于是，一个数作为分数时，可以表示21/60，也可以表示20/60+1/602。这样一来，引起的麻烦更加严重了。有时一个记号就可能出现好几种理解。

这样，一个数的值往往依赖于所写的上下文，导致混乱完全是不可避免的了。

引入位值制思想，这是人类记数上的一大进步。然而，对于巴比伦人来说完整的位值制尚不能如此建立起来。除了由于累加制与位值制混合使用带来的缺陷外，他们还有更重要的一步要走。这就是：如何解决某位上没有数字这一问题。

对于我们这些一开始就接触符号0的人来说，一切似乎都是那么顺理成章，这种理所当然使得我们已经很难体会到许多事情的必要性了。比如说，102、1002、10002、120、1200……即便是小学生，也能非常容易地区分它们的不同。你有没有想过，我们为什么能够如此轻易地做到这一点呢？实际上，能够区分开它们不同，是因为我们发现在数1与2间零的个数不同。你有没有想过，如果我们没有零的记号，事情又会是什么样子呢？

早期很多民族都用空位的办法来表示零。12、12、12、12……面对这样的写法，你能区分出它们到底代表的是些什么数字吗？

在位值制中，为了表明某位置上有无空位，以及各个数字的位置，必须要有零的符号，否则就容易出现混乱。看看古巴比伦人在没有零的记号时，引起的记数上的混乱就可以更清楚地认识到零的重要性了。后来希腊人沿用了巴比伦人的六十进制，却放弃了位值的先进思想，这恐怕是主要原因。可见，符号零的使用是重要且极其必要的。

经过一千多年的摸索，到公元前二世纪，巴比伦人才发明了一个特殊的符号用它来表示数的某位是空的。这种符号，写法有好几种。但不管怎么说，引入这个符号后，对于某位上有没有数的问题是解决了。然而，在数学中他们却没有使用这个符号来表示末位数中出现零的情况，即像340、3400这样的数。因此这个零只具有现代零号的一部分功能，它无法指明数码所在的位置。奇怪的是，在他们的天文学上，这一零号却可以用在末位上。

现在想来，巴比伦记数法迟迟不创造零号，原因可能有三：一是零出现的频率较小，他们所采用的是六十进位制，只有60这个数必须用到0；二是六十进位制差一位就差60倍，较易从上下文来确定究竟表示什么；三是必要时用留出空档来表示空位。

这或许是人类普遍存在的惰性。如果对某件东西不是经常要用到，人们很难想到去完善它、改进它；即使经常要用到，如果有权宜之策，也不去考虑长久的周全之计呢！

基于位值制思想，在北美洲中部居住的玛雅人发明了的一种很有趣的二十进位值制记数法。用不着奇怪，形成二十进位制对于玛雅人来说其实是非常自然的。由于他们生活在热带丛林中，常常赤着脚，露出脚趾，遇到比10大的数时，他们就请脚来帮忙，就这样形成了二十进位制的记数法。这又可证实，大多民族后来使用十进制，只是因为他们穿上了鞋子的缘故。

在玛雅人的记数法中一共只有三个基本的符号。小圆点用来表示1，小短横用来表示5，另外还有一个卵形记号。有人认为，小圆点是石子的形象，小短横是木棍的形象，卵形记号很像个小贝壳。利用小圆点与小短横，他们表示出了20以下的数字，用的办法是累加记数法。这一点他们与古巴比伦人相似。当数目超过20时，他们利用了位值制的思想。可见，他们的记数符号并不独立，而是采用了累加与位值制的混合。为了避免引进混乱，对一个多位数他们采用了高位在上低位在下的分层写法。而最重要的是，玛雅人创造了零的符号，就是前面已提到的像一只贝壳也像半开的眼睛的记号。他们的零号既可以表示某一位置上没有数，也能用在数末，起到指明数码位置的作用。他们的零号已经具备了在记数法中零应有的两种功能。其稍微的不足在于，由于部分采用了累加制，使得记数较为烦琐。此外，其零号虽然已具有确定数码位置的功能，但其意义仍有含混之处。现今的记数法，加一个0等于将左边的数扩大成原来的10倍，但玛雅记数法加入零号，在普通记数法中扩大20倍，但在时间记数法中则为18倍。正如他们采用二十进位制有他们自身的道理一样，这样做他们想必也有自己其他方面如天文历法的考虑在内。我们所要做的结论是，其记数系统与古埃及、古巴比伦、古希腊罗马相比是相当先进的。极可惜的是，他们所创造的灿烂的古代文化并没有对世界的发展做出应有的贡献。

