![系统建模与控制导论](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/696/50417696/b_50417696.jpg)
1.2 四旋翼无人机
图1-12所示为一个四旋翼无人机,它基本上由连接在主体上的四个在同一平面、相隔90°的螺旋桨组成。调整每个螺旋桨的转速,可以控制每个螺旋桨产生的推力(气动力)。螺旋桨的转速由控制每个螺旋桨电动机的机载微处理器管理。
首先,让我们看一个连接到电动机的单螺旋桨,如图1-13所示。为了方便讨论,我们视螺旋桨/电动机系统在一个光滑无摩擦表面上。因此,电动机底部可自由滑动或转动,而不会因工作台的任何摩擦而停止。
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图1-12 Parrot四旋翼悬停的照片
来源:Aykut Satici教授提供
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图1-13 角动量守恒要求Jpωp=Jmωm
螺旋桨具有绕旋转轴的转动惯量Jp,同时电动机具有绕同一轴的转动惯量Jm。如图1-13中曲线箭头所示,如果螺旋桨逆时针旋转,则ωp>0,如果电动机顺时针旋转,则ωm>0。螺旋桨的角速度用ωp表示,其角动量满足Lp=Jpωp。电动机的角速度用ωm表示,其角动量满足Lm=-Jmωm。在没有外力作用于图1-13的电动机-螺旋桨系统的情况下,由角动量守恒原理可知,其总角动量是恒定的,即Lp+Lm=常数。在起动时,螺旋桨是关闭的,电动机是静止的,因此该常数为零。打开螺旋桨后,我们必须继续保持Lp+Lm=0,即
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因此,如果螺旋桨逆时针旋转,电动机必须顺时针旋转。通常情况下,Jp≪Jm,所以ωp≫ωm。
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图1-14 四旋翼的惯性坐标系和机体坐标系
图1-14所示为飞行中的四旋翼的示意图。单位正交向量、
表示固定到地球的地球(惯性)坐标系[3]。
从地面垂直向上,
与地球表面相切并相互正交。有
,所以
、
形成一个右手坐标系。设
、
是附加在四旋翼(刚体)的单位正交向量,其原点位于四旋翼的质心。单位向量
指向四旋翼的前方,单位向量
指向四旋翼的左侧,单位向量
指向上方(从四旋翼的角度)。请注意,
,因此它们也形成右手坐标系。
是从
坐标系的原点到四旋翼质心的向量,该质心是
坐标系的原点。两组向量都跨越欧几里得三维空间,用E3表示。
图1-15所示为四旋翼悬停的示意图,即,所有螺旋桨以相同的角速度ωp旋转,因此每个螺旋桨都产生相同的向上推力(力)f,其中f=mg,m为四旋翼的质量。注意在图1-15中,前后螺旋桨逆时针旋转,而左右螺旋桨顺时针旋转。因此,四个螺旋桨绕
轴的总角动量
为零,如下所示
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![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/44_05.jpg?sign=1739915822-ueq5WRZKrQgJcnevH0a9r1GjpBX4QLcr-0-9edd0fe8aab0d7d24e2ed43d5358eaee)
图1-15 四旋翼悬停。前后螺旋桨逆时针旋转,左右螺旋桨顺时针旋转
式中,是螺旋桨的转动惯量。在悬停状态下,
=0,四旋翼机体的角动量也必须为零,这样它才不会绕
轴旋转。
由于四旋翼的结构,其推力始终沿方向。因此,必须旋转四旋翼机体,使其推力的一个分量沿行进方向。这是通过滚转、俯仰和偏航运动实现的。
图1-16显示了四旋翼如何进行滚转运动,即绕其轴转动。在图1-16中,p表示四旋翼体绕
轴的角速度。四旋翼向右滚转时,右侧的螺旋桨速度降低Δωp,其推力随之降低Δf,同时左侧螺旋桨的速度增加Δωp,其推力增加Δf。
采用这种方法使四旋翼滚转,四个螺旋桨绕轴的总角动量
为零,如下所示
