第4章 立体表面的交线
平面与立体相交或两立体相交，立体表面就会产生交线，本章主要讨论立体表面交线的画法。
4.1 平面与立体相交
在机械零件中经常可以看到平面与立体相交的情况，例如，图4-1（a）所示车刀刀头是用多个平面切割四棱柱得到的，图4-1（b）所示接头的槽口和凸榫是由圆柱体经过多个平面切割得到的。从图中可以看出，当平面与立体相交时，会在立体表面产生交线。为了清楚地表达物体的形状，画图时应将这些交线的投影画出。
图4-1 平面与立体表面相交
用平面截切立体，与立体相交的平面称为截平面。截平面与立体表面相交产生的交线，称为截交线（如图4-1（c）所示）。
1．截交线的性质
1）截交线一般是由直线、曲线或直线和曲线围成的封闭的平面多边形。
2）截交线的空间形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置，截交线的投影形状取决于截平面与投影面的相对位置。
3）截交线是截平面与立体表面的共有线，也就是说，截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点，既在截平面上，又在立体表面上。
2．求截交线的方法和步骤
1）空间及投影分析。分析被截立体的形状及截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的空间形状；分析截平面及被截立体与投影面的相对位置，并根据平面投影特性（实形性、积聚性、类似性）找到截交线的已知投影，预见未知投影，使作图更具针对性。
2）作图。求出截平面与立体表面的若干个公共点的投影，依次连接即为截交线的投影。
4.1.1 平面与平面立体相交
1．平面立体表面截交线的投影特性
平面与平面立体相交产生的截交线具有如下特性：
1）截交线是截平面与平面立体表面的共有线，也就是说，截交线上的点都是截平面与平面立体的共有点。
2）截交线是若干条首尾相连的直线，它们围成封闭的平面多边形。多边形的顶点是截平面与立体各棱线的交点，多边形的形状取决于截平面与立体的相对位置。
2．求截交线的方法
找到截平面与平面立体各棱线的交点，并将它们依次连接起来，即为截交线。因此，求平面立体的截交线可采用两种方法：
1）求截平面与平面立体各表面的交线，实质上为求两平面的交线，称之为棱面法。
2）求截平面与平面立体各棱线的交点，实质上为求直线与平面的交点，然后连接成截交线，称之为棱线法。
实际作图时，可视具体情况灵活运用两种方法。
例4-1 如图4-2（a）所示，正四棱锥被正垂面P截切，作出截切后的三视图。
图4-2 平面截切四棱锥
图4-2 平面截切四棱锥（续）
解：
（1）空间及投影分析
截平面 P 与正四棱锥的四个棱线都相交，截交线必为四边形，它的四个顶点为截平面 P与四条侧棱线的交点。
由于截平面P为正垂面，故截交线的投影在主视图上积聚在p′上，在俯视图和左视图为类似形（四边形）。
（2）作图
① 先作出完整四棱锥的三视图。由于截平面具有积聚性，所以可以直接完成截切后的主视图，如图4-2（b）所示。
② 作截交线的投影。如图4-2（c）所示，由于截平面P在主视图上有积聚性，所以可以直接找到截交线4个顶点的正面投影1′，2′，3′，4′，再利用点的投影规律依次在左视图和俯视图的侧棱上找到它们的侧面投影1″，2″，3″，4″和水平投影1，2，3，4，将4个顶点的同名投影依次连接起来，即为截交线的同名投影。