在粗略浏览了其他几个古代民族后，让我们回过来再去看一下我们中国古代是如何做的吧。

前面我们已经介绍过早在殷商时期，我国已采用了十进位记数法。这种记数法在记数方面是很有效的。但是如果涉及到数的计算，那么其不足处就显示出来了。针对于此，我国古代在运算中采用了一种新的记数法：算筹记数法。由于当时我国盛产竹子，于是人们采用了小竹棍来作为记数并计算的工具，这就是算筹。在两千多年前的春秋战国时期，算筹在中国人手里已经使用非常普遍，为人所熟知了。那么如何用算筹记数呢？为初学者便于琅琅习诵，后来的《孙子算经》、《夏侯阳算经》编有押韵的顺口溜，前者记：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”后者又加了四句：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”当时记五或小于五的数：几根算筹就表示几，记六、七、八、九用一根筹，以一当五，放在上面，一至九，九个数表示法则有纵、横两式。《孙子算经》前两句说明数位在记数中的重要意义，后四句告诉我们自然数记法的一般规则：个位数用纵式，十位数用横式。从“一纵、百立、万、百相当”可知百位、万位都用纵式。“僵”就是卧倒，“千、十相当”，所以十位、千位都用横式。依此类推，交替使用纵横两式。《夏侯阳算经》所续四句话明确了以一当五算筹的用法：既不允许并排用六根筹记六，也不允许单独用一根筹，以一当五。

这种以算筹为工具的记数方法，显然运用了位置制的思想。另一个重要点仍然是如何记空位的情况。对此，解决方式是不放算筹，成为空档。初看上去，你或许会认为，这种留空位的办法与古巴比伦人是完全相同的，它会带来与其相同的混乱。但是，巧妙之处在于算筹记法有纵横两种形式，记数时纵横相间。因此空档是易于辨认的。对于个位是零的情况也能表示出来，一定程度上避免了可能出现的混淆。但严格说起来，这种记数法仍然在理论上存在着不足之处。如对连续空位较多，或者末位有多个零的情况，并不能清楚表示出来。或许是这类情况较少出现，或许是人们在运算中可以通过其他方式避免这种混乱，不管是出于什么原因，我国古代都没有对此进行过进一步的完善。但即使如此，我们仍然可以说，我国是采用较完善的十进位值制记数法最早的国家。这种完善性的最好是证明我国古代数学由于采用这种筹算法而在计算方面大大超过了其他的古代民族。

算筹与筹算

算筹产生于何时，无可靠记载。据推测，我国大约从西周开始使用竹筹在毡毯上或在算板上进行各种运算。到春秋战国时代，这种算具已很普及。当时一些著作如《老子》、《荀子》中都出现了“算”、“筹”等词。自西周直到宋、元，在长达二千年历史时期内，算筹一直是我国社会各行各业通用算具。在珠算盘发明以前它是中国独创的并且是最有效的计算工具，也是当时世界上最简便的计算工具。对于这一点，当下面我们提到西方所使用的计算工具时作一比较就更明显了。

用算筹为工具的运算方法称为筹算。中国古代数学一开始就和算器的使用密不可分，以致可以用“筹算”二字来代表中国古代的数学。正是独特的算筹的使用影响并决定了中国古代数学的发展。

