1.4 远期利率协议的定价与估值★★★
1.4.1 远期利率协议的概念
远期利率协议（forward rate agreement，FRA）：是指合约签订双方为了避免未来利率波动的风险，而彼此同意在未来某一期间内，就某一特定金额，订立一个特定的远期利率，而在到期时双方只收（付）当时市场利率与约定的远期利率差额的契约。FRA是关于利率的衍生产品，投资者用其来规避远期利率的波动。FRA的标的资产通常为伦敦银行同业拆借利率（London interbank offering rate，LIBOR）。
术语解释
伦敦银行同业拆借利率：是指国际银行在美国以外货币市场上的美元贷款利率，它是针对定级信用质量的借款人报出的，最为普遍的期限是1个月、3个月以及6个月，它由设在伦敦的英国银行协会所确定。
欧洲美元（Eurodollar）：是指在外国银行或美国银行的外国分支机构中以美元标识的存款。
李老师说
这里我们简单地梳理了一下关于LIBOR的相关知识。LIBOR是指欧洲美元的浮动借款利率，我们可以简单地将LIBOR理解为美元的浮动借贷利率。
大家思考一下，一个以LIBOR进行借款的债务人，一定非常担心LIBOR上升，从而增加其借款成本。相反，一个希望获得LIBOR收益率的投资人（债权人），一定非常担心LIBOR下降，从而减少其收益。那么对于这样的债权人及债务人而言，他们都可以通过FRA来对冲利率风险对其造成的损失影响。
·FRA的多头方可以被视作将来有权利或义务以协议约定利率进行资金借入的一方，即借款方（borrower）。因此他是支付固定利率、收到浮动利率的一方（floating receiver）。★
·FRA的空头方可以被视作将来有权利或义务以协议约定利率进行资金借出的一方，即贷款方（lender）。因此他是支付浮动利率、收到固定利率的一方（fixed receiver）。★
李老师说
考试中常出现如何运用FRA头寸对冲（hedge）风险的考题，针对这一类型的题目，我们可以运用“担心某一事情发生，就需签订一份该事件发生能够带来收益补偿的合约即可”的原则来确定FRA的头寸方向。
例如，借款方担心因为利率的上升，会导致其借款成本增加，此时借款方就需要签订一个通过利率上升能够使其获利的FRA。因为FRA的标的资产及报价就是LIBOR，那么当LIBOR上涨时FRA多头方的价值也随之上升，即LIBOR上升可以使FRA多头方获益。因此，借款方需通过进入FRA的多头头寸来进行风险对冲。相反，如果贷款方担心LIBOR下降，那么他就应当进入FRA空头方以对冲风险，并且在LIBOR下降时获利。
·FRA合约之间并未发生真正的借贷行为，FRA的本质是一种现金交割方式的合约，即用合约双方价值差额进行结算。
·FRA的计算通常采用单利模式。如前所述，运算过程中我们进行去年化处理时需要用360天，而非365天。
1.4.2 FRA的报价★
接下来，我们通过1×4 FRA举例说明，1×4 FRA的形式表明：
图 8-15
·远期合约期限为1个月。
·借款将于4个月后到期。
·借款期限为3个月，合约的标的资产为从合约签订日起，30天后的90天的LIBOR报价。
我们通过时间轴来说明上述三点（见图8-15）。
·1×4 FRA中的“1”和“4”分别代表距离当前时间点1个月和4个月的期限。
·t1代表借款开始时间，t2代表借款结束时间，1×4 FRA即借款将从t=0时刻之后1个月开始，并于t=4个月时结束。
·由此，借款的期限为t=1至t=4这3个月时间。
·由于借款期限时长为3个月，那么确定的借款利率LIBOR应为90天的LIBOR。
·远期利率协议FRA的期限即为t=0至t=1这1个月的期间。
·这样借款结算期限为t=0至t=4，即4个月时间。
李老师说
1×4 FRA涉及非常关键的两个信息：一是我们需要选择多长时间期限的利率水平对未来现金流进行折现；二是我们实际借款期限决定了在FRA到期后，需要以多长期限的LIBOR作为借款利率。对于这两个概念，我们一定要区分清楚。
考点总结
·FRA的标的资产为欧洲美元的借款利率LIBOR，且LIBOR是以单利形式计算的浮动利率。
·在FRA中多头方有权利和义务以合约约定的利率进行借款，空头方有权利和义务以合约约定的利率水平进行贷款。
·FRA是以现金进行差额结算的合约，因此合约期间并没有实际的借款在多头和空头之间进行转移。
·FRA的报价的含义。
1.4.3 LIBOR
伦敦银行同业拆借利率具有以下特征：
·是基于360天计算的年化利率（单利形式）。
·是以附加利率（an add-on rate）形式表现的利率。
·常作为欧洲美元的浮动借款利率。
·每日由伦敦银行协会进行公布。
1.4.4 FRA的定价
对于FRA的定价，我们依然可以通过画图法求解t=0时刻FRA的价格（仍以合约多头方为例），如图8-16所示。
