小结

至此，我们已经基本上走完了我们的第一站。在旅途中我们了解了关于自然数的许多事情。

最后让我们做一下简单的回顾与总结。不过要轻松点，不要把这一总结看得太严肃了，这种总结正如你在游览完某一景观后，在回来的路上轻松地回忆自己看到的风景而已。

首先，我们提到了数的起源。我们先是知道了数的概念远在文字使用以前很久就有了。这一点可以通过追溯到旧石器时代的文物的发现得以证实。如已提到的刻痕记数至少存在于三万年以前。可是人类能够把他们的活动记录和思想用书写的形式表达出来，只不过才有六千年的历史。因此对史前时期的资料，我们必须依赖对少数残骸的翻译和解释，依赖于人类学提供的证据，并且依赖对一些断简残篇的推测。正因此，我们只能给出自然数起源的一个大概的也不一定准确的轮廓。

数的起源原因可以归为内外因的结合。革命导师恩格斯说过：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”早期的数学处于经验的摸索阶段，它要以生活中的需要作为摸索求知的动力。数学知识起源于人们的实际需要：例如鸟兽的头数等等。如果认为：是“人类智力”为自己设计出了用于计算的数，那就错了，因为正相反，人们在想出数的本身之前就以艰难而辛苦的方法进行着计数了。数的起源，从字义上看，数（shu）起源于数（shu），即计数。但诚如一切科学的产生一样，数学产生不但依赖于人类社会的实践、生活的需要，还得益于人类独特的发达的大脑。最初，原始人所具有的只限于现代我们看来非常幼稚的数觉，但这却是人类产生数概念的起点。在数觉与外界条件影响下，人们开始了艰难地计数历程。计数的发展是人类进步的标志之一。为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有从现实世界中抽象的能力。人类在一开始的时候这种抽象能力是极其有限的。事实上，原始人类，为了区分出“一”与“多”恐怕就经历了一个长期的时间吧。当从“多”中分出“二”、“三”等单个数目的概念时，意味着原始人的抽象能力已有了一个不小的飞跃。

事实上，从头几个数的写法，就可推想4以后的数字出现要晚得多。可以猜想人类有一个很长的时期停留在只知道前两三个自然数的阶段上，在古汉语中“三”不就常泛指多吗？有些地区，“七”这个数字长时间用来表示不确定的大数，且在俄罗斯谚语中还保留了这个时代的痕迹，如“量七次，剪一次”（相当于“三思而后行”）“七个保姆，没有人看孩子”（相当于“一个和尚挑水吃”）。

当数目较多时，人类发展出两种计数的方式：由一一对应产生出基数的概念；由序列产生出序数的概念。前者用来回答“多少个”，后者用来回答“第几个”。这样就产生了两种理论：基数理论与序数理论。这个工作是在19世纪末分别由德国数学家康托尔和意大利数学家皮亚诺完成的。这是后话。事实上，对应和序列，这两大原理已经深深渗透进全部数学之中，交错地编织在我们数系的锦绣天衣之上。

而在历史上，基数与序数概念的产生是一个漫长的过程。甚至于它们中是哪一个先产生的，我们也不能给出完全确定的结论了。我本人倾向于基数在先，你又有何高见呢？至于如何区分两者，你搞明白了吗？

随着生产、生活的需要，模糊的数的概念在原始人头脑中日渐形成了。人们先认识了与实体相联系的具体的数。如提到2，在他们心里所想到的是“人的耳朵那么多”或“两块石头”等等。数与具体事物结合在一起，在人类发展的黎明时期，还不可能把它们抽象出来。再往后，与实体相脱离的真正抽象的数才被确定下来。我们前面已经提到过抽象的数是经过漫长的时间才形成的。在这一过程中给数命名大概起了很重要的作用。这种从具体的数到抽象的数的形成，意味着人类的抽象思维水平有了一个巨大的提高。反过来，思维水平的提高又会进一步加强人类对数的认识。事物的发展过程总是如此互相促进互相发展的。