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/44_14.jpg?sign=1739915822-NyqXa9nWatvgLu3wHqRBkbKL8ZSuFg9b-0-ad6a8bbb5c710f8bba2695b119e7cf35)
通过角动量守恒定律,四旋翼的机体在滚转运动期间不绕轴旋转。
图1-17显示了四旋翼如何进行俯仰运动,即绕其轴转动。在图1-17中,q表示四旋翼绕
轴的角速度。四旋翼向下俯仰时,后螺旋桨的速度增加Δωp,其推力随之增加Δf,同时前螺旋桨的速度减少Δωp,其推力减小Δf。通过这种方式使四旋翼进行俯仰运动,四个螺旋桨绕
轴的总角动量为零,如下所示
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/44_19.jpg?sign=1739915822-PVuB7pfcH57u6jRyNwug2ts3ndnaRNHR-0-ec7704ea7737e50b387f36c79e7874b7)
在滚转运动的情况下,俯仰操纵期间,四旋翼的机体不围绕轴旋转。
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/44_21.jpg?sign=1739915822-KXeVgf9SpZ65bonfHcefVR1FI8XE2hey-0-681c17f19eb92a5380a31b6123fa7271)
图1-16 四旋翼进行滚转运动
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/44_22.jpg?sign=1739915822-umzSlJrYtuIGP7HtILb1wA1hlpzB0qe9-0-1e00be544af10813e89234e01ebc66fd)
图1-17 四旋翼进行俯仰运动
最后,图1-18显示了如何使四旋翼绕其轴转动,即偏航运动。在图1-18中,r表示四旋翼绕
轴的角速度。四旋翼向左偏航(从上方看逆时针)时,前后螺旋桨转速降低Δωp,每个螺旋桨产生的力随之降低Δf,同时左右螺旋桨转速增加Δωp,每个螺旋桨产生的升力增加Δf。与俯仰和滚转运动不同,四个螺旋桨围绕
轴的总角动量不为零。具体地说,它们的总角动量是
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/45_02.jpg?sign=1739915822-L4vauxOEEsowYmGfkb2zEAAhYAhwYNNq-0-38724929d4bb5b8c45b863a943bbf491)
Lzb为负值表明螺旋桨的净角动量是顺时针方向的。由于角动量守恒,四旋翼的机体将逆时针旋转(向左)。用Jb表示四旋翼绕轴的转动惯量,其角动量必须为
,因此
。四旋翼的角速度为
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/45_06.jpg?sign=1739915822-oc8Wa6z3U6YtWpno6cwCeBzDWGcJh2EK-0-3a2e910203993d61f9f76f66ac0dd342)
图1-18 四旋翼进行偏航运动
![](https://epubservercos.yuewen.com/2A12F5/29686623104653906/epubprivate/OEBPS/Images/45_07.jpg?sign=1739915822-122PmCm4cxkr5OrtBgldSXOZ7d8INrp2-0-3d99e45fbf3651c4940b26c5e43a78f6)
1.2.1 自动控制
我们可以把四个螺旋桨的转速看作四旋翼的控制输入[4]。通常四旋翼有一个惯性测量单元(Inertial Measurement Unit, IMU),它由一个三轴加速度计、一个三轴速率陀螺和一个三轴磁力计组成。三轴加速度计提供四旋翼在三个方向的惯性加速度(即相对于地球的加速度)。三轴速率陀螺给出了四旋翼在
坐标系下的角速度向量(p,q,r)。三轴磁力计给出在
方向下周围的磁场环境[5]。使用IMU可以估计四旋翼相对于地球坐标系的方向(
相对于
的方向)以及四旋翼质心相对于地球的速度向量。根据四旋翼的方向、速度和位置,反馈控制器(微处理器上的算法)可以计算出每个螺旋桨的转速,以使四旋翼跟踪参考轨迹运动。