首先，算筹的使用使我国古代形成了强烈的位值制观念。它不仅在筹算记数法中有所体现，事实上，位值制在中国筹算数学中有着更为重要的应用。如我国古代解线性方程组（即多元一次方程组，如初中所学习的二元或三元一次方程组）时，由于使用算筹，将未知数与系数分离开表示，分离系数法表示出了方程的各行各未知数的系数及常数项，而不必写出物品的名称，这与现今的矩阵表示法相近。筹式以不同的“位”代表意义不同的“量”；以不同的位置关系表示特定的数量关系。在这些筹所规定的不同“位”上，可以布列任意的数码。这种做法在筹算中实在是顺理成章的事情。由此，我国古代方程诸术中列筹式描述了实际中常见的比例问题和线性问题；而用算筹摆出的天元、四元诸式，则刻画了高次方程问题。算筹所表示对象也由数发展到式，这样筹式本身就具有了代数符号的性质。可以认为，中国古代的筹式就是一种特殊的代数符号系统。李约瑟称之为“位置的代数学”。他写道：“在演算过程中，筹算盘上的数字是按照它们所代表的量的类别（未知数、幂等）而占有一定的位置的。一种稳固的、划一的数字图式体系就建立起来了。”而这些都是借助于算筹摆放位置的不同而天然地具有了不同的含义而实现的，都可以看作是位值制记法。这种记法大大简化了数学表达式，简化了运算，使中国人的计算才能得以更充分地发挥。自汉迄元，计算数学在中国越来越发达，中国古代数学亦长期处于世界领先地位，这都不能不归之为优越的位值制原理的使用，从而也不能不归功于算筹的使用。

此外，中国古代数学家还用筹算发展了一套内容十分丰富的“筹式”演算。他们通过摆弄算筹来解决复杂的实际应用问题，得到了解线性方程组、高次方程等的方法。又由于这种方法要以是否适合筹算为转移。这样计算的方法就需要有一定的程序，按照一定的程序摆筹解题。程序的获得过程、按程序解题、摆放算筹等都是方法。而这种具有模式化与程序性的方法，现在被称为算法。于是我们可以说筹算具有算法的机械化的特点，或者说中国的筹算本身就是一个算法体系，它集计算技术与数学原理于一身。这正是我国古代数学的一大特点。

历史表明，先进的记数法与计算工具算筹的使用成为中国古代数学长于计算并取得辉煌成就的前提条件，并使中国古代在计算技术方面居于世界遥遥领先的地位。筹算以后发展为珠算。明代以来，珠算广泛应用于商业等实际部门，使中国传统数学依赖算器，发展计算技术的特点表现得更为充分。当然，由于中国筹算的优越性，在客观上抵制了笔算的发展，不便于数学的符号化和理论的深入，这可以说是过分依赖算器的副作用。

在另一方面，我国古代在书写中，开始是用空位来代表零，后来用“空”字代表零。这无疑比留一个空位要好得多。数位清楚了，不会引起误会。这是数学史上零的表示法的一大进步。不过，空字夹在数的符号里，毕竟显得很不协调，于是又出现了用囗表示零。南宋蔡元定著的《律吕新书》中就曾把118098记作：十一万八千囗九十八。用它代替空表示零，不仅简便，和谐，更重要的是它已经是一个数字的符号，标志着用符号表示零的新阶段的开始。到了宋元时期，用O表示零已普遍运用，这大概是囗写快了，就成了O。例如金的《大明历》（1180年）中把505写成“五百O五”。用“O”表示零，既容易写，又美观，这是我国数学家的独创。

然而，令人遗憾的是限于当时思想交流的困难，我国古代所使用的位值制没有对世界数学的发展作出应有的贡献。

现在世界上所通用的记数法，来源于印度，是印度人的贡献。

印度人大约在公元前3世纪才开始使用记数符号，以后逐渐地形成了十进制记数系统，在大约公元6世纪前开始采用位值制。他们创造了十个互相独立的符号，这是完善的十进位置制必不可少的重要内容。然而，印度人的伟大的变革之处是零符号的发明。后来的事实证明这是数学史上的一件大事。不过，完成这一步对于印度人来说也并不是一蹴而就的。