图 8-16
·根据FRA报价规则，1×4 FRA的合约期限为30天，借款期限为90天（从30天开始，120天结束）。
·FRA现金流流入（向上箭头表示）。
虽然FRA合约并不进行实际本金的转移，但是我们可以将其看作在借款起始日，即t=30时FRA多头方有一笔本金金额为NP的名义本金现金流入。
其在t=0时刻的现值为
。
·FRA现金流流出（向下箭头表示）。
在t=120时刻，多头方需按FRA约定利率水平归还该借款的本息和，即NP×
，其在t=0时刻的现值为
。
·根据V0=0，即
，我们可以求解出FRA价格。
李老师说
这里有以下两点需要特别注意。
（1）FRA的计算，均采用单利计算的模式，因此去年化时使用的天数为360天。
（2）由于FRA多头方的现金流入及流出发生时间点并不相同，如上例，现金流入（NP）发生在t=30时刻，而现金流出，即归还借款本息和，发生在t=120时刻。由此，在进行折现时，我们对这两笔现金流折现时采用了不同的折现率，分别为r30及r120。
1.4.5 FRA的估值
首先我们思考一下，若求t=t时刻FRA多头方的价值，这里的t应小于FRA的期限，我们沿用此前1×4 FRA的例子，即t应该小于30。
我们沿用上例，求在t=10时刻该FRA合约对于多头方的价值，同样采用画图法对FRA在t=t时刻的价值进行求解（见图8-17）。
图 8-17
·在t=10时刻，此时1×4 FRA的FRA合约期限还剩20天，借款期限为90天，借款于110天后到期。
·FRA现金流流入（向上箭头表示）。
虽然FRA合约并不进行实际本金的转移，但是我们可以将其看作在借款起始日，即t=30时FRA多头方有一笔本金金额为NP的名义本金现金流入。
其在t=10时刻的现值为
。
·FRA现金流流出（向下箭头表示）。
在t=120时刻，多头方需按FRA约定利率水平归还该借款的本息和，即NP×
，其在t=10时刻的现值为
。
·我们用合约多头方收到的现金流减去其流出的现金流，即可以得到在t=10时刻，FRA合约对于多头方的价值，即
。
李老师说
我们将FRA价格及价值计算中涉及的利率总结如下。
·FRA合约规定了借款利率水平。
·rt1，rt2用于确定各期现金流折现的折现率。
·FRA中涉及的各期利率均用单利法进行折现。
我们这里计算FRA价格及价值的画图计算法与教材介绍的尽管不同，但殊途同归。我们并不建议大家对教材列举的诸多公式进行记忆，因为这些公式较为复杂，不便于理解及记忆。相反，采用画图法对FRA的价格及价值进行求解更为直观，大家只要理清各现金流流入流出时点，并采用单利进行折现，相关问题便可迎刃而解。
【例题】
计算1×4 FRA的价格。已知30天LIBOR利率为3%，120天LIBOR利率为3.9%。
解答：采用画图法进行求解（见图8-18）。
图 8-18
（1）根据FRA报价规则，1×4 FRA中FRA的期限为30天，借款期限为90天，FRA合约将在120天后进行结算。
（2）FRA现金流流入（向上箭头）。
我们将该合约视为t=30时FRA多头方有一笔本金为NP的名义本金现金流入。采用30天LIBOR进行折现，其在t=0时刻的现值为
。
（3）FRA现金流流出（向下箭头）。
在t=120时，多头方需按FRA约定利率归还该借款本息和，即
，采用120天LIBOR进行折现，其在t=0时刻的现值为
。
（4）根据V0=0，即
FRA=4.2%，即FRA=4.2%。
【例题】FRA的计算
某公司进入1×4的FRA以规避未来存款利率下降的风险。假设合约的名义本金为100万英镑，合约初始时的FRA为0.50%，30天后，90天的LIBOR为0.60%，FRA合约结算适用的折现率为0.45%。
要求：
（1）计算存款到期时，该公司实际支付的利息金额。
（2）计算该公司收到的结算金额。
解答：
（1）因为该公司担心银行存款的利率下降，因此进入的是FRA的空头方。空头方是支付浮动利率、收到固定利率的一方，所以在存款到期时，也就是4时刻，该公司应该按照浮动利率支付利息，即：
（2）利息的结算有两种方式，一种是先付，一种是后付。先付指的是在借款开始时，即1时刻进行结算；后付指的是在借款结束时，即4时刻进行结算。对于FRA来说，一般使用先付的形式进行结算，对于互换合约和互换期权来说，一般使用后付的形式进行结算。
前文中也提到过，FRA是使用净额进行结算的，净额取决于30天后90天的LIBOR与期初FRA之间的差。又因为FRA使用的是先付的形式进行结算，所以我们需要将该差额往1时刻（30天时）进行折现来计算结算金额。
该公司是FRA的空头方，收到的是固定利率（0.50%），支付的是浮动利率（0.60%），所以它收到的结算金额为：
负数代表该公司应该向对手方支付249.71英镑，因为该公司是空头方，利率上升对它不利，所以空头方有亏损。