③ 检查。首先检查截平面的形状，左视图与俯视图中截平面的投影为类似的四边形，符合投影分析。其次检查棱线，由于4条棱线在截平面以上的部分已被切去，故不应再画出。左视图中1″3″段是右侧棱线的投影，因其不可见，故画成虚线。最后，将可见的棱线和底面的投影描为粗线，结果如图4-2（d）所示。
例4-2 如图4-3（a）、（b）所示，作出带缺口的三棱锥的三视图。
图4-3 带缺口的三棱锥及作图过程
解：本题有两个难点：一是三棱锥同时被多个平面截切，二是截平面都只是与三棱锥的一部分相交。在解题中遇到这两个难点的解题思路为：当一个立体被多个平面截切时，一般应逐个对截平面进行截交线的分析和作图；当截平面只与立体的一部分相交时，应运用“完整表面相交法”进行分析和作图，即预先假想截平面是完整的，使其与整个立体相交，按照前面介绍的立体被一个平面截切时的分析方法求出完整的截交线，然后再根据截平面实际的部分求出实际截交线的投影。
（1）空间及投影分析
三棱锥的缺口是由一个水平面和一个正垂面切割而形成的。因水平截面平行于底面，所以它与前棱面的交线DE必平行于底边AB，与后棱面的交线DF必平行于底边AC。正垂面分别与前、后棱面相交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以它们的交线EF一定是正垂线。
（2）作图
因这两个截平面都垂直于正面，所以d′e′、d′f′ 和g′e′、g′f′ 都分别重合在它们的有积聚性的正面投影上，e′f′ 则位于它们的有积聚性的正面投影的交点处，在正投影中应标注出这些交线的投影。
① 由d′ 在sa上作出d，过d作de//ab、df//ac，再分别由e′、f′ 在de、df上作出e、f，根据投影规律作出d″e″、d″f″，它们都重合在水平截面的积聚成直线的侧面投影上。
② 如图4-3（c）所示，由g′ 分别在sa、s″a″上作出g、g″，并分别与e、f和e″、f″ 连成ge、gf和g″e″、g″f″。
③ 检查。首先检查棱线，棱线SA已被截断，故俯视图中dg段和左视图中d″g″不应有线。其次检查可见性，连接e和f，因ef被三个棱面SAB、SBC、SCA的水平投影所遮挡而不可见，故画成虚线。e″f″ 重合在水平截面的侧面投影上，结果如图4-3（d）所示。最后，将可见的棱线和底面的投影描成粗线。
4.1.2 平面与回转体相交
平面与回转体相交产生的交线是截平面与回转体表面的共有线，故它一定是平面曲线或折线。根据平面与回转体相对位置的不同，交线的形状也有所不同。当平面与回转体上的平面（端面）相交时，交线是直线；当平面与回转面相交时，交线可能是曲线，也可能是直线。因此，回转体表面的截交线是首尾相连的直线和（或）曲线，它们围成封闭的平面图形。
如果截交线的投影为圆（弧）或直线，可直接求出截交线的投影。
如果截交线的投影为非圆曲线，一般按下面的步骤进行作图：
① 找出截交线上的特殊点。特殊点是指截交线上确定交线范围和形状的特殊位置点，如交线上最前、最后、最左、最右、最上、最下等极限位置点，虚实分界点，椭圆长、短轴的端点等。
② 找出截交线上若干个中间点。
③ 将这些点的同名投影按顺序光滑地连接起来。
1．平面与圆柱体相交
根据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线有圆、直线和椭圆三种不同形状，见表4-1。
表4-1 平面与圆柱表面的截交线
例4-3 圆柱体被正垂面P截切，已知主视图和俯视图，求作左视图（如图4-4（a）所示）。
图4-4 平面斜截圆柱
解：
（1）空间及投影分析
截平面P与圆柱的轴线倾斜，截交线是椭圆（如图4-4（b）所示）。由于截平面为正垂面，故截交线的正面投影积聚为一条直线；因圆柱面的水平投影有积聚性，故截交线水平投影积聚在圆上。而截交线的侧面投影具有类似性，故在一般情况下仍是椭圆，不反映实形。
