2.2 水下DEM模型的表达
水下钴结壳矿区的环境建模，就是一个将真实的、连续的水下地形数据离散化的过程。水下地貌本身是连续的，在大地参考系下存在着无限多个高程点。但是从环境建模和路径规划的角度上考虑，按照一定的规则将连续高程数据离散化才能为建模和规划的数据计算和存储提供可能。
2.2.1 水下DEM模型
水下DEM模型是对可开采区地貌的离散表达。根据表示方法不同，DEM可分为规则格网（Grid）和不规则三角网（TIN）[124]。为了计算和存储方便，采用在水下平面参考系o-xyz上平行于X轴和Y轴的方向等间隔排列点所对应的高程z表示地形，从而构成了一个矩形栅格网。
三维地形表面的表达通常是在二维空间上进行描述的[124]，文献[125]证明了地形的相对不变性特征，即DEM数据中高程z可用函数
z=f（x，y） （2-1）
表示。式中，（x，y）为水下平面∑0上等间隔点列中任意点的横纵坐标。
水下DEM就是定义在机器人运动空间MR上三维向量的有限序列。
{Vi=（xi，yi，zi），i=1，2，…，N} （2-2）
式中，（xi，yi，zi）∈MR，zi=f（xi，yi）为（xi，yi）对应的高程，N为DEM中的数据点总数。
DEM的数学特征有两点[124]：
1）单值性，DEM只能表达地表单元某处的一个高程值，而不能表达同一个位置上的多个高程值，因此从这点上看，DEM的几何维数是2.5维，如图2-1所示。
图2-1 DEM单值特征
2）DEM所表达的曲面连续而不光滑，DEM单元内部是光滑数学曲面函数，但是单元之间的曲面法向量并不是平缓过渡，在单元连接处存在突变，如图2-2所示。
图2-2 连续DEM
在水下钴结壳矿区，共有23种不同底质[126]（如图2-3所示），依据机器人开采需要和行驶特性分析，可整合成三大类：
图2-3 可开采区水下地貌
1—泥砾沙混合物；2—裸露基岩；3—钴结壳
1）泥砾沙混合物（包括砾、砂质砾、泥质砂质砾、泥质砾、砾质砂、砾质泥质砂、砾质泥、含砾砂、含砾泥质砂、含砾泥、砂、泥质砂、砂质泥和泥）。
2）裸露基岩（包括玄武岩、火山砾质岩、礁灰岩、火山凝灰岩、碳酸盐岩、燧石岩、泥岩和磷块岩）。
3）钴结壳。
在水下环境信息综合获取过程中，通过超声探测的方式，能够建立水下含底质类属性的DEM模型，这样，水下DEM就转化成一个四维混合属性数据的有向序列
{Vi=（xi，yi，zi，bi），i=1，2，…，N} （2-3）
式中bi∈Rc，Rc为DEM不同位置点的类属性集。有
Rc={b1，b2，b3}={cobalt-rich，rock，mud-gravel-sand} （2-4）
2.2.2 DEM模型的栅格化
为了便于使用管理，减少数据存储量，可利用在x、y方向上都是等间隔排列的一系列地形点的高程z表示地形，形成一个矩形栅格网DEM[46]（如图2-4所示）。这样，对于矩形格网中的任意一点pij，其平面坐标（xi，yj）就可以通过该点在DEM数据中的行列号j和i、DEM的左下角起始坐标（x0，y0）、格网间距Dx和Dy、DEM的行列数Nx和Ny进行推算。
图2-4 栅格化的DEM模型
其中，如果采用正方向栅格，即Dx=Dy=d时，有（xi，yj）与（x0，y0）的关系为
（2-5）
记g为机器人运动域MR中任意栅格，MR中栅格集合为GR；栅格g的右上角顶点在o-xyz上对应确定坐标（x，y，z），记作g（x，y，z），x=row，y=col。式中，row为g所在的行号，col为g所在的列号。为了和序号一致及方便，定义左下角第一个栅格坐标为（1，1）。令Cg为栅格序号集，g（1，1）序号为1，g（1，2）序号为2，…，g（2，1）序号为（Nx+1），…，其中单位为d，如图2-5所示。
图2-5 栅格坐标与序号关系
gk∈GR的坐标（xk，yk）与序号k构成互为映射关系，k的坐标可由式（2-6）、式（2-7）确定
xk=[（i-1）modNx]+1 （2-6）
yk=int[（i-1）/Nx]+1 （2-7）
式中，int为舍余取整运算，mod为求余运算。