数的概念初步形成后，随着文字的出现，人类又考虑如何把数字用符号表示出来。第一步是产生了记数符号。抽象符号的出现，是记数史上的一大飞跃。它也使抽象的数的概念最终定了型。表示数，当数目较少时，采用“傻学生”的办法就是可以的。但是随着数目的增大，就需要简化符号。于是有了第二步：进位制的发明。进位制的思想实际上远在原始人对数进行命名的时候就已具有了。到了记数的时候，这一思想就被古代许多民族不约而同地采用了。不过，不同的民族所采用的进位基数并不相同，甚至可以说是各式各样的。二进、三进、四进、十二进、六十进……但更多被使用的是五进、二十进尤其是十进，这主要是由于人类手指数有十个的缘故。我们对部分重要些的进位基数做了简单的介绍。除了基数不同外，不同的民族对于进位所用的方法也不尽相同。有的是采用加法累数制、有的是用乘法累数制，有的是用分级符号制。进位制的产生，表明人类抽象思维的能力有了进一步发展。但这一些进位方法存在共同的缺陷。其一是记数方法笨拙，当数目较大时，往往要用很多的符号用很长的形式来表示。其二，这种记数方法无法用有限的符号表示出任意大的数目。其三，采用这些记数法来进行数的运算是相当困难的。所以这类记数法只能在人类发展的较低级阶段是合适的，那时用不到大的数目，也没有太大的计算。但是当人类发展到较高阶段后，这类记数法的使用就阻碍了算术的进一步发展。在历史上，欧洲数学在16世纪前之所以落后的原因很大程度上就是他们一直采用笨拙的罗马记数法所造成的。因而，随着社会的进步，从逻辑上讲必须产生出一种新的记数法：位值制记数法。然而历史的发展往往与逻辑不相符。许多民族迈出这关键性的第三步经历了极其艰难的历程。如在欧洲笨拙的记数法甚至已经窒息了算术的发展了，但人们仍然没有自觉地去革新这一记数法。可见，惯性的力量是何其巨大，而革新是何等得困难！实际上，最后欧洲人的革新也不是从自己内部开始的，而是借助于外来的刺激。前面我们已经提到了斐波那契对欧洲所做出的重大贡献。而且我们还看到，即使在斐波那契为西方引入了新的极其优越的记数法后，新与旧的较量仍然持续了那么久的时间呢！

对此，我们会有何感慨呢？尤其是想想明清时代，我们内部的一些东西早已不适应社会的发展并阻碍着社会的进步时，我们自己革新了吗？当我们需要从外来新鲜事物中汲取力量时，我们反而越来越抱紧自己的东西，闭关自守，盲目排外，拒不接受外来事物。最终造成的恶果是我们与外国的差距越来越大。这样的教训对我们来说难道还不惨重还不深刻吗？实际上，发现自己不如人并不可怕。可怕的是发现这一点后拒不承认或者采取回避的态度。当我们不如人的时候，让我们坦白地承认好了，但这种坦白的背后是“我总会超过你的”坚定信念。先承认自己的落后，然后拿出“拿来主义”的勇气努力学习别人的长处，奋起直追，唯有如此才能将信念化为现实。当今我们民族的处境不正要求我们树立这样的信念与态度吗？

为什么位值制的使用在一些民族竟然经历了如此艰难的历程呢？在古巴比伦人那里就已有了位值制的观念，为何古希腊人未能接受这一理论上而言要先进得多的观念呢？前面我们已经看到，古巴比伦的位值制记数法由于不完善造成一些记数方面的混乱，这恐怕是希腊人放弃位值制的重要原因。而要完善位值制，所需要的只是零的使用。古希腊人对巴比伦人的位值制思想存在的问题不是想办法完善，而是采用了放弃的方式，最终导致其数学发展的滞后。这不也是一个教训吗？在革新过程中，有些先进的思路可能由于没有配套措施而行不通，这种时候是放弃呢，还是想法去完善它？历史表明，人们往往只是因为缺乏一个“哥伦布鸡蛋”而放弃掉一种先进的观念或思想呢！以史为鉴，但愿这样的教训能够为我们尽量所避免。