（2）作图
① 作出圆柱体完整的左视图。
② 作左视图中的椭圆（如图4-4（c）所示）。首先确定特殊点，从图4-4（b）可知，点A、B、C、D是特殊点，它们既是极限位置点，又是椭圆长、短轴的端点。点A、B位于圆柱体最左、最右回转轮廓线上，点C、D的正面投影位于圆柱体正面投影的轴线位置上，依此可以找到a′、b′、c′、d′和a、b、c、d。根据点的投影关系找到a″、b″、c″、d″。然后确定中间点，在两个相邻的特殊点之间确定一个中间点，如 E、F 点。在已知的正面投影上确定 e′、f ′，再在水平投影上确定e、f，最后根据e′、f ′ 和e、f确定e″、f″。同理可以确定其他的中间点，将左视图上各点依次光滑地连接起来形成椭圆。
③ 检查。首先检查截平面面形，截平面P在俯视图和左视图中为类似的曲线形状。其次检查轮廓线的投影。从主视图可知，圆柱体的侧面投影回转轮廓线在c″、d″以上的部分已被切去，故回转轮廓线画到c″、d″为止，并且在c″、d″处与椭圆相切。最后，将椭圆、回转轮廓线、底面投影加深，结果如图4-4（d）所示。
如图4-5所示，截平面与圆柱体轴线的夹角变化时，截交线侧面投影的椭圆的长、短轴也随之变化。当夹角为45°时，椭圆长、短轴之比为
∶1，其侧面投影为一个圆。
图4-5 截平面与圆柱轴线夹角不同时椭圆长、短轴的变化
例4-4 图4-6（a）所示为一圆柱体上部有一切口的主视图和俯视图，图4-6（b）为立体图，试作出其左视图。
图4-6 多个平面截切圆柱
解：
（1）空间及投影分析
方槽由两个侧平面P，Q及水平面S切出。多个面与回转体相交时，依然要逐个截平面进行分析和作图。
平面P和Q情况相似，所以只分析平面P。侧平面P与圆柱体轴线平行，故它与圆柱面的交线为两条直线（ⅠⅡ、Ⅲ Ⅳ）均为铅垂线。平面P的正投影积聚为直线，1′ 2′和3′4′也积聚在p′上。圆柱面的水平投影积聚为圆，12和34积聚在圆的两点上。
利用完整表面相交法将水平面S扩大，与圆柱面的交线为一个圆。该圆的正面投影积聚在s′上，水平投影积聚在俯视图的圆上，侧面投影也积聚为直线。由于平面 P，Q 的存在，实际有效的交线为两段圆弧Ⅱ Ⅵ和Ⅳ Ⅶ。
（2）作图
① 作出完整圆柱体的左视图，然后根据投影关系作出截交线的侧面投影，如图4-6（c）所示。
② 检查。首先检查轮廓线，从主视图可知，圆柱体的侧面投影轮廓线在点V上边的部分已被切去，故左视图轮廓线画到5为止。其次检查可见性。左视图中，平面S的水平投影在2和4之间的部分不可见，应画为虚线。但2—5—6之间的部分可见，应画为粗实线。最终作图结果如图4-6（d）所示。
例4-5 图4-7（a）所示为一圆柱套筒上部有一切口的主视图和俯视图，图4-7（b）为立体图，试作出其左视图。
图4-7 多个平面截切圆柱套筒
解：
（1）空间及投影分析
本例与例4-4类似，只是圆柱体内部增加了一个圆柱孔，因此，两个侧平面P，Q及水平面S既要与圆柱外表面相交，同时又与内表面相交，故应分别求交线。
（2）作图
① 参照例4-4，先分别求出平面P，Q及S与外表面的交线，结果如图4-6（d）所示。
② 由于圆柱孔的存在，平面S被分为前、后两部分，在左视图的1〞、2〞之间不应有线，如图4-7（c）所示。
③ 检查。首先检查轮廓线，从主视图可知，圆柱孔的侧面投影轮廓线在水平面 S 上方部分已被切去，故左视图轮廓线画到S面为止。其次检查可见性，圆柱孔的轮廓线和截交线的侧面投影均不可见，应画为虚线。最终作图结果如图4-7（d）所示。
