1.4 磁悬浮

在这个例子中，我们考虑一个磁悬浮系统。图1-20中给出的原理图显示了一根电线缠绕在圆柱形铁心上，这就做成了电磁铁。

给线圈施加电压u（t），产生电流i（t）。电流与铁心一起产生了在电磁铁下方延伸的磁场。然后，该磁场使钢球磁化，即将其变为磁铁。结果表明，钢球和电磁铁之间的磁引力是向上的，与电流的二次方成正比，与距离的二次方成反比。在数学上，表示为F_mag=-Ci2/x2，其中C是常数。请注意，图中向下的x为正，x=0对应于铁心底部。

图1-20 一个简单的磁悬浮系统

1.4.1 数学模型

使用电流指令放大器可以输出所需电流。使用这种放大器，我们可以将磁悬浮系统的输入电流设为i（t），磁悬浮系统的微分方程模型如下（见第13章）

式中，C是常数，m是钢球的质量，g是重力加速度。该微分方程模型很重要，因为对于任何给定的线圈输入电流i（t），这些微分方程的解可以给出钢球位置x（t）和速度v（t）=x.（t）的值。然而，该模型是非线性的。在倒立摆的问题中，我们可以获得一个近似的线性模型。特殊情况下，我们令钢球的期望位置（恒定）为x₀，然后选择电流i₀使钢球的加速度为零，即

满足Δx≜x-x₀，，u≜i-i₀。我们将在第13章中说明

是Δx和的有效线性模型，同时u很小。学习第3章后，可以推导出相应的拉普拉斯变换模型是

图1-21所示为W. Barie构建的磁悬浮系统[10]。图中显示光通过球的顶部反射到光电探测器的传感器。使用此装置，可以观测到电磁铁下方球的位置。

1.4.2 控制问题

根据x（t）和v（t）的测量值，我们选择输入电压u（t）使得钢球保持在电磁铁下方固定位置x₀处，即钢球不会下落，也不会被磁铁吸过去。根据x（t）和v（t）的值选择u（t）的过程称为控制算法或控制器。控制算法利用微分方程模型或拉普拉斯变换模型。

图1-21 实验室磁悬浮系统

来源：Barie and Chiasson[10]“Linear and nonlinear state-space controllers for magnetic levitation”, International Journal of Systems Science, vol.27, no.11, pp.1153-1163, November 1996. DOI-https://doi.org/10.1080/00207729608929322