最初他们没有表示零的记号，也是用空一格的方式来表示空位的，后来为了避免看不清，就在中间加上小点。他们所用的小圆点的记号，名称叫“苏涅亚”，意思是空。如果两个数码间有一个“·”记号，就表示这是一个三位数，这个三位数的中间那位数上“一无所有”。小圆点相当于现在的零号。至于现代使用的椭圆零符号“0”最早是在公元876年中印边界一块石碑上发现的。

公元773年，印度数字开始传入阿拉伯国家。后来，花拉子密写成《印度的计算术》，这是第一部用阿拉伯语介绍印度数字及记数法的著作。由于当时没有印刷术，数字全凭手写，字体因人因地而异，变化很大，东、西阿拉伯就很不相同。西部较接近现代写法，但没有0，东部字体逐渐固定下来，至今许多伊斯兰国家仍在使用。

印度数字后来经阿拉伯又传入欧洲，但在这一过程中0却迟迟没有被广泛采用。热尔贝是法国有名的学者，991年成为兰斯的大主教，999年又成为教皇。他将印度-阿拉伯数字介绍到欧洲，对促进印度-阿拉伯数字的使用产生过一定的影响。但他却不知道0。正式介绍包括0在内的印度-阿拉伯数字到欧洲的是斐波那契。

斐波那契：意大利数学家（约1170～1240），被誉为西方中世纪第一个伟大的数学家，使西方数学开始了一个新的时期。他早年游历了许多东方和阿拉伯城市，了解了不同国家和地区在商业上的算术体系，通过比较他发现印度-阿拉伯十进制系统美丽的数字具有的价值，并积极地提倡使用它们。公元1202年，他完成了自己的名作《算盘书》。在这本广博的书的前几章，他解释了位值制原理、整数和分数的各种计算方法，说明了怎样应用印度-阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题。这本第一次正式向欧洲人介绍印度数字的著作问世后广为传播，为印度-阿拉伯数字和阿拉伯数学在欧洲的流传起了极其重要的作用。

在斐波那契所著的《算盘书》一书的开头写着：

“这是印度的九个数字：987654321

还有一个阿拉伯人称之为零的符号0，任何数都可以表示出来。”

为斐波那契广泛传播的印度-阿拉伯记数法，具有明显的好处。除了记号紧凑，能表示任意自然数外，用它计算容易而精确，但令人感到奇怪的是它并没有马上受到普遍的欢迎。事实上，从11世纪引入到被普遍接受的15世纪，经过了几个世纪。在这一变革过程中，阻力有的来自于数学内部，有的来于数学外部。在数学内部，墨守陈规的珠算家和主张改革的笔算家之间经历了长期的斗争。在数学外部，有些地方阿拉伯数字不许用在公文上；又有些地方，这种方法完全被禁止了。如1299年，意大利曾禁止弗罗梭丁的商人使用这一数字，下令必须用罗马数字或文字记帐，原因是易出差错或被涂改。这种情形有如在我国规定票据要用大写数字一样。从13世纪意大利的文献中可找出很多证据说明当时的商人把阿拉伯数字用来作为一种密码。不过，事情的发展正如人们所熟知的那样，保守的方式或禁止的办法只能延迟却不能完全阻止伟大的变革。在经历了通常难以避免的蒙昧的和反复的阶段后，新记数法的优越性在16世纪已经无可争议了。