2．平面与圆锥相交
当平面与圆锥相交时，由于平面与圆锥体轴线的相对位置不同，其截交线可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线，这四种曲线总称为圆锥曲线；当截切平面通过圆锥顶点时，其截交线为通过锥顶的两直线，参见表4-2。
表4-2 平面与圆锥的交线
例4-6 正垂面P截切圆锥体，图4-8（a）所示为已知的主视图及立体图，求作俯视图和左视图。
图4-8 平面斜切圆锥
解：
（1）空间及投影分析
截平面P与圆锥体轴线倾斜相交，截交线应为椭圆。P为正垂面，截交线的正面投影积聚在p′上，其水平投影和侧面投影则为椭圆。截交线上的特殊点包括椭圆长、短轴的端点A，B，C，D，圆锥回转轮廓线上的点。
（2）作图
① 先画出完整圆锥的俯视图和左视图。
② 求椭圆长、短轴端点的投影。从立体图可知，椭圆长轴端点A，B应在圆锥主视图的回转轮廓线上，短轴CD与长轴AB垂直平分。如图4-8（b）所示，找到主视图上p′与轮廓线的交点a′，b′，并据此找到俯视图和左视图上的a，b和a″，b″。然后找到直线a′b′的中点，该点为点C，D的正面投影重影点c′≡ d′。利用辅助圆法作出c，d和c″，d″。
注意：c″，d″并不在圆锥回转轮廓素线上。
③ 求圆锥回转轮廓线上的点。主视图上截交线与回转轮廓线的交点就是a′，b′，已作出。左视图上截交线与回转轮廓线的交点E，F的正面投影e′，f ′ 重叠在主视图轴线上。如图4-9（c）所示，在左视图回转轮廓线上作出e″，f ″，然后在俯视图上作出e，f。
图4-9 圆锥切口的投影
④ 作中间点。如图4-8（c）所示，利用辅助圆法作出中间点M，N的投影。
⑤ 连线并检查。将各点依次光滑连接，完成截交线。检查回转轮廓线投影：左视图中圆锥回转轮廓线画到e″，f ″为止，其上部分已被切去，而且回转轮廓线在e″，f ″处与椭圆相切。最后将轮廓线、截交线等加深，结果如图4-8（d）所示。
例4-7 在图4-9（a）所示的零件中，箭头所指部位为圆锥上的缺口，简化后如图4-9（b）所示，已知切口的正面投影，求圆锥其他两个投影。
解：
（1）空间及投影分析
切口可以看做是由一个水平面和两个侧平面截切圆锥而成，依然要逐个截平面进行分析和作图。水平面截切圆锥得一带有圆弧的平面图形（截交线是两段圆弧），两个侧平面截切圆锥各得一条双曲线。
（2）作图
① 关于双曲线的作图方法如图4-9（c）所示，截交线的正面投影和水平投影都重影成一条直线，仅需求其侧面投影。作图时，首先找特殊点，离锥顶最近的点A为最高点，最远的B、C为最低点，已知点A的正面投影a′ 在轮廓素线上，可利用面上取点的方法，在轮廓素线的相应投影上求得a，a′′，最低点B、C在底圆上，已知b′、c′ 和b、c就可作出侧面投影。在最高点和最低点之间再找一些中间点，例如，作一辅助线（或辅助面）求出D、E两点的投影，依次连接各点即可。
② 如图4-9（d）所示，切口的正面投影积聚成直线；在水平投影中，两条双曲线均重影为直线，带圆弧的平面图形反映实形；切口的侧面投影为两条双曲线，它们反映实形且重合，带圆弧的平面图形积聚成一直线，其中被圆锥表面遮住的一段因不可见，画成虚线，而圆锥的轮廓素线被切去的部分不应画出。
3．平面与圆球相交
平面与圆球相交，不论平面与圆球的相对位置如何，其截交线都是圆，但由于截切平面对投影面的相对位置不同，所得截交线（圆）的投影不同。
在图4-10 中，圆球被水平面截切，所得截交线为水平圆，该圆的正面投影和侧面投影积聚成一条直线（如a′b′、c″d″），该直线的长度等于所截水平圆的直径，其水平投影反映该圆实形。截切平面距球心愈近（h愈小），圆的直径（D）愈大；h愈大，其直径愈小。