说的这些看似题外话，但又不尽然。学习历史，不单单是记住一些结论，而且更重要的是从中得到一些教益。所以，在后面的部分章结中你还可能读到这样的题外话。如果能对你有所启发，那将是我更愿意看到的。好了，让我们再转回到正题上。

最后，不管怎么说，在花费了难以置信的劳动，发明了现在视为常识般简单的东西后，人类最终采用了完善的十进位值记数系统：印度-阿拉伯记数法。欧洲人在16世纪初，采用了这种记数法。这一记数法13世纪时由伊斯兰教徒从西方传入我国，却在很长时间内未被推广采用。直到1885年在上海出版《西算启蒙》后我们才使用了这一国际通用的记数法。这是由于与我国自己的算筹记数法相比，新的记数法的优越性没有如此突出的缘故。在这一点上，你是不是也有所启发呢？

自然数的概念产生后，在数学上就一直被当作最明显、最基本的概念来应用了。多少世纪以来，没有发生用更简单的概念来说明定义它的问题，直到19世纪，在数学公理化方法发展的影响下，才提出“自然数是什么”的问题。这是后话，我们将放在后面的章节中做讨论。

自然数产生后，除了记数问题外，还伴随着产生了许多其他问题。这是我们在第二节中所谈论的问题。

首先，谈到了数的计算。在未采用优越的记数法以前，许多民族的计算方法极其烦琐，而使得多数人根本不可能掌握。但在采用了优越的记数法后，计算问题就变得非常简单了。我们已提到过，从这一对比中，我们可以领悟到优越记数法的优越处不仅体现在记数上还体现在数的计算上。在算术发展过程中，由于实践和理论上的要求，提出了许多新问题，在解决这些新问题的过程中，古算术得到了进一步的发展。在寻求求解应用问题的一般方法中，发明了抽象符号，从而发展成一古老分支，初等代数。这是后话了。

然后，我们介绍了数产生后出现的另一类问题。这一类问题现在被包含在称为“数论”的数学分支中。虽说包括我国在内的许多民族都曾有过数论的萌芽，但只是在古希腊才对数论进行了更为广泛的研究。

为什么会这样？非常可能是由于古希腊的特殊背景造成的。在古希腊存在着一个特殊的阶层。这一阶层的人们可以专务抽象思考，而不用去操心生计及其他事情。对这些处于社会高层的人们来说，计算的实际应用被叫做计算技能并被认为是不成体统的事，是为“最低层的”人们提供日常生活和事务上的相互关系。而当时的高层人包括毕达哥拉斯要把算术放在“高于商业需要的”地位。因此他们更重视研究的是数的性质，而不是实际的计算。

因而，从某种角度上说，数学是一种文化系统。它受到各民族各自特殊的社会、文化背景的深刻影响。当追溯历史时，这一点可能更加明显。实际上，16世纪末以前的数学，各民族相对独立地发展，形成本民族的文化特色，如埃及、巴比伦、中国、印度、玛雅，希腊、阿拉伯以及欧洲中世纪的数学。除了后面三种有继承关系之外，其他各民族在数学问题、内容、方法上是各具民族特色。

在这一部分中我们还提到了数的计算与数的性质研究所具有的巨大差异。现在数的计算早已不成问题，而数论问题的证明却是困难重重。因而在现在我们更需要将眼光投到后者上面。有那么多的数论问题等着人们去解决，你能攀上这些数学高峰吗？

最后我们介绍了抽象数产生后所产生的数字神秘化、数字崇拜直到数字迷信。我们已经提到，这一过程在古代往往是不可避免的。各民族都经历了这一过程就是最好的证明。但是，早期合理的东西，在发展过程中就不一定再合理。这是事物发展的必然过程。一事物刚出现时，是新事物，但随着社会发展就会变成旧事物，当它已成了旧事物时，如果再敝帚自珍，就是一件很可悲的事了。对待我们的数字文化就应持这种态度。而对数字迷信之类，就更要将之扫地出门了。在科学进步到现今阶段的时候，还相信或者拿占卜算命之类把戏骗人就真是我们民族的悲哀了！