当新的记数法得到更为广泛的传播后，人们开始注意到零在新数制中所占的重要地位，他们把整个数制和它的主角零的概念cifra等同起来了，以致于在今日欧洲这个字的不同形式ziffer, chiffre等等都具有了数字的意义。由于在欧洲人的印象中，这些数字来自阿拉伯国家，所以他们就称其为阿拉伯数字；17世纪以后，欧洲数学在全世界占了统治地位，世界各国都向他们学习数学，包括阿拉伯数字这样的名称也随之传开并沿用下来。正如我们已经提到的，其实这一称呼并不恰当，它是世界数学发展史上的一个大误会。如果顾名思义，认为阿拉伯数字就是阿拉伯国家的数字，那可就大错了。为了准确起见，我们还是称之为印度-阿拉伯数字更合适些。在这一过渡阶段中，数字的外形发生了一系列的改变，到16世纪才逐渐固定下来。当印刷术采用后，数字就被完全定形成现在我们所熟悉的样子了。

无论如何，在历史上屡经变迁后，以印度-阿拉伯数字为记数符号的十进位值制记数法——这让我们早已习以为常视为常识般简单的东西——在人类花费了巨大的难以置信的劳动并经过了漫长的时间后，终于最后建立起来了！它们既是人类智慧的结晶，又是数学文明的开始。现在，世界各个角落，无论大人小孩，无论讲什么语言，用阿拉伯数字和十进位置制运算都是一致的。

拉普拉斯曾总结说：“用十个记号表示所有的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而重要的思想，今天看来它如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位数学家阿基米得和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这个成就的伟大了。”“用很少的几个符号来表示一切数目，使符号除了具有形状意义外，还具有数位的意义。这一思想如此自然，如此使人容易理解，简直无法估计它的奇妙程度。”

当我们回顾这一美妙记数法的建立过程时，会意识到符号零的引入具有重大意义。在完整的位值制中，零号是不可少的，零是位值制记数的必然产物，也是位值制记数法的精要所在。事实上，正如前面已经提到的，作为位值制记数法精髓的零，历史上，它的出现比位值制又晚得多。从第一个数字符号开始记数到想出一个表示无的符号，花费了人类大约五千年的时间。但无的符号却使世界整个改了观！有了零，记数系统才得以广泛运用，它使数字的运用发生了革命！

零这代表空无一物的东西，竟具有震动世界的重要性，说起来真叫人觉得奇怪；而更令人奇怪的是，多少伟大的数学家，竟让零从他们眼皮底下溜走。

也许有的读者早已经在心里暗想：唉，这有什么难的？要是当初有我，这一点小发明早就出现了。对于如此想的读者，我想讲述一个有趣的故事。

1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦，终于发现了美洲新大陆，他在1493年返回西班牙后，受到了群众的欢迎和王室的优待，也招致了一些贵族大臣的妒忌。

在一次宴会上，有人大声宣称：“到那个地方去，没有什么了不起，只要有船，谁都能去。”

哥伦布对这个挑衅性的话并没有回击，只是随手在餐桌上拿起一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋竖起来？”许多人试了又试，都说不可能。

哥伦布将鸡蛋壳在桌子上轻轻地敲破了一点，就竖了起来，于是又有人说：“这谁不会？”

哥伦布说：“在别人没有做之前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为谁都可以做。”这就是流传了400多年的哥伦布鸡蛋的故事。哥伦布的这句话，由于寓意深刻，也便成了世界名言。

凡事都是开创时困难，别人开了头，仿效是容易的。实际上，零的诞生正是一个这样的典型例子。在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用它来记数。数学史家把0比作“哥伦布鸡蛋”，这不仅仅是形状相似，其中还孕含着深刻的道理。真是一个一语双关的绝妙比喻。

有了零，有了位值制，在十进位制中我们就能够用十个数字表示出任何自然数了！只用有限个符号就能够驾驭无穷多个数，就可以方便、清楚地表示出所有的自然数了。你有没有为此感到过惊奇呢？无怪乎革命导师马克思曾把十进位值制记数法称为人类“最妙的发明之一”了。

