4.2 立体与立体相交

机械零件中常常出现立体与立体相交的情形。为了清晰地表达零件的形状，应该把立体表面交线的投影绘制出来。

立体与立体相交称为相贯，立体相贯时表面产生的交线称为相贯线（如图4-13所示）。

相贯线具有以下性质：

1）表面性。相贯线必位于相交两立体的表面上。

2）共有性。相贯线是相交两立体表面上的共有线，线上的点都是相交立体表面上的共有点。

3）封闭性。相贯线一般由封闭的空间曲线或折线组成，特殊情况下，相贯线是封闭的平面曲线或平面折线。

4.2.1 平面立体与回转体相贯

平面立体与回转体相贯，相贯线是由若干段平面直线或曲线围成的封闭空间折线，折线的每一段为平面体的棱面与回转体表面的交线。所以，求相贯线的实质是求平面体的棱面与回转体表面的截交线。

例4-10四棱柱与圆柱体相交，已知俯视图和左视图，求作主视图（如图4-14（a）所示）。

解：

（1）空间及投影分析

相贯线由四棱柱的四个侧棱面与圆柱面的交线组成，其中，前、后两个棱面与圆柱的轴线平行，交线为两段与圆柱体轴线平行的直线；左、右两个棱面与圆柱的轴线垂直，交线为两段圆弧。

四棱柱的四个侧棱面的水平投影有积聚性，圆柱面的侧面投影有积聚性，根据相贯线的共有性，相贯线的投影在左视图上积聚在圆柱面的侧面投影上，为棱柱面和圆柱面投影共有的圆弧；在俯视图上积聚在棱柱的水平投影上。

（2）作图

如图4-14（b）所示，相贯线的侧面投影为圆弧4″6″1″和3″5″2″；相贯线的水平投影积聚在棱柱的水平投影上，即四边形1-2-3-4。利用点的规律分别求出各点的正面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′，依次连接成相贯线的投影，结果如图4-14（c）所示。

例4-11已知三棱柱与圆柱相交的俯视图和左视图（如图4-15（a）所示），求作主视图。

解：

（1）空间及投影分析

如图4-15（b）所示，三棱柱的三个侧面均与圆柱表面相交，因此相贯线由三个侧面与圆柱面的截交线组成。其中，后侧面与圆柱的轴线平行，交线为一段直线；另外两个侧面与圆柱的轴线倾斜，交线为两段椭圆弧。

三棱柱的三个侧棱面的水平投影有积聚性，圆柱面的侧面投影有积聚性，由相贯线的共有性可知，其侧面投影积聚在左视图的圆弧上，水平投影积聚在俯视图的三角形上，因此，相贯线的侧面投影和水平投影均为已知。

（2）作图

① 作出两相交立体的轮廓草图，并作出三棱柱的后侧面与圆柱面交线的正投影1′2′。

② 作出三棱柱另外两个侧面与圆柱面交线的正投影1′4′3′和2′5′3′。如图4-15（c）所示，4′、5′分别为两段椭圆的最高点，位于圆柱体主视图的回转轮廓线上。

③ 检查。首先检查回转轮廓线的投影。从俯视图中可以看出，圆柱体的正面投影回转轮廓线在IV，V之间的部分已经融入整个形体的内部，因此在主视图中4′，5′之间的回转轮廓线不应画出。其次检查可见性，交线 1′2′不可见，应画为虚线。从俯视图可以看出，椭圆弧 14和25段均位于圆柱体的后部，因此在主视图中1′4′和2′5′应画为虚线。主视图中三棱柱左、右两条侧棱在圆柱体回转轮廓线以下的部分也不可见，也应画为虚线。最后将其他可见部分加粗，结果如图4-15（d）所示。

4.2.2 回转体与回转体相贯

两回转体相贯，其相贯线的形状取决于两个回转体各自的形状、大小和相对位置关系，一般情况下为封闭的、光滑的空间曲线，曲线上的每一个交点都是两回转体表面的共有点。

求相贯线的方法一般有两种：利用积聚性表面取点法和辅助面法。

1）求作两回转体相贯线的投影时，一般是先作出两回转体表面上的一些共有点的投影，再连成相贯线的投影。当两个回转体中有立体表面的投影具有积聚性时，可以用在回转体表面上取点的方法作出这些点的投影。

