1.3 股票远期/期货合约的定价与估值★★★_CFA二级中文精讲③-QQ阅读男生玄幻网

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1.3　股票远期/期货合约的定价与估值★★★

我们将根据不同的标的资产类型分别介绍国债及不支付股利股票、支付股利股票、付息债券、利率以及外汇远期合约的定价与估值的方法。下面我们就对这些产品远期与期货合约的定价及估值展开讲解。

1.3.1　无股利股票远期合约的定价与估值

在t=0时刻，一份标的资产现价为S0，合约期为T的远期合约价格表示如下：

FP=S0×（1+Rf）^T

远期合约多头方在远期合约签订时，合约期间以及合约到期时的估值如表8-5所示。

表　8-5

为了加深大家对时间轴作图法的理解和记忆，并更好地理解表8-5的内容，我们以股票远期合约为例，运用作图法对远期合约的定价和估值方法进行讲解。

·已知t=0时刻合约双方签订了远期股票合约，其约定在t=T时刻多头方以合约价格FP从空头方处买入股票，并且在t=0时，股票现货价格为S0，求远期合约价格FP为多少？通过图8-9，我们再来回顾一下画图法求解的思路。

·在t=T时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付现金流），同时收到价格为ST的股票资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。

·要求t=0时刻远期合约的价格，需要将发生在期末时刻的支付的现金流以无风险收益率折现至t=0时刻，即，，而ST的现值即为t=0时刻股票的现货价格S0。

·由于远期合约在签订时，合约双方权利义务对等，因此在t=0时刻远期合约价值为0，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即。

·公式变形即可得出远期合约价格，FP=S0×（1+Rf）^T。

图　8-9

通过上述例题，我们求解出了远期合约价格FP，现在我们假设已知t=t时刻股票价格为St，求t=t时刻远期合约的价值Vt为多少。

与上述定价问题求解方法类似，此时我们只需将发生在t=T时刻的现金流和资产价值折现至t=t时刻。我们通过图8-10梳理一下求解思路及过程。

图　8-10

·在t=T时刻时，远期合约多头方将按合约价格支付给空头方FP（向下箭头表示支付的现金流），同时收到价格为ST的股票标的资产（向上箭头表示收到资产价值的现金流）。

·若求t=t时刻远期合约的价格，需要将期末现金流以无风险收益率折现至t=t时刻，即，而ST的现值即为t=t时刻股票的现货价格St。

·t=t时刻，远期合约多头方的价值为PVST-PVFP（向上箭头减去向下箭头），即Vlong=St-。

1.3.2　支付股利股票的远期合约的定价与估值

支付股利股票（dividend paying stock）的远期合约价格与价值计算公式如下。

价格计算公式：FP=（S0-PVD0）×（1+Rf）^T

价值计算公式：

式中　PVD0——在t=0时刻，合约期间股息收入现值之和；

PVDt——在t=t时刻，合约期间股息收入现值之和。

我们继续通过作图法，来深刻理解一下上述两个公式（见图8-11和图8-12）。

1.支付股利股票远期合约的价格

图　8-11

·我们首先来分析远期合约多头方现金流流出的部分（向下箭头）：在t=T时刻，远期股票合约多头方将按合约价格支付FP给空头方，其中FP在t=0时刻的现值为PVFP=。

·远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头）：与期间无现金流流出的远期合约类似，t=T时刻标的资产价格的现值即为t=0时刻该股票的现货价格S0。

·值得注意的是，此处的S0包含了该股票在未来各期所有的现金流，例如t1，t2时刻的股利D1，D2的现值PVD0也都包含在股价S0当中。根据先前的讲解，D1，D2属于持有期的利得，它归合约空头方所有，所以在计算合约价格时，我们应当将该部分持有期的利得从合约价格中扣除。因此远期合约多头方现金流入部分，在t=0时刻的现值应为PVST=S0-PVD0。