重要的数

数0

前面我们已经提到零号在位值制中的重要作用。具体说，0在位值制中起到两种作用：表示某位是空的；起着指示数字所在的数位的作用。正是由于它的这两种作用，它使我们得以区分不同的数。因而把它运用到数字系统，成为一种极为成功的尝试。

然而，0有着更为微妙和深刻的意义。零的概念实在是意味深长的。

首先，0作为一个概念，是一个确实的数。

古代中国、玛雅、巴比伦这些曾引入空位或零号的民族都没有将它和“一无所有”这一概念联系起来，以表达“一无所有”的概念，也没有把零看作一个独立的数，将它单独使用，不曾将零用在计算之中。如巴比伦人对这类情况是用语言来表达的。当他们遇到20减去20，不知如何表达，只写道：“20减20，你看。”在另一讨论谷物分配的问题中，在可以用零来表示的地方写着“谷物已耗尽”。

印度人首先认识到零除了在别的数之间起空位作用外还有它独立的存在性。零本身理所当然地是一个数，它表示“没有”这个量。于是，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形记号表示。其次，0本身是一个数，也就可以将零纳入数的系统之中，并且可以如同其他数一样进行运算。0作为数参加运算的观念经历了漫长的岁月，甚至可以说印度人承认零是一个数并用它参加运算是他们对零的发现作出的更为重要的贡献。

对零的这种认识在3世纪时已经出现。公元6世纪，在印度天文学家瓦哈拉米希拉的《五大历数全书汇编》中可以看到对零施行加、减运算。公元7世纪，婆罗摩及多对零的运算有了更完整的叙述。在他的传世著作《婆罗摩修正体系》（628）中写道：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”。

最后一种情形，用现代的符号表示就是a/0，这个数等于多少，没有进一步说明。这是印度人提出以零作除数问题的最早记录。

850年，马哈维拉认为：一数被零除，其值不变。

婆什迦罗是1000～1500年间印度最突出的数学家。他对零作除数的问题仍然不十分清楚。他指出：一个数加上零，其值不变；零的乘方或开方结果还是零……一数先乘以零再除以零，其值不变。即他认为：。他还写道：“以零作分母的量，它是不会改变的。正像无限和永恒的神一样，在创造或毁灭世界时虽然有众多的创造物消失或产生出来，但神始终是不变的。这一段话隐含：

。

显然，他对零不可以作除数是不了解的。

零不能做除数，这是一个小学生就明白的事情，无论在什么情况下，用零作除数都是没有意义的。这是因为a≠0, b=0，如果，不可能存在一个c，使得bc=a。比如我们用5除以0，那么结果应该是什么呢？设结果为c，即 c=5/0。从定义上讲，数必须满足等价方程0×c=5。然而这个方程在任何情况下都是无解的，因为任意数乘以零都等于零。所以无论c是什么数，都无法满足上述方程。但是0/0又如何呢？设为x，则0×x=0，每一个数都满足这一方程。结果我们无法得到一个确定的、唯一的答案。两种情况中的任何一种在数学上都无法接受，因此用零作除数被宣告是无效的运算。

这道理的简单性也像哥伦布鸡蛋一样，一说出来就尽人皆知，但在数学发展中得出这一正确的结论也经历了极其长的时间呢，甚至欧洲到19世纪初还有一些数学家对零的运算有错误的认识。另外，零不能作除数的处理现在我们虽然都明白，但使用代数式运算时，由于有些情况并非如此明显，所以你必须小心检查，是否会出现被零除的情形。一个很能说明问题并且轰动一时的例子，与爱因斯坦相对论有关。爱因斯坦在自己的一项工作中发现，方程出现某种特异的结果，因而他转向另一个方向，而这个方向后来也不得不放弃。1922年，苏联数学家弗里德曼研究了这些特异结果之后发现，爱因斯坦在推导中曾用一个量除过方程，而这个量在某些情况下是零。这一发现以及由此引出对爱因斯坦分析方法的改进，为膨胀宇宙数学理论奠定了基础。