2）如果回转体表面没有积聚性，通常可用辅助面来求作这些点，也就是先求出辅助面与这两个立体表面的两条交线，然后再求出这两条交线的交点（交点为三面共点），即为相贯线上的点。辅助面可用平面、球面等。

3）在求作相贯线上点的投影时，由于相贯线的投影一般都是曲线，应在可能和方便的情况下，适当地先作出一些在相贯线上的特殊点，即能够确定相贯线的投影范围和变化趋势的点，如相贯体的曲面投影的回转轮廓素线上的点，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后点等，然后按需要再求作相贯线上一些其他的一般点，从而准确地连出相贯线的投影。在判别相贯线的可见性时要按如下规则：只有一段相贯线同时位于两个立体的可见表面上时，这段相贯线的投影才是可见的；否则，就不可见。

1．利用积聚性表面取点法

该法就是利用投影具有积聚性的特点，确定两个回转体表面上若干共有点的已知投影，然后采用在回转体表面上找点的方法求出它们的未知投影，从而画出相贯线的投影。

例4-12 如图4-16（a）所示，求作两正交圆柱的相贯线的投影。

解：

（1）空间及投影分析

两圆柱的轴线垂直相交，有共同的前后对称面和左右对称面，小圆柱全部穿进大圆柱。因此，相贯线是一条封闭的空间曲线，且前后、左右对称。

由于小圆柱面的水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影便重合在其上；同理，大圆柱面的侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影也就重合在小圆柱穿进处的一段圆弧上，且左半和右半相贯线的侧面投影相互重合。于是问题就可归结为已知相贯线的水平投影和侧面投影，求作它的正面投影，因此，可采用在圆柱面上取点的方法，作出相贯线上的一些特殊点和一般点的投影，再顺序连成相贯线的投影。

通过上述分析，可想象出相贯线的大致情况。

（2）作图

① 作特殊点。如图4-16（b）所示，先在相贯线的水平投影上定出最左、最右、最前、最后点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 的投影1、2、3、4，再在相贯线的侧面投影上相应作出1″、2″、3″、4″。由1、2、3、4和1″、2″、3″、4″作出1′、2′、3′、4′。可以看出：Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ 分别是相贯线上的最高、最低点。

② 作一般点。如图4-16（c）所示，在相贯线的侧面投影上，定出左右、前后对称的四个点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 的投影5″、6″、7″、8″，由此可在相贯线的水平投影上作出5、6、7、8。由5、6、7、8和5″、6″、7″、8″即可作出5′、6′、7′、8′。

③ 按相贯线水平投影所显示的诸点的顺序，连接诸点的正面投影，即得相贯线的正面投影。对正面投影而言，前半相贯线在两个圆柱的可见表面上，所以其正面投影1′、5′、3′、6′、2′为可见，而后半相贯线的投影1′、7′、4′、8′、2′为不可见，与前半相贯线的可见投影相重合。最终结果如图4-16（d）所示。

关于两圆柱正交相贯，还应注意以下几个问题：

（1）相贯线的形式

两轴线垂直相交的圆柱，在零件上是最常见的，它们的相贯线一般有图4-17所示的三种形式：

① 图4-17（a）表示小的实心圆柱全部贯穿大的实心圆柱，相贯线是上下对称的两条封闭的空间曲线。

② 图4-17（b）表示圆柱孔全部贯穿实心圆柱，相贯线也是上下对称的两条封闭的空间曲线，就是圆柱孔的上下孔口曲线。

③ 图4-17（c）所示的相贯线，是长方体内部两个圆柱孔的交线，同样是上下对称的两条封闭的空间曲线。

以上三个投影图中所示圆柱无论以内表面还是外表面出现，其相贯线都具有同样的形状，其分析方法和作图方法也是相同的。

（2）两正交圆柱相贯线随两圆柱直径大小的变化

两个相交圆柱体的直径发生变化时，相贯线的形状也随之改变，如图4-18所示。当两圆柱直径不等时，在非圆投影（图中主视图）上，相贯线总是向着直径较大的圆柱体的轴线弯曲（图4-18（a）和（c））。当两个圆柱体直径相等时，相贯线变为两条平面曲线（椭圆），在非圆视图上，其投影为两条相交直线（图4-18（b））。

