1.3 倒立摆

学术界的一个经典的控制问题是小车上的倒立摆。如图1-19所示，它由一个可以围绕支点自由旋转的长度为ℓ的摆杆组成。对小车施加适当的力u以保持摆杆垂直。具体来说，可以得到θ和x（比如每毫秒）的测量值，想要确定u（也是每毫秒）的值，使摆杆在x方向上维持固定位置，同时保持θ=0。在第13章中，将推导这个摆杆的非线性运动微分方程。现在仅说明如下

这里的重点是，对于任何输入u（t），微分方程的解都要给出小车的位置x（t）和摆杆的角度θ（t）。

这些方程可能看起来很复杂，但只是因为它们本来就复杂。为了简化它们，考虑||θ|和很小这种情况，那么sin（θ）≈θ，

cos（θ）≈1，。所以式（1.7）和式（1.8）可以用线性微分方程来近似：

图1-19 倒立摆

在微分方程相关课程中，相信读者已经学习了线性微分方程。我们知道如何求解线性微分方程，也知道如何用线性微分方程模型控制物理系统。通过倒立摆的控制，即给定测量值x（t）和θ（t），可以选择输入值u（t）以保持摆杆垂直。如果这个基于线性模型的控制器保持|θ|和较小，那么线性模型就是实际倒立摆的一个有效近似，控制器对实际倒立摆也可以正常运行。

我们可以使用拉普拉斯变换将线性微分方程转换为代数方程。在第2章和第3章中，我们将全面回顾拉普拉斯变换。现在我们只关注倒立摆的拉普拉斯传递函数模型，如下所示

1.3.1 控制问题

控制问题是指用x（t）和θ（t）的测量值来确定施加到小车上的力u（t），从而使摆杆不会掉落。控制算法是一个简单的函数，在给出x（t）和θ（t）值的情况下计算出u（t）的值。可以使用上述传递函数模型或者微分方程模型来设计控制器。在本书的前半部分，我们以传递函数模型为基础进行控制设计，在本书的后半部分，我们基于微分方程模型来进行控制。