你看，0的产生史作为一部传奇故事本来就已够令人惊奇了，想不到在它诞生后，还会引出这么些有趣的事情来。作为一个独特的数，0确实有着比其他数更丰富的内容。对于小学生来说，就已了解到零有一个奇妙的特性：它与任何数的乘积都是零，正是这一特性导致了它最独特的地方，0不能做除数。对于一个初中生，他们还明白了一件关于零的独特之处，就是零既非正数又非负数。实际上，除此之外，符号0在数学上还有多种意义。

0是标度或分界，如温度以0度为界分为零上零下，海拔高度以0米为界分为高于低于海平面。可以说，0是“有”“无”之间的一个关节点，0之前意味着没有，从0开始才意味着有。例如，一天的时间从0开始，一个人的一生从0岁起算。在数学中，0起到了沟通有无的作用。

在以数轴表示实数时，这个意义发挥得更加突出：0是一个特殊的点，从这一点起，在一条直线上以某一方向为正，而相反的方向为负。这个0点一经确定，就成为运算的中心，常常决定了其他各点所在的方向。在实数直线上，0不仅代表数字0，它还代表与此数有关的位置——我们记数和运动的起点。

如果我们需要考虑精确度的话，小数末尾的零就不能随便去掉。例如工人师傅加工零件，要求一个零件的长度为16毫米，另一个零件的长度为16.0亳米。前者表示精确到1毫米，即加工后的实际长度在15.5～16.5毫米都可以是合格的。而后者表示精确到0.1毫米，即加工的实际长度在15.95～16.05毫米才是合格的。显然后者的加工精度比前者高。你看，只是末尾一个0之差，就有两种不同的要求。这说明零并非意味着什么也没有。

正如恩格斯指出的：零是任何一个确定的量的否定，所以不是没有内容的。相反地，零是具有非常确定的内容的………零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被它所限定的数都更重要。事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容。

除此之外，0的特殊性还带来一系列问题，它的出现导致了一系列的矛盾。在历史纪年中，由于零就引出了一些问题。先让我出一道脑筋急转弯测测你。

古希腊有一位雄辩家，他生于公元前30年7月4日，死于公元30年7月4日。问：他活了多大岁数？

怎么样？问题不难吧？你的答案是多少？

如果你回答说：当然是60岁了。那么，我将以一种得意的神情告诉你：很不幸，你错了！于是，你可能困惑地想：不会吧？实际上，你错的原因很简单。在历史纪年中，是没有公元0年的，所以你就多算了一年，因此正确答案应是59岁。

与之有关的最近事件是21世纪从哪一年开始的问题：是2000年还是2001年？中国天文学界认为应该从2000年开始，而英国格林尼治天文台认为应该从2001年算起。一个本来是人为规定的事，却惊动了天文学界科学家来讨论。

你看，零是不是很特殊？

在数学上，当零出现时，就曾受到是否为数的质疑。当然在现在它是确切的数已经被公认了。但它能否看作是自然数呢？这却是一个引起争论的问题。

无论从规范的定义或者从历史的发展来看，自然数都是从1开始，而不是从0开始。特别当我们数数时，总是先要把要数的对象排成一个顺序，每一个对象给一个编号，这个编号实际上是个序数，表示你操作的顺序，而这个过程总是从1开始的。在这种情况下，自然数的基数和序数也是统一的、一致的。由于0的出现，问题就复杂了。0可以看成基数的头一次推广。但是把它看成序数就非常勉强，或者说当把0人为地加入到自然数当中，按照大小顺序排列，得到0、1、2……时，同正常的序数不相符合。上面所说2000年能否算作21世纪第一年的争论，实质上正是零可否看作序数问题的反映。