（3）两圆柱正交时相贯线的近似画法——圆弧画法

当两圆柱的直径差别较大，并对相贯线形状的准确度要求不高时，允许采用近似画法，即用圆弧代替相贯线的非积聚性投影，该圆弧的圆心位于小圆柱的轴线上，半径等于大圆柱的半径。画图过程如图4-19所示。

2．辅助平面法

所谓辅助平面法就是根据三面共点的原理，即作一辅助平面P，使它与两回转体都相交，得到两条截交线，两条交线的交点一定是两个相贯体表面和辅助平面的共有点，即为相贯线上的点。

辅助平面法的作图步骤：

1）作辅助平面与两个相贯的立体相交。

为便于作图，一般选择特殊位置的平面作为辅助平面（通常为投影面的平行面），并使所选择的辅助平面与两个相交立体表面所产生的截交线的投影简单易画（直线或圆）。例如，对于圆锥与圆柱相贯，可以选择如图4-20所示的两种辅助平面。

2）分别求出辅助平面与相贯两个立体表面的交线。

3）求出交线的交点，即为相贯线上的点。

例4-13已知圆柱与圆锥的轴线垂直相交，补画主视图和俯视图上相贯线的投影。

解：

（1）空间及投影分析

由图4-20 可见相贯线是一条封闭的空间曲线，且前后对称，前半、后半相贯线正面投影相互重合。由于圆柱面的轴线垂直于 W 面，其侧面投影积聚为圆。因此，相贯线的侧面投影必重合在该圆上。相贯线的正面投影和水平投影没有积聚性，应分别求出。

选择辅助平面时，应该使它和两立体表面交线的投影简单易画，并且两条交线要相交，对圆柱而言，辅助平面应平行或垂直于轴线；对圆锥而言，辅助平面应垂直于轴线或通过锥顶，综合以上情况，只能选择如图4-20所示的两种辅助平面：

① 平行于柱轴且垂直于锥轴，即水平面（如图4-20（a）所示）。

② 通过锥顶且平行于柱轴，即通过锥顶的侧垂面或正平面（如图4-20（b）所示）。

（2）作图

① 找特殊点Ⅰ和Ⅱ。如图4-21（b）所示，通过锥顶作正平面N，与圆柱面相交于最高和最低两条素线，与圆锥面相交于最左素线，在它们正面投影的相交处作出相贯线上的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ的正面投影1′ 和2′。由1′、2′分别在NH和NW上作出1、2和1″、2″。

② 找特殊点Ⅲ和Ⅳ。如图4-21（b）所示，通过柱轴作水平面P，与圆柱面相交于最前、最后两条素线，与圆锥面相交于水平圆，在它们的水平投影相交处，作出相贯线上的最前点Ⅲ和最后点Ⅳ的水平投影3和4。由3、4分别在PV、PW上作出3′、4′（3′、4′相互重合）和3″、4″。由于3和4就是圆柱面水平投影的回转轮廓线的端点，也就确定了圆柱面水平投影的回转轮廓线的范围。

③ 找一般点Ⅴ和Ⅵ。如图4-21（c）所示，结合图4-20（a），作水平面Q，与圆柱面相交于前、后两条素线，与圆锥面相交于水平圆，它们水平投影的交点就是相贯线上的点Ⅴ和点Ⅵ的水平投影5和6，根据点的投影规律求出其侧面投影5″和6″，再求出5′和6′，Ⅴ和Ⅵ是相贯线上的一对前后对称点。

④ 连线与检查。按侧面投影中诸点的顺序，把诸点的正面投影和水平投影分别连成相贯线的正面投影和水平投影。按照“只有同时位于两个立体可见表面上的相贯线，其投影才可见”的原则，可以判断：35164可见，423不可见，1′5′3′2′可见，1′6′4′2′不可见，且与1′5′3′2′重合。根据圆柱和圆锥的相对位置可以看出，圆柱面的水平投影的最前、最后回转轮廓线是可见的。最后结果如图4-22（d）所示。

