0.2 现代控制理论的研究范围

现代控制理论是应用状态空间法对多输入多输出、线性或非线性、定常或时变系统的状态进行分析与综合的理论。其采用状态空间表达式作为系统的动态模型，以能控性、能观测性揭示系统外部特性（输入、输出）与内部特性（状态）之间的关系，采用状态反馈、极点配置的方法对系统进行综合，以实现系统性能指标最优控制。现代控制理论的研究范畴主要有如下几个方面。

1.系统辨识

基于动态系统在状态空间的数学模型进行分析和控制是现代控制理论的特点之一。因此，系统辨识和建模是现代控制理论重要研究范畴之一。当系统较复杂时，解析法建模不再适用，而需采用实验研究的方法即系统辨识方法。在基于试验前知识所提出的被辨识系统模型的类型中，根据对所选择的输入试验信号作用下的被辨识系统输出响应的观测，估计被辨识系统等价数学模型的结构参数和模型参数，并进行模型校验。其中，参数估计是系统辨识中最重要和发展最快的研究领域，已出现很多参数估计的计算方法，如基于脉冲响应的脉冲响应法、相关函数法、局部辨识法；基于最小二乘法的加权最小二乘法、递推最小二乘法、广义最小二乘法等；基于似然函数的极大似然法等。

2.线性系统理论

线性系统理论是现代控制理论中应用最广泛的独立分支，也是现代控制理论的基础。其采用状态空间法对线性动态系统进行定量分析（即确定在不同输入控制作用下系统状态的动态响应）和定性分析（即稳定性、能控性、能观测性分析），并采用状态反馈配置闭环极点的方法控制并改善系统状态的动态响应。因此，线性系统理论主要包括动态系统的状态空间描述、状态方程的求解、能控性、能观测性和稳定性分析、状态反馈及状态观测器设计等内容。

低阶线性定常系统的稳定性分析，既可采用李亚普诺夫稳定性判据的第一法（间接法），即求系统微分方程的解，根据解的性质判断系统稳定性；也可采用李亚普诺夫稳定性判据的第二法（直接法），即不求解系统微分方程，而是构造“李亚普诺夫函数”，并根据该标量函数的正定性及其导数的负定性直接判别系统稳定性。李亚普诺夫直接法提供了判别任何复杂系统稳定性的方法，在高阶线性定常系统、非线性系统、时变系统稳定性分析中有显著优势，应用广泛。因此，尽管基于状态变量法的李亚普诺夫稳定性理论是1892年提出的，但控制系统的李亚普诺夫稳定性分析仍是现代控制理论的组成部分。

在状态空间法的基础上，派生了基于几何方法的线性系统几何理论、基于抽象代数的线性系统代数理论及基于经典频率法的线性系统多变量频域理论等新分支。

3.最优控制

最优控制是现代控制理论的核心。最优控制问题就是在多种约束条件下寻找使系统某个性能指标泛函取极值的控制规律，故其数学本质是求某泛函的条件极值问题，即变分学问题。针对经典变分法只适用于求解无约束或容许控制属于开集的最优控制问题的局限，20世纪50年代，庞特里亚金提出“极小值原理”，发展了经典变分原理，以处理容许控制属于闭集的最优控制问题。与此同时，贝尔曼为解决多级决策问题，提出“动态规划”。“极小值原理”和“动态规划”是研究最优控制问题最重要的两种方法。随着控制理论的发展，最优控制也有很大发展，如分布参数的最优控制、随机最优控制、大系统的最优控制等。

4.最优滤波（最佳估计）

最优控制规律是被控系统内部状态向量的函数，但由于被控系统和测量装置存在随机干扰和测量装置的限制，一般难以精确地测量出系统全部状态的信息。故基于已建立的系统数学模型，从夹杂着随机噪声的系统输入/输出的量测数据中，采用统计方法，针对一定统计规则（如最小方差估计、极大似然估计、最小二乘估计等）求出系统状态的最优估计，即最优滤波是闭环系统最优控制工程实现的前提。基于最小方差准则的维纳滤波和卡尔曼滤波是得到广泛应用的两种最优线性滤波方法。20世纪40年代提出的维纳滤波方法开创了应用统计方法研究随机控制问题的新领域，但其仅是对平稳随机过程最优滤波的方法；20世纪60年代提出的卡尔曼滤波理论克服了维纳滤波理论的局限性，适用于非平稳随机过程，已在通信、控制、导航及其他具有随机信号处理的很多领域得到广泛应用。对非线性系统，由于在理论上难于找到严格的递推滤波公式，目前一般采用非线性滤波线性化的近似方法（如连续型和离散型线性化卡尔曼滤波、推广的卡尔曼滤波）处理非线性滤波问题。

5.自适应控制

系统的不确定性（如被控对象参数未知或工作状况改变和环境变化引起系统参数改变）是对基于数学模型的传统控制的挑战，自适应控制正是为解决环境和被控对象参数有较大变化时系统仍能自动保持在接近某种意义下最优运行状态这一问题提出的。“自适应控制”基于在线辨识系统数学模型，将系统当前性能与最优性能比较，实时调整控制器的结构、参数，即修改最优控制规律，以保证系统适应环境和被控对象参数变化，保持最优性能。模型参考自适应控制系统和自校正控制系统是自适应控制系统的两种基本形式。目前，自适应控制理论仍在迅速发展之中，这反映了现代控制系统向智能化、精确化方向发展的总趋势。