说到底，0是一个非常特殊的符号，它可以被看作是第一个理想数。它为推广数的概念铺平了道路。

除了上述所提到的以外，零的概念的开拓与延伸在数学发展中显得更为重要。这一概念在数学的几乎每一个分支都起着同样重要的作用。比如在平面与空间三维甚至多维空间中，0的概念被推广为坐标系的原点。更进一步，在向量中有零向量与之对应。在矩阵中也有零矩阵，用O来表示，这种矩阵在很多场合都很有用。在集合中有一个没有任何元素的集合——空集——用希腊字母来表示。这个符号也使人们想起普通的0。实际上，我们在后面还将看到人们正是把空集的元素个数与零联系在一起了。在群论中，有零元的概念。在结构数学中，一个集合有没有0元对于整个结构有重要的影响。而无论是零向量、零矩阵、零元等等这一切都有着与0类似的特性，都可以看作是零的概念的延伸、推广。

因而，正如一位数学史家所说：数字零，注定要成为文化进展的转折点。没有它，今天的科学、工业和商业的发展都是不可想象的。这个伟大的发现影响所及绝不限于算术。在文化史上，零的发现永远标志着人类最伟大的独一无二的成就。

数1

上面我们已经提到了数零，它是整个数的海洋中最重要的数之一。下面，我们准备再简单介绍另一个重要的数：1。

1是“数之始也”，是数目或计数的开始。前面我们已经提到过区分出一与多是人类数的概念发展中的一大进步。

在数学上，数1的第一个重要特性是它可以看作是生成元。所有的正整数都是通过它的连加而形成的：2=1+1,3=2+1……这一过程可以一直进行下去，甚至到地老天荒的那一天也不会终止。于是，我们认识到了一个很自然的结论：自然数是永远也数不完的，它有无穷多个！哦，无穷！这个与数学结下不解之缘的神秘美妙的概念，我们在下文中还会介绍到。这里先提到一点：在数学中无穷大通常用∞来表示。必须强调指出的是，无穷大是一个概念而不是一个具体的数。

与自然数相类似，负整数亦可以通过连减以类似方式得到。

当我们引入更直观的数轴时，我们对数字1、0与概念无穷大，大约能够理解更深刻一些。回想一下我们对数轴的定义：所谓数轴，是规定了原点、单位长度及正方向的有向直线。由此可见，在数轴上，符号0、1各有奇特的作用。0代表起点，同时它的存在又为方向的确定给出了依据。而1是单位长度，是我们使用的标度。而∞则代表该直线的完全性——事实上它包括所有的自然数（当然还包括了除自然数外的其他实数）。

正由于1这一生成元的特性，它常常被赋予哲学的，甚至是神的特性。在大多数宗教中，数字1象征着上帝的独一无二。在我国伟大思想家老子的心目中，1也处于极其重要的地位。他在《道德经》一书中写道：道生一、一生二、二生三、三生万物。可见，在他眼中，1的重要仅次于最重要的“道”。一表示数字的开始，同时也表示万物之始。这个思想成为我国古代宇宙观和哲学的基础。既然万物开始于“一”，人们对“一”当然就格外重视了。

由于1是所有数的生成元，而它自己则无法生成。因而古希腊人认为1不是数，而仅仅是组成数的成份、原子，是构成所有真正的数的“基砖”。如古希腊哲学家亚里士多德拒绝把1看作一个数。这正是导致我们所熟知的“1既非素数又非合数”这一特殊性质的一大原因。

数1的另一重要特性是任何数与它的乘积都保持原数而不发生改变。用简单的数学式子来表达就是。这样的道理或许是很简单，但并非不重要。事实上，这代表了一种极为重要的不变性。当读完后面的内容时，你会对此有新的体会。

数1，具有的独特性质，使它的概念在其他数学领域中都有所推广。如在矩阵中有单位矩阵；向量中有单位向量；尤其是在群论中有单位元的概念等等。而这一切概念都具有与数1类似的特性，并在相应的领域中起着重要的作用。事实上，在结构数学中一个结构是否包含与数1地位相当的单位元对这一结构而言是至关重要的。