例4-14 将图4-16中铅垂小圆柱前移一段，如图4-22（a）所示，求相贯线的投影。

解：

（1）空间及投影分析

从图4-22（b）可知，小圆柱体穿过大圆柱体，两个圆柱体的轴线彼此垂直，但不相交，此时称为偏交，相贯线是一条光滑、封闭的空间曲线。大圆柱体的侧面投影和小圆柱体的水平投影分别积聚为圆，因此，相贯线的侧面投影和水平投影均为已知，分别积聚在左视图大圆的部分圆弧和俯视图的小圆上。

（2）作图

① 利用表面取点法作出特殊点的投影。如图4-22（c）所示，可直接在俯视图中找到以下特殊点：大圆柱回转轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ，小圆柱回转轮廓线上的点Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ。利用圆柱体表面取点的方法，可以直接找到这6个特殊点的三面投影。

② 再利用辅助平面法作出一般点的投影。如图4-22（c）所示，在特殊点之间要确定出一般点的投影。可作出一个正平面P作为辅助平面，PH，PW分别是P的水平投影和侧面投影。正平面P与小圆柱交于两条铅垂线，与大圆柱交于两条侧垂线，分别作出这两条交线，它们的交点Ⅶ，Ⅷ 即为求出的一般点。

③ 将各个点依次光滑地连接起来，形成相贯线。

④ 检查。首先检查相贯线的可见性。从俯视图可以看出，相贯线Ⅲ-Ⅰ-Ⅵ-Ⅱ-Ⅳ 段位于小圆柱体的后部，因此，主视图中3′-1′-6′-2′-4′部分不可见，应画成虚线。其次检查圆柱体回转轮廓线的投影。回转轮廓线必须画到其上的特殊点为止。小圆柱在主视图上的回转轮廓线应画到特殊点 3′，4′，点 3′，4′以下部分的小圆柱已进入大圆柱内部，故回转轮廓线不复存在。大圆柱在主视图上的回转轮廓线应画到特殊点 1′，2′，点 1′，2′之间部分的大圆柱已进入小圆柱内部，故回转轮廓线已不存在。

注意：由于大圆柱正面投影的回转轮廓线有一部分位于小圆柱正面轮廓线的后面，因此这部分为不可见，应画为虚线（详见右下方放大图）。最后将可见轮廓加粗，如图4-22（d）所示。

此例也可以用表面取点法作图，读者可自己尝试作出。

关于两偏交圆柱相贯，还应注意当两个回转体的相对位置发生变化时，相贯线的形状也将随之变化。图4-23（a）中两圆柱轴线正交，相贯线前后对称，且为上下两条；图4-23（b）中小圆柱前移，相贯线前后不再对称，但仍为上下两条；图4-23（c）中两圆柱在前面轮廓线处相切，相贯线在切点处出现尖点；图4-23（d）中小圆柱的一部分移出，形成两个圆柱互贯，相贯线为一条空间曲线；图4-23（e）中小圆柱只与大圆柱的前半部分相贯，相贯线也为一条空间曲线，而大圆柱的最高和最低轮廓素线保持完整。

3．相贯线的特殊情况

在一般情况下，两回转体的相贯线是空间曲线，但在一些特殊情况下，也可能是平面曲线或直线。下面介绍相贯线为平面曲线的两种比较常见的特殊情况。

1）两回转体公切于一球体时，其相贯线是两个椭圆，若轴平面为投影面的平行面，则相贯线在该投影上积聚成直线段，如图4-24、图4-25所示。

2）两个同轴回转体的相贯线，是垂直于轴线的圆，如图4-26（a）所示的圆柱和圆球相贯体；如图4-26（b）所示为圆柱、圆球和圆锥相贯，由于它们的轴线都是铅垂线，故相贯线均为水平圆。

3）两平行轴线的圆柱相交及共锥顶的圆锥相交，其相贯线为直线或圆弧，其投影如图4-27所示。