·在t=0时刻远期合约价值为0，即V0=0。由此我们可以得出，t=0时刻PVFP=PVST（向上箭头等于向下箭头），即，变形得到FP=（S0-PVD0）×（1+Rf）^T。

按照相同的思路，我们来分析一下在t=t时刻支付股利股票远期合约的价值计算方法。

2.支付股利股票远期合约的价值

与合约价格的求解相类似，合约价值的求解原则依然是将未来各期现金流的折现求和，但与合约价格求解不同，这里我们需要着重区分三个不同时间点的价值，分别是t=t'，t=t″以及t=t'''。接下来我们通过图8-12依次讲解。

图　8-12

·仍以远期合约多头方为例，先观察其现金流流出的部分（向下箭头）。

如图8-12所示，无论是在t'，t″还是t'''时刻，远期股票合约多头方现金流流出部分的现值均可用进行表达。

·再观察远期合约多头方现金流入的部分（向上箭头）。

这里我们仍然是将标的资产未来产生的现金流折现到t时刻，其统一表达式可以写为PVST=St-PVDt，但这里我们就需要对不同时间点t'，t″以及t'''下的股利折现进行讨论。

·在t=t'时刻，股票价格St'中包含D1和D2两笔股利，而这两笔期间股利远期合约多头方均无法获得，因此D1和D2的现值都需要从St中扣除，PVDt=PVD1+PVD2。

·在t=t″时刻，因为D1已经被支付，因此股价St″中只包含D2一笔股利，只需将D2的现值从St中扣除，PVDt=PVD2。

·t=t'''时，因为D1和D2两笔股利均已支付，截止合约到期时，该股票不再支付现金股利，因此St'''中也不应该再包含任何股利，所以在t=t'''时刻价值的求解同期间没有现金流股票求解相同，即PVDt=0。

·根据以上两步以及合约初期V0=0，我们不难求出各t=t时刻，远期合约多头方价值为。

李老师说

（1）在上例中，我们之所以强调区分合约发生的时间点是在t'、t″还是在t'''时刻，是由于计算的不同时间点的远期合约价值与分配股利的时间点是紧密相关的。合约价值位于不同时间点会影响远期合约价格的股票分红的笔数的计量。我们需要记住，位于求解合约价值时点往后的股票分红需要纳入考虑（需要从股价中扣减），而求解时点之前的股票分红并不影响远期合约的价值，因此不需要纳入考虑；对于这一点我们需要格外注意。通过画出时间轴，使各现金流的发生时间点及方向一目了然，这有利于我们做出正确的求解。

（2）无论是计算支付股利股票的价格或是价值，我们这里用到的均为复利计算方法，用365天进行去年化。

1.3.3　股票指数远期合约

以上我们讲解的合约均为标的资产为单一股票远期合约的情形，那么对于标的资产为股票指数（包含多只股票）的远期合约的情况，我们又应当如何求解呢？在具体学习股票指数远期合约价格和价值计算之前，我们需要了解一下股票指数的报价方式以及有关连续复利折现的方法。

1.股票指数的报价方式

与单一股票以货币为单位进行报价的方式不同，股票指数的报价则以点位（point）为单位进行报价。我们在求解远期合约价格与价值时需要以货币为单位计量，那么我们就需要将点位转换成以货币为单位。假设标的资产股票指数的远期合约价格为1000点，对应金额为＄1000000。合约到期时，股票指数点位为1100点，那么该指数对应的金额就为＄1000000×。

2.连续复利折现

先前我们所讨论的折现方法均为离散型折现法。之所以用离散的折现方法是因为单只股票的股利分配是间断不连续的，但如果现在的研究对象是包含了众多股票的股票指数，它所包含的成分股票随时都可能进行股利分配，我们便可以将这种分红形式看作连续分红形式。因此，对该种分红模式下股利进行折现时，我们就需要用到“连续复利无风险收益率”（continuously compounded risk-free rate）以及“连续复利股息收益”（continuously compounded dividend yield）的概念。

·连续复利无风险收益率：