图4-10 水平面截圆球
如果截切平面为投影面的垂直面，则截交线的两个投影是椭圆。
例4-8 完成图4-11（a）所示开槽半圆球的俯视图，并画出左视图。
图4-11 开槽半圆球
解：
（1）空间及投影分析
半个圆球上方被一个水平面Q和两个侧平面P截切，该形体可见于螺钉的头部结构。3个平面与球相交，交线均为圆弧。水平面Q截切出的截交线在俯视图中为反映实形的圆弧，侧平面P截切出的截交线在左视图中为反映实形的圆弧，截交线其余的投影均积聚为直线。
（2）作图
① 求侧平面P与球的截交线。如图4-11（b）所示，在左视图中以o″为圆心，R2为半径，画出侧平面P截切出来的圆弧。由于平面P与平面Q相交于BC，因此b″a″c″为圆弧的有效部分。画出P的水平投影，bc段为有效部分。
② 求水平面Q与球的截交线。如图4-11（c）所示，在俯视图中以o为圆心，R1为半径，画出水平面Q截切得到的圆弧，其中，bfd和egc段为圆弧的有效部分。水平面Q在左视图中积聚为直线f ″g″。
③ 检查并加深。首先检查轮廓线。左视图中，球体的回转轮廓线位于 g″、f ″ 以上部分已被切去，故不应画出。其次检查可见性，左视图中Q平面投影的b″c″段因受遮挡而不可见，故应画为虚线。但应注意，b″f ″ 和c″g″ 仍可见，最后将可见部分加深，结果如图4-11（d）所示。
4. 平面与组合回转体相交
组合回转体可看成由若干基本回转体所组成，求平面与组合回转体的截交线就是分别求出平面与各个基本回转体的截交线。遇到此类问题的作图步骤为：
① 分析组合回转体由哪些基本回转体组成及它们的连接关系；
② 分别求出这些基本回转体的截交线；
③ 依次连接这些截交线。
例4-9 图4-12（a）所示的连杆头，为组合回转体被平行于轴线的两对称平面（正平面）切去前、后部分而形成的，试画出它们截交线的投影。
图4-12 连杆头截交线的投影
图4-12 连杆头截交线的投影（续）
解：
（1）空间及投影分析
连杆的头部由圆球、圆锥及圆柱所组成。三个回转体有公共的回转轴线，且圆球和圆锥是光滑连接（即相切）的，它们的分界线应是一个圆，且圆所在的平面与回转轴线垂直。左边的圆球和圆锥同时被前后对称的两个平面截切，而右边的圆柱没有被截切。平面与圆球面的交线为部分圆弧，其水平投影和侧面投影积聚成直线，正面投影应反映实形。平面与圆锥面的交线为双曲线，其水平投影和侧面投影积聚成直线，正面投影应反映实形，并且与圆球表面的截交线（圆弧）光滑连接成一个封闭的平面图形。
（2）作图
① 先求圆球面的截交线。如图4-12（b）所示，截切平面（正平面）与圆球的截交线为半径等于R的一段圆弧，该圆弧的正面投影反映实形，圆弧的端点应位于圆球和圆锥的分界圆上。可先在正面投影上找到圆锥的回转轮廓素线与球面的正面投影圆（最大正平圆）的切点a′，然后过a′作一条竖直线，此线即为分界圆的投影，因此竖直线与圆弧的交点1′为圆弧的端点。
② 求圆锥面上的截交线。已知 I 点同时位于双曲线上，故 1′为双曲线上的一个特殊点。另一个特殊点为双曲线的顶点，即最右点，如图4-12（b）所示，可从有积聚性的水平投影上得到平面曲线的最右点Ⅱ（2、2′、2″）。再在点I和点Ⅱ之间求出若干个一般点，如图4-12（c）所示，作辅助的侧平面 P，求出点Ⅲ（3、3′、3″）和点Ⅳ（4、4′、4″）。然后依次光滑地连接这些点的正面投影即为所求。由于平面与圆柱无截交线，因而全部截交线是由圆弧和双曲线组成的封闭曲线，结果如图4-12（d）所示。